Конкурентные задачи распределения ресурсов между

Конкурентные задачи распределения
ресурсов между несколькими рынками
В.Л.Крепс, (Санкт-Петербург, СПбЭМИ РАН)
В теоретико-игровой постановке задачи распределения ограниченных
ресурсов решались различными авторами. История вопроса и обширная
библиография содержатся в книге Н.Н. Воробьева [1]. В недавней книге
А.А.Васина [2] разработаны теоретико-игровые методы и подходы к
задачам, возникающих в моделях рыночной экономики.
Рассматривается игровая задача, в которой m участников
распределяют свой наличный одномерный ресурс xi , i = 1, . . . , m
на продажу между n рынками. Цена единицы ресурса на каждом рынке
зависит от предложения и убывает с ростом предложения ресурса
на этом рынке каждым из игроков. Мы предполагаем, что рынок j
характеризуется параметром aj , j = 1, . . . , n, и цена единицы ресурса на
рынке j с точностью до множителя aj задается одной и той же для всех
рынков однородной функцией от суммарного предложения на рынок
j. Показатель однородности этой функции принадлежит интервалу
(−1, 0). Выигрыш (полезность) каждого игрока является суммой его
доходов от продаж на всех рынках.
Если непосредственная кооперация между участниками отсутствует,
то модель естественно рассматривается как бескоалиционная игра m лиц.
В работе устанавливается, что использование единственной ситуации
равновесия по Нэшу для этой игры приводит к тому, что:
а) цены единицы ресурса на всех рынках оказываются равными;
б) все игроки распределяют свои ресурсы между рынками в одной
и той же пропорции. Доля наличного ресурса, направляемая игроком
на рынок j, j = 1, . . . , n не зависит от числа игроков, а также от их
наличных ресурсов и совпадает с долей, которую для случая m = 1
предписывает решение соответствующей оптимизационной задачи.
Таким образом, игроки могут использовать равновесные стратегии,
1
не обладая информацией ни о ресурсах партнеров, ни об их числе.
Этот феномен является следствием специального вида цен, а значит и
функций полезностей игроков. При функциях полезностей общего вида
доля ресурса, выделяемая игроком на каждый рынок, должна зависеть
от числа игроков и их наличных ресурсов и, во всяком случае, от
соотношений между наличными ресурсами участников игры.
Равновесное
поведение
игроков
обеспечивает
максимум
их суммарного выигрыша, который можно трактовать как
"общественную"полезность.
Опишем формально приведенную модель и соответствующую
бескоалиционную одношаговую игру. Пусть
x = (x1 , . . . , xi , . . . , xm ), xi ≥ 0 – вектор начальных ресурсов игроков;
zi (j) – количество ресурса игрока i, направляемое им в на j-ый
P
рынок, j = 1, . . . , n, При этом 0 ≤ zi (j) ≤ xi и nj=1 zi (j) = xi .
Pm
Суммарное
количество
ресурсов
направляемых
i=1 zi (j),
всеми игроками на j-ый рынок будем обозначать z(j). В модели
предполагается, что цена единицы ресурса на j-ом рынке равна
aj · (z(j))β−1 ,
где aj > 0 и 0 < β < 1. Таким образом, цена на рынке является
однородной функцией от предложения с показателем однородности β −1.
Доход игрока i от продажи на рынке j равен
aj · (z(j))β−1 · zi (j).
Вектор доходов игроков на каждом рынке пропорционален вектору их
вложений в этот рынок. Эта вектор-функция однородна с показателем
однородности β.
Рассмотрим
параметрическое
семейство
бескоалиционных
одношаговых игр G(x, a = (a1 , . . . , an ), β) m лиц. В этих играх
стратегии zi игрока i, i = 1, . . . , m, представляют собой распределение
его ресурса xi по всем рынкам
zi = (zi (1), . . . , zi (j), . . . , zi (n))|zi (j) ≥ 0;
n
X
zi (j) = xi .
j=1
Функция выигрыша Ki игрока i (его полезность) для набора стратегий
z = (z1 , . . . , zm ) определяется как сумма его доходов от продаж на всех
2
рынках:
Ki (z) =
n
X
(aj · (z(j))β−1 · zi (j)).
j=1
Теорема. Игра G(x, a, β) имеет единственную ситуацию равновесия
z∗ = (z∗1 , . . . , z∗m ). Равновесные стратегии предписывают всем игрокам
делить ресурсы в одной и той же пропорции
1/(1−β)
aj
∗
zi (j) = Pn
1/(1−β)
j=1
aj
· xi .
Для этих наборов равновесных стратегий выигрыш игрока i равен
Ki (z∗ ) = (
m
n
X
X
1/(1−β) 1−β
aj
)
· xi · ( xl )β−1 .
j=1
В ситуации равновесия z∗
выигрыша игроков
m
X
i=1
(1)
l=1
достигается максимум суммарного
∗
Ki (z ) = max
z
m
X
Ki (z).
i=1
Замечание. Выигрыши игроков в единственной ситуации равновесия
с точностью до коэффициента составляют ту же вектор-функцию, что
и доходы игроков на каждом рынке в исходной задаче. Это означает,
что равновесное использование нескольких рынков эквивалентно
использованию одного рынка с вектор-функцией полезности того же
вида, а именно задавамой правой частью (1).
Случай двух конкурентных рынков n = 2 исследовался в работе [3].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука,
1984, 496 с.
2. Васин А.А. Некооперативные игры в природе и обществе. – М.: МАКС
пресс, 2005, 412 с.
3. Domansky V., Kreps V. Social equilibria for competitive resource allocation models // in: Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems,
Springer-Verlag, 2002, Vol. 510, P.408-419.
3