c P

Основы т ермодинамики ат мосферы
Пеле – богиня огня и вулканов, Гавайи
Основные понятия
термодинамики
Система
 Параметры и функции состояния
 Термодинамическое равновесие
 Температура
 Работа, Энергия
 Тепло, Теплоемкость
 Термодинамические процессы
 К.П.Д
 Энтропия

Термодинамическое равновесие



Говоря о равновесии в
системах, нужно точно
установить о какой
конкретной системе идет
речь.
Классическая
термодинамика изучает
три вида систем ═>
изолированные,
замкнутые и открытые
Для метеорологии важны
системы

а) газ в оболочке

б) газ в оболочке в поле
силы тяжести
Термодинамические диаграммы –
средство представления функций
состояния через параметры состояния




P, T, V - Параметры
состояния
Для идеального газа
PV=RT - связь
Поэтому любая пара (T, V),
(P, T), (P,V) может
полностью описать
состояние
термодинамической
системы
Все термодинамические
процессы могут быть
изображены на
термодинамических
диаграммах
Температура – новый
параметр состояния


У механической системы существуют
внешние параметры. Они описывают
положение в пространстве и изменения
(механика-координаты, термодинамика –
объем, давление)
При термодинамическом равновесии
состояние системы определяется этими
внешними параметрами и еще одним
параметром - температурой Т

Температура во всей термодинамической
системе должна быть одинакова
Температура( «0» закон
термодинамики)



Отличие температуры, например, от массы.
Два тела с одинаковыми массами при
сложении дадут тело с удвоенной массой.
Но два тела с одинаковыми температурами
при сложении образуют тело с той же
температурой.
Другая формулировка: если температуры
двух тел порознь равны температуре
третьего, то эти тела имеют одинаковую
температуру.
Это обоснование возможности измерений
Максвелл: температуры - мера
внутренней кинетической энергии
молекул тела
(½ М v2=3/2 kT)
Джеймс Кларк
Максвелл
Функциями состояния являются разными
энергетическими величинами





Мы изучаем
несколько:
потенциальную
энергию,
кинетическую
энергию
работу,
внутреннюю
энергию (тепло)
Все они измеряются
В джоулях (1Дж = 1Н·1м)
Потенциальная энергия

Потенциальная энергия
элементарной системы
(Лазарь Карно)


d Ф = ρ g dz
Это мера способности
тела совершить работу
под действием силы
тяжести.
Кинетическая энергия

Кинетическая
энергия (Лагранж)




d K = ρ V2/2 dz
Это мера способности
тела совершить
работу за счет
движения
Полная механическая
энергия должна
сохраняться:
d(K+Ф)=0
Жозеф Луи Лагранж
Работа

Работа совершаемая элементарной
системой (Ренкин)
dW = p dV (δ W = p dV)
Важно:



1) Работа расширения атмосферы в
пустоту равна нулю, так как внешнее
Уильям Джон Ренкин
тело (космос) не перемещается.

2) Работа совершается а не существует в
теле (Когда человек работает, он тратит
энергию пищи, но после обеда нельзя
измерить сколько работы я накопил!)
Тепло

Тепло (Бойль, Лавуазье,
Румфорд, Джоуль, Клаузиус)



d E = cv dT
Тепло не является субстанцией,
но состоит в движении
мельчайших частиц вещества
(Клаузиус).
Тепло, как и работа, не может
содержатся в теле, оно
проявляется только в форме
потока от системы к системе
(нагревание или охлаждение).
Бенджамен Томсон,
граф Румфорд
(американец, английский
шпион, изобрел еще
кофеварку, полевую
кухню, паровое
отопление).
Теплоемкость,
dQ/dT

Внутреняя энергия
тела (теплота,
содержащаяся в нем)
выражается через
температуру с
помощью двух
теплоемкостей
 cP и cV
cP - cV = R
теорема Майера

dE = cV dT –
калорическое
уравнение

У газов различны Cv и Cp



Для воздуха теплоемкость при
постоянном объеме
Cv=718 дж/кг/К
Теплоемкость при постоянном
давлении
Cp=Cv+R = 1005 дж/кг/К
(помним, что
R=287 дж/кг/К = 287 м2/с2/К)
Основа закона сохранения
энергии
Джеймс Джоуль

Роберт Майер
Эквивалентность работы и тепла (Джоуль,
Майер)
 Нагрев 1 кг воды на 10К требует затраты
4,18 дж работы, т.е. эквивалентен такому
количеству энергии. Это – 1 калория
Закон сохранения полной энергии
системы (Гельмгольц, Клаузиус)
δQ = dE + δW
δQ = CVdT + PdV
δQ = CVdT + (RdT-VdP)
δQ = CPdT -VdP
Герман фон Гельмгольц
Рудольф Клаузиус
Справка: криволинейный интеграл
Определение
Способы вычисления: формула Грина

