1_08

1.8. Конденсация Бозе – Эйнштейна
Бозе-эйнштейновская конденсация.
Возбуждения в неидеальном бозе-газе.
Сверхтекучесть. Критерий сверхтекучести
Ландау
Статистика Бозе – Эйнштейна
.
 Рассмотрим газ частиц с симметричной волновой функцией,
описываемых во вторичном квантовании операторами рождения и
уничтожения и подчиняющихся следующим коммутационным
соотношениям:
ak ak'  ak'ak  kk ' , ak ak'  ak'ak  0, ak ak '  ak 'ak  0
 Действие операторов в представлении чисел заполнения:
ak | nk  nk | nk  1 , ak | nk  nk  1 | nk  1 , akak | nk  nk | nk 
 Числа
заполнения квантовых состояний при симметричных
волновых функциях ничем не ограничены и могут иметь
произвольные значения
 Статистическая сумма для системы невзаимодействующих частиц:
Q   exp{N / T }[ exp{E nN / T }]   (exp[(   k )]) nk
N
n
nk
 Химический потенциал должен быть отрицателен
2
Бозе-газ
.
 Термодинамический потенциал:
   T ln Q
k  T ln(1  exp[
  q
 Средние числа заполнения:
nk ( T )  nk  ak ak 
 Полное число частиц в газе:
1
Vm3 / 2
N 

2 3



2


k
k
exp[
] 1
T
 Энергия бозе-газа:
1
Vm 3 / 2
E   k




2 2  3
k
k
exp[
] 1
T
3
T
])
1
 
exp[ k
] 1
T

 d
0

 d
0


exp[
] 1
T
 

exp[
] 1
T
Бозе-газ
.
 Низкие температуры: химический потенциал достигает нулевого
значения при температуре конденсации:
(mT0 ) 3 / 2
N/V 
2 2  3
T0 
2
(mT0 ) 3 / 2
z
 dz exp[z]  1  2 2 3 / 2  3 (3 / 2)
0

(3 / 2)2 / 3
2 N 2 / 3
2 N 2 / 3
( )
 3.31
( )
m V
m V
 Число частиц с ненулевой энергией:
V (mT ) 3 / 2 
z
T 3/2
N  0 
dz

N
{
}
 exp[z]  1
T0
2 2  3 0
 Число сконденсировавшихся частиц:
N0  N0  N[1  ( T T0 ) 3 / 2 ]
 При температуре T=T0 начинается конденсация бозе-частиц в
низшее энергетическое состояние
4
Бозе-газ
.
 Термодинамические
величины бозе-газа в условиях наличия
конденсата:
Vm 3 / 2
E
2 2  3
 
3V (mT ) 3 / 2 T
 d exp[ T ]  1  4 2 3 / 2  3 (5 / 2) 
0

 0.770NT[ T T0 ]3 / 2 ,
C   E T  5E 2 T ~ T 3 / 2 ,
S   [C T ] dT  5E 3 T ,
2
F  E  TS   E.
3
 Теплоемкость имеет при T=T0 излом и равна 1.92N. Таким образом,
явление бозе-конденсации – типичный фазовый переход второго
рода.
5
Возбуждения в бозе-газе
.
 В квантовой бозе-системе элементарные возбуждения должны
иметь целочисленный спин, так как момент импульса всякой
квантово-механической системы может меняться только на целое
число. Поэтому в квантовой бозе-жидкости элементарными
возбуждениями с малыми импульсами p являются обычные
гидродинамические волны, т.е. фононы (квазичастицы с нулевым
спином). Таким образом, закон дисперсии возбуждений должен
быть линеен:
p  up
 Функция распределения возбуждений:
1
n(p) 
.
p
exp[ ]  1
T
 При
6
низких температурах возбуждения практически не
взаимодействуют и их можно считать идеальным бозе-газом с
нулевым химпотенциалом
Возбуждения в бозе-газе
.
 Термодинамические величины жидкости при низких температурах:
1  3
up
2
EV
dp

VT 4 ,
3 
3
exp[up T ]  1 30u
(2) 0
C  E T  4E T ~ T 3 ,
S   [C T ] dT  4E 3 T ,
1
F  E  TS   E.
3
 При
увеличении импульса закон дисперсии отличается от
линейного, и дальнейший ход зависимости определяется
взаимодействием между частицами бозе-газа
 Рассмотрим слабо неидеальный бозе-газ с одинаковым
взаимодействием U между парами частиц, описываемый
гамильтонианом
H
 p ap ap 
p
7
U
2V
 ap

a
ap2 ap1
p
4
3
p1p2p3p 4
p1  p2  p3  p 4
Возбуждения в бозе-газе
.
 Упростим взаимодействующую часть гамильтониана, учитывая, что
в основном состоянии частицы находятся в конденсате, и ввиду
слабости
взаимодействия
основное
состояние
взаимодействующего газа будет слабо отличаться от основного
состояния идеального газа, поэтому число частиц над конденсатом
будет много меньше числа конденсатных частиц:
Hint 
U  
{a0 a0 a0 a0   (2ap a0 ap a0  2apa0 apa0  ap apa0 a0  a0 a0 ap ap )}.
2V
p0
 Взаимодействующая часть гамильтониана переписывается в виде
Hint 

