(B 1 M) (A 1 K)

Учитель математики высшей категории
Вычисление угла
Вычисление расстояния
Между прямыми
Между прямой и плоскостью
Между плоскостями
Тела вращения
От точки до точки
От точки до прямой
Пример
Площади и объемы
От точки до плоскости
Построение сечений
методы
выход
Пошаговое
вычисление
Метод
координат
Разложение
по векторам
Вычисление
угла
Вычисление
расстояния
Между прямыми
да
да
да
Между прямой и плоскостью
да
да
да
Между плоскостями
да
да
да
Между прямыми
да
да
Трехгранный угол
Факультативный курс. В
школьных учебниках не
рассматривается
Между прямой и плоскостью
да
да
Между плоскостями
да
да
От точки до точки
да
да
От точки до прямой
да
да
Сложность и объемность
вычислений
От точки до плоскости
да
да
Вычисление части объема
классификация
выход
Поиск угла между прямыми
В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания равна
боковому ребру. Найдите косинус угла между прямыми АF1 и FE1
Построение плоскости,
содержащей прямые,
параллельные данным
Ответ: Cos α = 3/4
Метод
координат
методы
Векторы
классификация
выход
Поиск угла между прямой и плоскостью
В основании пирамиды лежит прямоугольник АВСD. Боковое ребро ВО
перпендикулярно основанию. Найдите косинус угла между прямой АК, где К –
середина ребра ОD, и плоскостью ОВС. Отношение сторон АВ к АD равно 1/2,
высота пирамиды равна большей стороне основания.
Пошаговый метод решения
Метод координат
Ответ: 2√2/3
методы
классификация
выход
Построение линейного угла
Метод координат
Разложение по векторам
Трехгранный угол
методы
классификация
выход
Поиск расстояния от точки до прямой
Пошаговый метод решения
Метод координат
В кубе АВСDA1B1C1D1 со стороной равной 6 см, найдите расстояние от
вершины D до прямой А1К, где точка К – середина стороны В1С1
Координаты точек: А1(6;0;0), К(0;3;6), D(6;6;0)
B1 z
Вектор А1К: А1К(-6;3;6) или а(-2;1;2)
-6(x-6)+3(y-6)+6(z-0)=0 или
-2x + 1y + 2z + 6=0
C1
D1
А1
Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору
А1К и проходящей через точку D:
K
В
А
x
С
y
D
Уравнение прямой А1К
x=-2t+6
y=t и z=t
(x-6)/ (-2)= (y-0)/1 = (z-0)/2 = t
Точка пересечения прямой и плоскости
t=6/7
-2(-2t+6)+t+2t+6=0
методы
классификация
С(30/7;6/7;6/7)
выход
Поиск расстояния от точки до плоскости
Дан куб АВСDA1B1C1D1 Найдите расстояние от
вершины А1 до плоскости АВ1D1,
если ребро куба равно √3
Построение плоскости,
перпендикулярной данной
Метод координат
Вычисление объема
пирамиды
Ответ: 1
методы
классификация
выход
Поиск расстояния между прямыми
В кубе АВСDA1B1C1D1 со стороной равной √6 найдите расстояние между
прямыми СD1 и А1К, где точки Е и К –середины сторон AD и В1С1.
B1
P K
Шаг 1. Построение плоскости, содержащей прямую А1К и
параллельной прямой СD1
C
D1 M11
A1
Шаг 2. Построение плоскости, содержащей прямую CD1 и
параллельной построенной
T
B
C
O
E
A
Шаг 3. Построение плоскости, перпендикулярной плоскостям D1CE
и BA1K
M
D
(B1PM) ┴ (A1K); (B1M) ┴ (A1K) => / K1B1P = / B1BK;
B1B = B1C1 => C1M1 = B1K1 = D1C1/2
M1M║B1B, M1M ∩ CD1 = T; D1M1 = M1C1 = MC => M1T=TM
∆ B1C1M1=∆ A1B1K => B1M1=A1K
B1
K
C1 B
1
∆B1C1M1 ~ ∆B1KP
P
M1
P
M1
A1
E
D1 B
α
T
F
α
α
O
M
B1M1=(B1C12+C1M12)1/2=√30/2
∆ A1B1K => B1P=B1K·B1A1/A1K
B1P=√6/2·√6/(√30/2)=√30/5
∆B1PB ~ ∆MOT => OM:B1P=MT:B1B
OM=√30/10; tgα=OM/TM=√5/5; Cosα=√30/6
∆ BFO ~ ∆ A1B1K => FO=BO·Cosα
BO=PM1=B1M1 - B1P= 2√30/5
методы
классификация
FO = 2
выход
Поиск расстояния между прямой и плоскостью
Шаг 1.
отсутствует
Шаг 2. – Шаг 3 оставшиеся построения и расчеты полностью
соответствуют задаче определения расстояния между прямыми
Поиск расстояния между плоскостями
Шаг 1.
отсутствует
Шаг 2.
отсутствует
Шаг 3. Оставшиеся построения и расчеты полностью
соответствуют задаче определения расстояния между
прямыми
Метод координат
методы
классификация
выход
Поиск расстояния между прямыми и плоскостями
Поместим куб в систему координат так, что
z
B1
A1
x
В (0; 0; 0); А(√6; 0; 0); С(0; √6; 0)
C1
A1B║D1C => │(D1C);(A1K)│= │(D1C);(BA1K)│
D1
B
A
K
А1(√6; 0;√6) и К(0; √6/2; 0)
C y
Составим уравнение плоскости (А1ВК)
ax + by + cz + d = 0
D
B => 0a+0b+0c+d = 0 => d = 0
E
K => 0a+√6/2·b+√6c+0=0 => b=-2c; A1 => √6a+0b+√6c+0=0 => a=-c =>
-cx-2cy+cz=0 => x+2y-z=0 => n(1; 2; -1); |n| = √12+22+12 = √6
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными
плоскостями их содержащими. Вычисляется как расстояние от произвольной точки
первой плоскости до второй плоскости.
|С;(А1КВ)| =
|а·xc+b·yc+c·xc+d|
a2+b2+c2
=
1·0+ 2·√6+(-1)·0
√6
=2
где (a;b;c) – координаты
вектора нормали
│(D1C);(A1K)│=│(D1C);(A1KВ)│= │(D1CE);(A1KB)│= 2
методы
классификация
выход
Свои пожелания и вопросы направляйте по адресу:
[email protected]
методы
классификация