Pdx  Qdy 
(l )
 Q P 
  x  y  dxdy
( s)
B
B
B
A
A
A
F
F
 Pdx  Qdy   x dx  y dy   dF  F ( B)  F ( A)
Независимость от пути интегрирования: подынтегральное выражение –
полный дифференциал некоторой функции F
Изложение термодинамики
по Клаузиусу см. учебник
Уметь объяснить ход рассуждений
Клаузиуса с использованием полных
дифференциалов
 Понимать основные постулаты
 Определение теплоемкостей
 Теорему Майера
(Переход к сопутствующему документу
ЛекцТермодин.doc)

Виды термодинамических
процессов:
δQ = dE + δW
δQ = CVdT + PdV или δQ = CPdT -VdP





Изобарический δQ = cP dT (dP =0 )
Изостерический δQ = cV dT (dV = 0)
Изотермический δQ = PdV (dT = 0)
Адиабатический δQ = 0
Политропный δQ = cQ dT (cQ ≠ cP )
Политропный процесс: тепло из вне
пропорционально изменению
температуры
RT
C dT dP  d Q, в этом случае d Q  C dT
P

P
RT
dT
dP
C dT dP  C dT или  C  C 
R
интегрируя получим
P

 T
P
 P
P
a
d lnT  ln P

T
P
уравнение политропы Пуассона

P
T
0  0
где a 
a

 ,


R
показатель политропы
C C
P

Величина С называется политропической теплоемкостью, но
теплоемкостью в термодинамическом смысле не является. Это просто
коэффициент, характеризующий процесс нагрева
Сухая адиабата – это частный случай
политропы Пуассона,
распространенный в метеорологии
RT
C dT dP  0, адиабатический процесс
P
P
C
RT
P dT  dP интегрируя получим
C dT dP  0 или
P
P
R T
P
k
d lnT  ln P
k
1/ k


 
P  T 
T
P
уравнение политропы Пуассона

или
 
,
T 
P 
P
T
0  0
0  0
C
1005
1 287
где k  P =
=3,5 или =
=0,286 показатель адиабаты
R
287
k 1005
Кривая, описывающая изменение температуры на термодинамической диаграмме
при адаибатическом перемещении частицы воздуха часто называется сухой
адиабатой
Сади Карно: самый эффективный процесс
выполнения работы за счет тепла, возможный только
при обратимом процессе
η - К.П.Д. цикла
η = (Q1-Q2)/Q1
или
η = (T1-T2)/T1
Максимальный КПД атмосферной
циркуляции




Средняя температура у Земли 288К
Разность температур экватор-полюс
40К
(Разность температур землятропопауза тоже около 40К)
КПД обратимой циркуляции за счет
нагрева =40/288=13%
НО и такой КПД оказывается завышен, т.е. атмосферная тепловая машина
сильно необратима. Реальный КПД меньше 2%
Пример использования цикла Карно:
вывод закона давления насыщения
пара Клаузиуса-Клапейрона
Этот закон является теоретическим
обоснованием формулы Магнуса!


1
1

dE  


 
R  T  dE
dT
A
dE
 п
в


 п
T
Q
L
L
LE
1
п

или
dE
LdT

2
E
R T
п
См. описание мысленного эксперимента в
сопутствующем документе ИзЛекц07.doc
Метеорологическое приложение
термодинамики
     
В метеорологии применяется более сложная
неравновесная термодинамика.
В ее основе лежит понятие о
локальном термодинамическом равновесии
атмосферы


То есть предполагается, что все
понятия и законы термодинамики
применимы к бесконечно малым
частицам атмосферного воздуха.
Эти частицы считаются
равновесными элементарными
системами.
Взаимодействие между этими
системами осуществляется путем
переноса разных характеристик и
изучается на базе механики
сплошной среды.
Каждая частичка воздуха – это
равновесная термодинамическая система, вроде
котельной, но между соседними нет равновесия
Все термодинамические характеристики атмосферы
(например, температура и давление) относятся к точке
Закон сохранения энергии в метеорологии
применяется к частице воздуха
Три эквивалентные формы УПТ

dQ = cV dT + PdV =
=cP dT - VdP =
= cV (T/P dP + V/TdV)