U  2


 
N

N
(
2
a
a

2
a
a

a
a

a
a
)
0
0
p p
p p
p p
p p 
2V 
p 0

 Учтем выражение для полного числа частиц:
1
N  N0   (ap ap  a  p a  p )
2 p0
8
Возбуждения в бозе-газе
.
 Полный гамильтониан:
UN2 1
p2
UN
UN  
H
  [(

)(ap ap  a p a p ) 
(ap a p  ap a p )].
2V
2 p  0 2m
V
V
 Введем линейные преобразования операторов:
ap 
1
1  A p2
( p  A p  p ), ap 
1
1  A p2
( p  A p  p )
 Подставляя их в гамильтониан и обозначая S=UN/V, Sp=p2/2m+S,
Δp=1+Ap2, Wp=1-Ap2, получаем:
H  SN / 2 


9



1
1
1
2
S
A

SA

{Sp p  2SA p }(p p   p p ) 
W p p

p
2 p  0 Wp
p0
p


1
1
{2Sp A p  Sp }(p  p  p p ) .

2 p  0 Wp
2S p A p  S p  0  A p 
1
(S p  S p2  S 2 )
S
Возбуждения в бозе-газе
.
 Полная энергия системы:
E  H  E 0 
1
E p   p  p   p  p E 0   E p np ,

2 p 0
p 0
  p  p  np ,
E 0  SN / 2 
1
SA p ,

2 p 0
2
2
 p 2 UN   UN 
2
2
    .
E p  S p  S  

 2m V   V 
 В предельных случаях спектр возбуждений имеет вид:

E p  up, u  UN mV , p  0;

p 2 2m,
p  .
 Из вида спектра возбуждений видно, что локальных минимумов на
10
нем нет, так как смене линейной на квадратичную зависимость
соответствует только точка перегиба
Возбуждения в бозе-газе
.
 В реальном газе при возрастании взаимодействия возможен
локальный минимум (что наблюдается у жидкого гелия):
(p  p 0 ) 2
Ep   
2m *
 m* – эффективная масса этих возбуждений, называемых ротонами
11
Возбуждения в бозе-газе
.
 При
низких температурах распределение ротонов близко к
больцмановскому, в этом пределе
1  3
1
EV
d
pE
exp[

E
/
T
]

N
(
T  ),
p
p
p
3 
2
(2) 0
3  2
C   E T  Np (   2 ),
4 T T
3 
S   [C T ] dT  Np (  ),
2 T
2(m * T )1 / 2 p20 V
F  E  TS   TNp , Np 
exp[  T ].
3/2 3
(2) 
 Неидеальный бозе-газ имеет два вида возбуждений – фононы и
12
ротоны, отвечающих различным участкам по импульсу q одной и
той же ветви возбуждений. При низких температурах ротонная
часть меньше фононной и, наоборот, при высоких превалирует над
фононной, так что теплоемкость
имеет сначала степенную
зависимость, а затем экспоненциальную
Сверхтекучесть
.
 Рассмотрим бозе-жидкость при T=0, текущую по капилляру. Если
между жидкостью и стенками капилляра имеется трение, это
может привести к увлечению жидкости стенками капилляра. Это
приводит к появлению элементарных возбуждений и диссипации
энергии. Энергия жидкости, связанная с этими возбуждениями,
имеет вид

M2
(p)  p  
2
 Для того, чтобы такое возбуждение появилось, необходимо, чтобы
 
(p)  p   0
 Эта величина имеет минимальное значение при антипараллельных
скорости и импульсе. Таким образом,
 
 Критерий сверхтекучести Ландау:

p
   p min
13
Сверхтекучесть
.
 Минимальному значению ε/p соответствует точка кривой ε(p), в
которой
d


dp
p
 Производная dε/dp есть скорость элементарного возбуждения.
Поэтому критерий Ландау означает, что сверхтекучее движение
может иметь место, только если скорость жидкости меньше
скорости элементарного возбуждения в точках, удовлетворяющих
уравнению. Опасная точка лежит правее ротонного минимума
 Скорость сверхтекучего движения должна быть

1

( p 20  2m *   p 0 ) p2  2m *  
0
m*
p0
 Импульс газа возбуждений в единице объема:




d3p
d3p
2
P   p n( p  p )
  / 3 p n / 
3 0
(2)
(2) 3
14
Сверхтекучесть
.
 Бозе-жидкость при T≠0 представляет собой смесь двух жидкостей
– “сверхтекучей” и “нормальной”, движущихся без трения
относительно друг друга
 Фононная и ротонная части нормальной плотности:
 nf
2m *1 / 2 p 04 exp(  T )
2 2 T 4

,  np 
5
45u
3(2) 3 / 2 T 1 / 2
 Оставшаяся
движению.
потенциально:
часть плотности соответствует сверхтекучему
Движение
сверхтекучей
компоненты
всегда

rot  s  0
 В бозе-жидкости могут происходить колебания двух различных
типов с разными скоростями. Нормальная и сверхтекучая
компоненты колеблются в противофазе, так что полный поток
жидкости равен нулю
15