Вероятностная модель оценки индексов влияния

Вероятностная модель
оценки индексов влияния
«Центр-Филиалы» 06-06-0002
ГУ-ВШЭ Нижний Новгород
Бацын М.В.
Описание модели
• Игрок влияет на исход голосования только в тех
случаях, когда он ключевой.
• Индекс влияния – это вероятность игрока повлиять на исход голосования, т.е. оказаться
ключевым.
• Вероятность оказаться ключевым определяется
распределением вероятностей итогов
голосования.
• Различные распределения вероятностей
порождают различные индексы влияния.
• Предпочтения участников выражаются
условными вероятностями: P(i=да/j=да).
.
Вычисление индекса влияния
Индекс влияния Pw игрока k равен:
Pw(k ) 
p


yes
(k ,  )  pno (k ,  ) 
  q
   k  q
p yes (k ,  )  pi1 ... in

1, если l
il  1, если l  k

0, иначе
, pno (k ,  )  pi1 ... in

1, если l
il  0, если l  k

0, иначе
Суммирование производится по всем коалициям, которые
игрок k делает выигрывающими
p yes ( k ,  ) – вероятность того, что игрок k присоединился к
коалиции , проголосовав «да» и обеспечив результат всего
голосования «да»
pno (k ,  ) – вероятность того, что игрок k не присоединился к
коалиции ,проголосовав «нет» и обеспечив результат всего
голосования «нет»
Пример вычисления
Пусть игрок А – ключевой в коалициях АВ и АВС,
т.е. он делает выигрывающими коалиции В и ВС,
тогда:
p yes ( A, B)  p110 , pno ( A, B)  p010
p yes ( A, BC )  p111, pno ( A, BC )  p011
Pw( A)  ( p110  p010 )  ( p111  p011)
Индексы Банцафа и Шепли-Шубика
Индекс Банцафа для игрока i из n игроков равен:
i 
Ni
n
N
k 1
k
где Ni – это число коалиций, в которых i – ключевой
Индекс Шепли-Шубика для игрока i равен:
( s  1)!(n  s)!
i  
n!
S
где i – ключевой в S, а s=|S| – число игроков в коалиции S
Пример вычисления индексов
Пусть в голосовании с квотой q=51 участвуют партии A,
B, C, D, E с весами 5, 10, 20, 30, 35. Выпишем для
каждой партии коалиции, в которых она является
ключевой:
A:
B:
C:
D:
E:
ACD
BCD
CE, ACD, ACE, BCD , BCE , ABCD, ABCE
DE , ACD, ADE , BCD, BDE , ABCD, ABDE
CE, DE , ACE, ADE , BCE , BDE , CDE , ABCE , ABDE
Индекс Банцафа:
1 1 7 7 9
, , , ,
25 25 25 25 25
Индекс Шепли-Шубика:
2 2 17 17 22
, , , ,
60 60 60 60 60
Вероятностная интерпретация
Штраффина (Straffin, 1977)
• Условие независимости: все игроки голосуют независимо друг от друга, и вероятность проголосовать «да»
равна ½ для каждого из них
• Условие однородности: сначала генерируется значение
случайной величины p распределенной равномерно на
отрезке [0,1], а затем вероятность проголосовать «да»
выбирается равной p для каждого игрока
• Вероятность игрока быть ключевым в голосовании при
условии независимости равна индексу Банцафа, а при
условии однородности – индексу Шепли-Шубика
Индексы Банцафа и Шепли-Шубика
Распределения вероятностей итогов голосования,
соответствующие индексам Банцафа и Шепли-Шубика
1
Индекс Банцафа: pi1 ,i2 ,..., in  n
2
n
1
, где k   il
Индекс Шепли-Шубика: pi1 ,i2 ,..., in 
k
(n  1)Cn
l 1
Предпочтения участников для Банцафа и Шепли-Шубика
одинаковы для любой пары игроков.
Ограничения на коалиции
• Запрет образования определенных коалиций требует
модификации распределения вероятностей.
• Вероятности исходов, соответствующих
запрещенным коалициям, приравниваются к 0.
• Остальные вероятности увеличиваются
пропорционально так, чтобы сумма всех
вероятностей из совместного распределения
оставалась равной 1.
• Если, например, запрещена коалиция АВС, то:
p111  0
S  p000  p001  p010  p011  p100  p101  p110
p000 
p000
p
, ..., p110  110
S
S
Имитационное моделирование
• Вероятностный подход к индексам влияния позволяет
применять имитационное моделирование для их
аппроксимации.
• Для заданного распределения создается генератор
итогов голосования.
• Индекс влияния игрока будет приближаться частотой
исходов, в которых он оказался ключевым
• Имитационное моделирование можно использовать,
когда число игроков велико и прямой подсчет индексов
влияния невозможен. Например, если число игроков
n=100, то для прямого подсчета необходимо перебрать
2 n  2100  1030 возможных коалиций игроков
Примеры применения
имитационного моделирования
• Число игроков n=103, квота q=51, веса: 30, 15, 5,
0.5, …, 0.5. Значения индекса Шепли-Шубика для
игроков после округления относятся как:
80 : 25 : 9 : 1 : … : 1
• Число игроков n=91, квота q=51, веса: 10, 1, …, 1.
Значения индекса Шепли-Шубика для игроков
после округления относятся как:
10 : 1 : … : 1
• Число игроков n=100, квота q=2526, веса: 1, 2, 3, …,
100. Значения индекса Шепли-Шубика для игроков
после округления относятся как:
2 : 3 : 5 : 6 : 10 : … : 201 : 209 : 210
Резюме
• Вероятностная модель позволяет определить
множество различных индексов влияния
• Широко используемые индексы Банцафа и ШеплиШубика укладываются в рамки данной модели
• Ограничения на коалиции легко описываются с
помощью вероятностной модели
• Вероятностный подход позволяет применять
имитационное моделирование для вычисления
индексов влияния в случае большого числа игроков