Наиболее часто используется
dQ = cp dT-TdP/P
Уравнение притока тепла служит для
вычисления температуры воздуха и является
неравновесным соотношением!
cp dT/dt - RT/P dP/dt = dQ/dt

dQ/dt – притоки тепла
Эффективность видов нагрева атмосферы



Солнце нагреет воздух
Сев.Пол. На 100 за 3 мес
От почвы воздух
нагреется на 100 за 6
часов
За счет адиабатического
подъема в облаке
температура меняется
на 100 менее, чем за 10
минут
Адиабатический процесс подъема/спуска:
- самый эффективный регулятор
температуры воздуха dQ = 0
Свойство 1
dQ= cP dT - dP/ρ= 0
cP dT/dz- 1 /ρ dP/dz= 0 и (- 1 /ρ dP/dz)=g
отсюда cP dT/dz + g =0
и dT/dz =- g/ cP =-0,01 0С/м
При адиабатическом процессе подъем частицы
ведет к ее охлаждению
А опускание частицы - к нагреву
Изменение температуры при изменении высоты
постоянно и равно 10 С/км
И наоборот: нагрев (охлаждение)
изолированной частицы ведет к появлению в
ней силы Архимеда, а значит ускорения
На частицу действуют:
1) ее вес P  V 1g
Если на исходном уровне
температуры одинаковы, то
T1  T
ag

T
(T0   a  z )  (T0    z )
g

Т
 a
ag
z
T
2) Сила Архимеда (вес вытесненного
окружающего воздуха) A  V  g
Тогда ускорение частицы равно:
  1
A  P V  g  V 1g
a

g
m
V

Поскольку давления равны, то
T1  T
 T1
 , а значит, a  g
1 T
T
Если a  g


 a
z , то при    a  a  0 (частица всплывает),
T
а при    a  a  0 (частица тонет)
В частице и
окружающем воздухе
температура падает с
разной скоростью
Из-за этого частица
либо теряет
плавучесть, либо
приобретает
плавучесть


Если сила Архимеда тормозит частицу, атмосфера
называется устойчивой
Если сила Архимеда ускоряет частицу, атмосфера
называется неустойчивой
Конвекция – это циркуляция, вызываемая
всплытием перегретых частиц воздуха и
опусканием переохлажденных
Примеры адиабатических процессов в
атмосфере: Конвекция и Фён
Конвективный подъем
И охлаждение воздуха
Фен: подъем воздуха на гору
с охлаждением и выпадением осадков,
А затем опускание и нагрев
Вот почему так называются
состояния частицы:
Адиабатический процесс dQ = 0
Свойство 2
dQ/T = cP dT/T - RdP/P= 0
cP dT/T- RdP/P= cP(dlnT/T0–R/ cP dlnP/P0) =
= cP [dln(T/T0) – dln(P/P0)R/ cP] = 0
Отсюда при адиабатическом процессе
(T/T0) = (P/P0)k
Симон Дени Пуассон
k = R/cP=0.286
Это уравнение Пуассона для адиабаты
Оно связывает изменения T и P.
Любое изменение Р мгновенно отражается на Т
Аэрологическая диаграмма – разновидность
термодинамических диаграмм, служащих для
описания энергетики процессов



Вид
термодинамической
диаграммы
Основные
переменные – Т и Р
Кривая состояния –
это для частицы
На АД наносят кривые
состояния и кривые
стратификации
Кривая состояние описывает
изменения ТД
характеристик частицы при
изменении ее высоты
Кривая стратификации – это
график изменений ТД
характеристик атмосферы с
высотой



Ось абсцисс – температура
Ось ординат функция
давления
Специальные кривые


Сухая адиабата
Влажная адиабата
http://weather.uwyo.edu/upperair/sounding.html
Адиабатический процесс dQ = 0
Свойство 3
Потенциальная температура
dQ/T = cP dT/T - RdP/P= 0
cP dT/T- RdP/P= cP(dlnT/T0–R/ cP dlnP/P0) =
= cP [dln(T/T0) – dln(P/P0)R/ cP] = cP d ln Θ,
Где
Θ = T0(P0/P)k,
при k = R/cP = 0.286, P0 =1000 гПа
(величина Θ называется потенциальной
температурой)
Она не меняется при адиабатическом процессе и
на аэрологической диаграмме изображается
прямой (сухой адиабатой)
Запись уравнения притока тепла через
потенциальную температуру Θ:
cPdlnΘ = dQ/T
Но частное от деления dQ/T есть
полный дифференциал dS функции S,
называемой энтропией (постулат
Клаузиуса)
В метеорологии энтропией очень
редко пользуются, заменяя через
потенциальную температуру, но
ее можно всегда вычислить
S = cP ln Θ= cP(dlnT–k dlnP)
 Размерность энтропии = размерности
теплоемкости
 [S] = [cP]=дж/кг/0К =м2/с2/0К
Именно энтропия позволяет оценить
 КПД систем


