53481_lec3

Распределение Ферми-Дирака
Распределение частиц с полуцелым
спином (частиц Ферми или фермионов).
EF -энергия системы, при которой
плотность заполнения состояний
составляет 1/2
Плотность заполнения состояний
Распределение электронов по энергиям в металле
Положение уровня Ферми вы металлах
определяется лишь концентрацией
свободных электронов и практически не
изменяется с повышением температуры
________________________________________________________________________
Электронный газ
Поведение электронного газа в
сильной степени зависит от
kT  EF называется
вырожденным
соотношения между температурой
кристалла и температурой Ферми,
EF
TF 
k
kT  EF
Электронный газ
называется
невырожденным
Поверхность Ферми – изоэнергетическая поверхность в
пространстве квазиимпульсов, описываемая уравнением
E  p  const  EF
и при Т=0 разделяющая в металле области занятых и свободных
энергетических состояний
Границы зоны Бриллюэна и
поверхность Ферми для мели
Вырожденный газ, газ, свойства которого существенно отличаются от свойств
классического идеального газа вследствие квантовомеханического влияния
одинаковых частиц друг на друга. Это взаимное влияние частиц обусловлено
не силовыми взаимодействиями, отсутствующими у идеального газа, а
тождественностью (неразличимостью) одинаковых частиц в квантовой
механике (см. Тождественности принцип). В результате такого влияния
заполнение частицами возможных уровней энергии даже в идеальном газе
зависит от наличия на данном уровне других частиц. Поэтому теплоёмкость и
давление такого газа иначе зависят от температуры, чем у идеального
классического газа; по-другому выражается энтропия, свободная энергия и т.
д.
Вырождение газа наступает при понижении его температуры до некоторого
значения, называемого температурой вырождения. Полное вырождение
соответствует абсолютному нулю температуры.
.
Влияние тождественности частиц сказывается тем существеннее, чем меньше
среднее расстояние между частицами r по сравнению с длиной волны де Бройля
частиц l = h/mv (m — масса частицы, v — её скорость, h — Планка постоянная).
Это объясняется тем, что классическая механика применима к движению частиц
газа лишь при условии r >> l. Так как скорость частиц газа связана с
температурой (чем больше скорость, тем выше температура), то температура
вырождения, определяющая границу применимости классической теории, тем
выше, чем меньше масса частиц газа и чем больше его плотность (т. е. чем
меньше среднее расстояние между частицами). Поэтому температура
вырождения особенно велика (порядка 10 000 К) для электронного газа в
металлах: масса электронов очень мала (~ 10-27 г), а их плотность в металлах
очень велика (1022 электронов в 1 см3). Электронный газ в металлах вырожден
при всех температурах, при которых металл остаётся в твёрдом состоянии.
Для обычных атомных и молекулярных газов температура вырождения близка к
абсолютному нулю, так что такой газ практически всегда ведёт себя как
классический (при таких низких температурах все вещества находятся в твёрдом
состоянии, кроме гелия, являющегося квантовой жидкостью при сколь угодно
близких к абсолютному нулю температурах).
Поскольку характер несилового влияния тождественных частиц друг на
друга различен для частиц с целым (бозоны) и полуцелым (фермионы)
спином, то поведение газа из фермионов (ферми-газа) и из бозонов (бозегаза) также будет различным при вырождении.
У ферми-газа (к которому относится электронный газ в металле) при
полном вырождении (при Т = 0 К) заполнены все нижние энергетические
уровни вплоть до некоторого максимального, называемого уровнем Ферми,
а все последующие остаются пустыми. Повышение температуры лишь
незначительно изменяет такое распределение электронов металла по
уровням: малая доля электронов, находящихся на уровнях, близких к
уровню Ферми, переходит на пустые уровни с большей энергией,
освобождая таким образом уровни ниже фермиевского, с которых был
совершен переход