Численное моделирование свойств кварк

Численное
моделирование свойств
кварк-глюонной плазмы и
адронной материи
Павел Буйвидович (ИТЭФ)
Фундаментальные силы
•Электромагнитные
•Слабые
•Сильные
•Гравитация???
Эксперименты с тяжелыми
ионами:
•Легкие кварки (u, d, s)
•Глюоны
Сильные взаимодействия и
масса
me ≈ 0.5 MeV
mq ≈ 5 MeV
Протон, нейтрон:
m ≈ 1000 MeV ?
Невылетание цветных частиц
•Никогда не наблюдались свободные кварки
•Сила между кварком и антикварком: 14 тонн !!!
DESY-ITEP-Kanazawa Collaboration (2002-2007)
Что мы знаем о сильных
взаимодействиях ?

Квантовая хромодинамика: открыта на
больших энергиях (партоны...):
_
1
2
L   2 Tr F   f ( D  m) f
g
f
Fμν – тензор напряженности
хромомагнитного поля
Ψ - поле кварков (фермионное)
D - оператор Дирака
Что мы знаем о сильных
взаимодействиях ?

Лагранжиан похож на КЭД, но ...
VS.
Вычисления в КХД ???




Единственный надежный метод расчета с
196?...: Теория возмущений при больших
энергиях
Проблема: нет сходящихся рядов!!!
Все остальные методы –
феноменологические ...
Или ЧИСЛЕННЫЕ!!!
Одна из «проблем тысячелетия»

Как определить квантовую теорию с
Лагранжианом
_
1
2
L   2 Tr F   f ( D  m) f
g
f
Формулировка Эдварда Виттена,
http://www.claymath.org/millennium/YangMills_Theory/
Подразумевается математически корректное
определение (хотя бы для глюонов)
Или: как рассчитать массы адронов???
Интегралы по путям
Hˆ
x exp( 
) y    dx(t ) exp(  S[ x(t )])
kT
t
При нулевой температуре и фиксированном х:
волновая функция основного состояния
Интегралы по путям

Квантовая статсумма при конечной
температуре:
Hˆ
Z (T )   dx x exp(  ) x    dx(t ) exp(  S[ x(t )])
kT
t
Интегралы по всем возможным путям в
Евклидовом времени
Периодические граничные условия
Квантовая теория поля




Интегралы по всем полям в
Евклидовом пространстве-времени
«Размер» по времени = обратная
температура
Периодические граничные условия
для бозонов
Антипериодические – для
фермионов
Решеточная квантовая теория
поля






Проблемы:
расходящиеся интегралы
расходящиеся ряды
Решение:
Пространство=дискретный набор точек
Поля = компактные(?) переменные
Все интегралы – определены !!!
Азбука решеточной теории поля
Азбука решеточной теории поля



Скаляр: определен в точках
Вектор: перенос скаляра из точки в
точку, определен на ребрах
Тензор: перенос скаляра вокруг
элментарной площадки, определен на
гранях
Действие решеточной КХД
S
1
1
Re
Tr
(
g
(
x
)
g
(
x

e
)
g
(
x

e
)
g






 ( x ))
x ,  ,
   ( x) Dab ( x, y )  ( y )

a
b
x, y
D ( x)     ( ( x)  g 1 ( x) ( x  e ))  m ( x)

•Поля gµ(x) – элементы калибровочной группы
•Компактные переменные
•Поля ψ(x) - фермионные
Избавляемся от фермионов
a

b

d

(
x
)
exp(


(
x
)
D
(
x
,
y
)

(
y
)
)

Det
[
D
  ab

ab ( x, y )]

x
x, y
  d ( x)dg  ( x) exp( S )
x

  dg  ( x) Det[ Dab
( x, y )] exp(  
  Re Tr ( g  ( x)))
x, ,
•Проблема: Нелокальное и часто невещественное действие!!!
•Решение(???): не рассматривать фермионы
•Также: определитель = сумма по всем путям
фермионов
Как же возникает масштаб?





Все параметры изначально
безразмерные
Безразмерные массы сопоставляем
экспериментальным значениям
Массы многих адронов хорошо
описываются решеточной КХД
Решеточная КХД – численно
правильная теория!!!
Массы: через операторы рождения
адронов
Адронный спектр (численные и
экспериментальные результаты)
Y. Kuramashi (2007)
Типичные параметры решетки
Физический предел:
• Шаг решетки -> 0
• Объем решетки ->∞
• Массы кварков -> токовые массы
Реальные параметры:
a  0.1 fm
L  2  4 fm
mq  100 Mev
Метод Монте Карло
Задача: вычислять интегралы вида
F [ ( x)]    d ( x) exp(  S [ ( x)]) F [ ( x)]
x
•Проблема: большая размерность интеграла ...
•Решение (алгоритм Монте-Карло):
•случайное поле φ(x)
•распределенное с весом exp(-S[φ(x) ])
•Статистическое усреднение
Алгоритм «тепловой бани» (heat
bath)
На каждом шаге одна степень свободы
приводится в «термальное равновесие» со
всеми остальными
Для локального действия участвуют только
соседи!!!
Другие алгоритмы ...
Если действие нелокально или не
вещественно ...
•
•
•
•
Molecular Dynamics
Langevin quantization
Hybrid Monte Carlo
Hopping expansion…
Как правило, «дорогие» алгоритмы
Вычисление масс адронов
Операторы рождения адронов:
Мезоны:
M ( x)  q ( x)q ( x)
a
a
Барионы:
B ( x)  u ( x)u ( x)d ( x) abcS
a
b
c
Масса: «Юкавский потенциал»
B( x) B( y)  exp( mB | x  y |)
Вычисление масс адронов:
«Правила сумм»
Введем в систему несколько статических кварков
•Масса = избыток энергии
•Можно вычислять форм-факторы
Термодинамика КХД






Температура = компактное временное
направление
Химический потенциал: частицы имеют
большую энергию, чем античастицы
Вычисляем среднюю энергию E как функцию
T, V и μ
Получаем уравнение состояния E(T, V, μ)…
Проблема: комплексный вес при конечном μ
Монте - Карло не работает … ???
Параметры порядка




Петля Полякова: свободная энергия
одиночного кварка (Z3 симметрия, без
кварков)
Киральный конденсат: q q (киральная
симметрия, безмассовые кварки)
Реалистичная теория: нет хорошего
параметра порядка???
Кварк-глюонная плазма vs. Адроны:
Кроссовер???
Фазовая диаграмма КХД
Температура фазового перехода
Вязкость, проводимость …
Вязкость, проводимость…



Дисперсионно-флуктуационная
теорема
Вязкость: коррелятор тензора
энергии-импульса
Проводимость: коррелятор токов
Будущее решеточных
вычислений


«Экстенсивное» развитие:
экспоненциальный рост
вычислительных мощностей
«Интенсивное» развитие: создание
новых алгоритмов, моделирование
эффективных теорий
Основные проблемы





Вычисления с динамическими
кварками с малой массой
Вычисления с конечным
химическим потенциалом
Нестационарные процессы
Предел больших Nc и AdS/CFT
Физические степени свободы???
То, что нужно – не очень сложно, а то, что
сложно – не очень нужно (Г. Сковорода,
1722-1794)