Роль энтропии
в метеорологии



II закон термодинамики: возможны (устойчивы)
только такие состояния термодинамического
равновесия частиц в атмосфере, при которых
энтропия не убывает
dS ≥0 или dlnΘ ≥0 или dΘ ≥0
Отсюда: если возникли условия dΘ < 0, то
равновесие нарушается и эти условия ликвидируются
(неустойчивость)
Влажно-адиабатический процесс –
модель образования облака


Это адиабатический подъем/спуск влажного насыщенного
паром воздуха
По мере изменения давления происходят фазовые переходы
(внутренний нагрев/охлаждение)
RT
C dT 
dP  d Q
P
P
за счет фазовых переходов d Q   Ldq (T ) (знак минус!)
w
т.к. при конденсации пара становится меньше, но воздух получает тепло
RT
C dT 
dP  Ldq (T )  0
P
w
P
уравнение влажноадиабатического процесса
Влияние влажности воздуха
на адиабатический процесс

Сколько может сконденсироваться влаги в
насыщенном воздухе при изменении давления в
частице (подъеме или опускании)?


dq
 L
 R E( T )
R E
dE dP
1
w
q 
 


 dq  
 dT   dP  

2
w R P
w 
q
E
P
P
P
 R
R

T
п
w

 п
 п

Влияние влажности воздуха
на адиабатический процесс

Как должна изменяться точка росы ненасыщенном
воздухе, чтобы при подъеме/опускании массовая доля пара
не менялась?
2
2
R T
R T
g  R T
dT
1
dT
dT
п
 п


 п


dP
LP
 g dz
LP
dz
LR
Для температур от 273К до 300К только убывание температуры
насыщенного водяного пара более, чем на 0,2К/100м гарантирует
возможность конденсации.
Влияние влажности воздуха
на адиабатический процесс
Если массовая доля водяного пара в воздушной частице
постоянна (тогда вертикальный градиент точки росы
определяется формулой, выведенной выше), а сама
частица поднимается адиабатически (тогда температура
частицы падает с градиентом, равным
сухоадиабатическому), то водяной пар в частице достигает
состояния насыщения на высоте Hc, называемой уровнем
конденсации
g


t
(
z
)

t



z
,




t t
0
a
a C


0
d0
P

 , и t(H )  t (H )  H 
c
d
c
c
 
g  R T 

a
d
п
t ( z )  t   z,  

d0
d
d
d
LR 
Тем-ра смоч.термометра и
психрометрическое ур-е

На смоченном термометре выполняется равенство
теплосодержания реального воздуха и насыщенного воздуха
при температуре смоченного термометра:
срT+Lq(Тd)=срTсм+Lq(Тсм)



С учетом формул для насыщенного пара получается
нелинейное уравнение
tсм+A*E(tсм)=t+A*E(td)
A=(LR/cpP), E(t)=6,11*10^[at/(b+t)]
Это уравнение служит для расчета психрометрических таблиц и
называется психрометрическим
Влажноадиабатический процесс –
подъем воздуха насыщенного паром с
конденсацией, вызывающей нагрев
Ldq
dT
dP
w,  R
- 

T
P
C T
C
P
P
Уравнение притока тепла за счет конденсации
при понижении давления


 L
 R E(T )
1
dq  
 dT   dP  

2
w 
P
R
P

 R T
 п
 п


 Lq
dT R dP
L
dT dP 


 


 w 
 R T T
T C
P
P  C T
p
 п
 p
R  Lq T
dT T
w

2
2
dP P 
R T 
C  L  q
w
п
 p


1  Lq RT
w
dT
 

2
2
a 
w
dz
1

L

q
C

R

T


w
p п


Количество тепла, выделяющегося в
насыщенном воздухе при конденсации
Изменение температуры в частице
насыщенной паром при понижении давления
с конденсацией
Влажноадибатический градиент
температуры – показатель ее падения с
высотой в насыщенной частице
Свойства влажноадиабатического
градиента
1  Lq RT
dT
w

 

2
2
a 
w
dz
C  R T 
1  L  q
w
p п





Сильно зависит от температуры частицы и давления на
высоте ее нахождения
В нижней тропосфере он существенно меньше
сухоадиабатического
С высотой он растет и в верхней тропосфере сравнивается
с сухоадиабатическим
Именно эти свойства определяют положение облака !
Схема образования кучевых облаков
Анализ образования облака по АД
Самостоятельное задание:




Указать на АД, где уровень конденсации
Подниматься по ВлАдиабате до уровня ее
пересечения с кривой стратификации – это
верхняя граница облаков
Указать уровень неустойчивости нисходящих
токов, откуда могут выпадать осадки
Определить возможную температуру осадков на
земле
рос до того, как начну справшивать я!
По этому
Адресу
находятся
Данные
Радиозондов
(Вайоминг,
США)
http://weather.uwyo.edu/upperair/sounding.html