Законы изменения и сохранения механической энергии

Законы изменения и
сохранения механической
энергии
Механическая работа
Полная механическая
энергия
Механическая работа


Механическая энергия – это энергия
движения и сопровождающего его
взаимодействия.
Механическая работа – это мера
изменения механической энергии.
Механическая работа

Работа силы определена на бесконечно малом
перемещении формулой
A  ( F , dr )  F dr cos  .
F
y
1

r1
При перемещении
из точки 1 в точку 2
2
r2
z
r
2
x
A12   F  dr .
1
Графический смысл работы
Работа определяется площадью фигуры,
ограниченной зависимостью F ( S ) ,
s
cоответствующими ординатами и осью S.

Fs
1
A
o
2
S
Работа, мощность

Работа суммы нескольких сил, действующих
одновременно на частицу, равна сумме
работ, которые совершила бы каждая сила в
отдельности
A  A1  A2 

Мощность-это работа, совершаемая за
единицу времени
dA
dr
P
dt
F
dt
 F  .
Кинетическая энергия

Кинетическая энергия-это энергия
движения. Рассмотрим элементарную
работу
md
( F , dr )  (
, dt )  m( , d )
dt
m
 m d  d (
).
2
2
Кинетическая энергия
m 2
Ek 
.
2

Кинетической энергией называют

Изменение кинетической энергии частицы
определяется работой всех сил, действующих на
частицу.
A  dEk .

В интегральной форме
2
A12   F  dr  Ek 2  Ek1.
1
Потенциальное поле сил


Поле, работа сил которого не зависит от
пройденного пути, а определяется лишь
начальным и конечным положением частицы,
называется потенциальным, а силы этого поля –
консервативными.
В потенциальном поле работа сил поля на
любом замкнутом пути равна нулю.
Потенциальное поле сил

Рассмотрим замкнутую траекторию
2
a
A  A12( a )  A21(b) ;
A12(b)   A21(b) ;
b
1

A  A12
так как
(a)
 A12
(b )
 0.
A12(a)  A12(b) .
Потенциальная энергия частицы в
поле

Перемещаем частицу в потенциальном поле сил
из различных точек в фиксированную точку О
P1
r1
r2
0
r3
P2
P3
Потенциальная энергия частицы в
поле

Работа будет зависеть только от положения
точки P, т.е. будет функцией лишь радиусвектора точки P.
0
AP 0   F  dr  U (r ).
P

U (r )
Функция
называется
потенциальной энергией частицы в данной точке
поля.
Потенциальная энергия частицы в
поле

P1
r1
Переместим частицу из точки 1 в точку 2 через
точку 0
r2
0
r3
P2
A12  A10  A02 
A10  A20  U1  U 2 .
P3
Потенциальная энергия частицы в
поле

Работа сил потенциального поля равна
убыли потенциальной энергии частицы в
данном поле
2
A12   F  dr  U1  U 2 .
1

В дифференциальной форме
A  F  dr  dU .
Потенциальная энергия и сила поля

Каждой точке потенциального поля соответствует,
с одной стороны, некоторое значение силы,
действующей на частицу, с другой стороны,
некоторое значение потенциальной энергии.
Между ними должна существовать связь.
A  F  dr  dU .
Потенциальная энергия и сила поля


Fx dx  Fy dy  Fz dz  dU .
dU
- это полный дифференциал
U
U
U
dU 
dx 
dy 
dz.
x
y
z
Потенциальная энергия и сила поля
U
U
U
Fx dx  Fy dy  Fz dz  
dx 
dy 
dz.
x
y
z
Fx  
U
U
U
; Fy  
; Fz  
.
x
y
z
U
U
U
F  (
i
j
k ).
x
y
z
Потенциальная энергия и сила поля

Вектор с компонентами
U
;
x
U
;
y
U
.
z
называется градиентом скалярной
U ( x, y, z ).
функции
F   gradU  U .
Механическая энергия частицы в
поле

Выделим из всех сил, действующих на частицу,
силы консервативные, остальные силы назовем
сторонними
dEk  Ak  Añò ,
Ek  U  E,
Ak  dU ,
dE  Añò ,
dEk  dU  Añò ,
E2  E1  Añò.
Закон изменения механической
энергии

Приращение полной механической
энергии частицы на некотором пути равно
работе сторонних сил, действующих на
частицу на этом пути.
Механическая энергия
системы

Силы, действующие на систему, разобьем на
внешние и внутренние. Внутренние – на
консервативные и диссипативные
dEk  Aâí åø  Aâí óòð 
Aâí åø  Aêî í ñâí óòð  Aäèññèï âí óòð .
âí óòð
dUâç  Aêî í ñ
.
Механическая энергия системы
d ( Ek  U âç )  Aâí åø  Aäèññèï
âí óòð
;
E2  E1  Aâí åø  Aäèññèï âí óòð .
Приращение механической энергии системы
равно алгебраической сумме работ всех
внешних сил и всех внутренних
диссипативных сил.
Закон сохранения механической
энергии системы

Механическая энергия замкнутой системы
частиц, в которой нет диссипативных сил,
сохраняется в процессе движения
E2  E1  0, E1  E2  const.
Механическая энергия системы

Внешние силы, действующие на систему частиц,
могут быть консервативными и диссипативными
dEk  Aâí åø  Aâí óòð 
Aäèññèï âí åø  Aêî í ñâí åø  Aêî í ñâí óòð  Aäèññèï âí óòð ;
âí åø
Aêî í ñ
 dU ;
âí óòð
Aêî í ñ
 dUâç.
Закон изменения механической
энергии системы
d ( Ek  U âç  U )  Aäèññèï âí åø  Aäèññèï âí óòð ;
E2  E1  Aäèññèï ;
E  Ek  U âç  U .

Приращение механической энергии системы
определяется работой диссипативных сил.
Закон сохранения механической
энергии системы

Полная механическая энергия системы
частиц, на которую действуют только
консервативные силы, остается постоянной
E2  E1  0, E1  E2  const.