Много ники гран Гимназия №125

Гимназия №125
Многогранники
Геометрия 11 класс
Церетели Н.К.
Содержание:
•
•
•
•
•
•
•
•
Многогранник
Призма
Пирамида
Усечённая пирамида
Образец решения задачи
Задания
Тест
Приложение
Многогранник
Многогранник- это такое тело, поверхность
которого состоит из конечного числа плоских
многоугольников.
Грани- общая поверхность многогранника.
Рёбра- стороны граней многогранника, а
вершины-вершины многогранника.
Призма
Призма-многогранник, две грани которого
(основания)-равные n-угольники, лежащие в
параллельных плоскостях, а остальные n граней
(боковые)-параллелограммы.
Прямая
Наклонная
Сечения
Площадь поверхности и
объём призмы
основание
H
H
основание
Sбок.пов.= РН
Sполн.= Sбок.+2Sосн.
V= Sосн.H
Росн.- периметр
Н-высота
основания,
Пирамида
Пирамида- многогранник, одна грань которого
(основание)-многоугольник, а все остальные грани (боковые)
треугольники, имеющие общую вершину.
Правильная пирамида, если основание её-правильный
многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Площадь поверхности и
объём пирамиды
l
H
Sбок.= 1/2 Рl
Sполн.= Sбок.+Sосн.
V = 1/3 HSосн.
Р-периметр основания
l-апофема
Усечённая пирамида
Усечённая пирамида-часть пирамиды, заключённая
между её основаниями и сечением пирамиды,
параллельным основанию.
Площадь поверхности и
объём усеченной пирамиды
меньшее
основание
Sбок. =(Р+р)l
Sполн.= Sбок.+S+s
большее
основание
апофема(l)
V=1/3H(S+s+Ss)
Образец решения задачи
Основание пирамидыравнобедренный
треугольник,у которого
основание равно 12см, а
боковая сторона-10см.
Боковые грани образуют с
основанием равные
двугранные углы, содержащие
по 45°. Найти высоту.
S
А
М
N
45°
O
К
С
В
Проведем перпендикуляр SO к
плоскости основания и
перпендикуляры SK, SM и SN к
сторонам ABC.тогда по теореме
о трёх перпендикулярах OK  BC,
OM  AC и ON  AB. Тогда,
SKO = SMO = SNO= 45°- как
линейные углы данных
двугранных углов
ОК=ОМ=ОN. Площадь АВС:
Sⁿ= (p(р-АВ)(р-АС)(р-ВС))
=48см,
S=рr  r = S/р  r =ОК=3см
Ответ: 3см.
Задача №1
В основании пирамиды
лежит треугольник,
одна из сторон
которого равна 8, а
противолежащий угол
равен 30°. Боковые
ребра равны и имеют
длину 17. На каком
расстоянии от
плоскости треугольника
расположена вершина
пирамиды?
Задача №2
Высота правильной
шестиугольной
пирамиды равна 6, а
боковые грани
наклонены к основанию
под углом 60°. Чему
равна сторона
основания этой
пирамиды?
Задача №3
Диагональное сечение правильной четырёх угольной
пирамиды-правильный треугольник,со стороной 2.
Чему равна апофема пирамиды?
Задача №4
В основании пирамиды лежит ромб, со стороной
равной 8 и острым углом 60°. Все боковые грани
пирамиды наклонены к основанию под углом 45°.
Определите высоту пирамиды.
Тест
•
•
•
•
•
•
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№1
Найдите расстояние между
скрещивающимися рёбрами
правильного тетраэдра с ребром 2.
a) 3
b) 1
c) 9
d) Сдаюсь
Вы ответили неверно!
Чертёж:
Чертёж
Поздравляю, вы ответили
верно!
№2
Основание и боковая грань пирамиды
DABC-правильные треугольники ABC
и DAC, плоскости которых взаимно
перпендикулярны. Найдите AC, если
объём пирамиды равен 1
а) 2
b) 4
c) 8
d) Сдаюсь
Сегодня эрудиция не на вашей
стороне! К сожалению, вы
ответили неверно!
Чертёж:
Чертёж
Вы просто молодец!
№3
Основание пирамиды-квадрат со
стороной, равной 62 . Косинус угла
наклона каждого бокового ребра к
плоскости основания равен 3/5.
Найдите объём пирамиды.
a) 192
b) 8
c) 72
d) Сдаюсь
Что-то Вы не в духе?!
Чертёж:
Чертёж
Отлично, так держать!
№4
Стороны оснований прямого
параллелепипеда равны 2 и 5, угол
между ними равен 150°. Диагональ
меньшей из боковых граней равна 29.
Найдите объём параллелепипеда.
a) 5
b) 5
c) 25
d) Сдаюсь
Нет, Вы ошиблись!
Чертёж:
Чертёж
Вам можно только
позавидовать!
№5
В основании пирамиды SABCD лежит
квадрат ABCD со стороной, равной 5.
Точка М делит ребро SB в отношении 2:3,
считая от точки S. Через точку М
проходит сечение, параллельное основанию
пирамиды. Найдите его площадь.
a) 7
b) 37
c) 4
d) Сдаюсь
Плохо!
Чертёж:
Чертёж
Отлично!
№6
Найдите высоту правильного
тетраэдра с ребром 6
а) 36
b)43
c) 2
d) Сдаюсь
Нет, неправильно!
Чертёж:
Чертёж
Ура! Вам удалось решить!