Случайные величины - Северо

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
РАЗДЕЛ: «СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ»
Методические указания
по выполнению типового расчета
для студентов всех направлений подготовки
Составители:
Г. А. Григорович, З. Н. Довгулевич
Владикавказ 2015
0
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
Кафедра Математики
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
РАЗДЕЛ: «СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ»
Методические указания
по выполнению типового расчета
для студентов всех направлений подготовки
Составители:
Г. А. Григорович, З. Н. Довгулевич
Допущено
редакционно-издательским советом
Северо-Кавказского горно-металлургического института
(государственного технологического университета).
Протокол заседания РИСа № 4 от 16.07.2014 г.
Владикавказ 2015
1
УДК 519.2
ББК 22.171
Г83
Рецензент:
кандидат физ.-мат. наук,
доцент СКГМИ (ГТУ)
Вазиева Л. Т.
Г83
Теория вероятностей и математическая статистика.
Раздел: «Случайные величины»: Методические указания
по выполнению типового расчета для студентов всех
направлений
подготовки
/
Сост.:
Г. А. Григорович,
З. Н. Довгулевич; Северо-Кавказский
горно-металлургический
институт (государственный технологический
университет). – Владикавказ: Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический
университет). Изд-во «Терек», 2014. – 42 с.
УДК 519.2
ББК 22.171
Редактор: Боциева Ф. А.
Компьютерная верстка: Куликова М. П.
 Составление. ФГБОУ ВПО «Северо-Кавказский
горно-металлургический институт
(государственный технологический университет)», 2015
 Григорович Г. А., Довгулевич З. Н., составление, 2015
Подписано в печать 03.02.2015. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура
«Таймс». Печать на ризографе. Усл. п.л. 2,44. Уч.-изд. л. 1,37. Тираж 100 экз.
Заказ №
. Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет). Издательство «Терек».
Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ).
362021, г. Владикавказ, ул. Николаева, 44.
2
Содержание
1. Краткие сведения из теории ..............................................................4
п. 1. Случайная величина и закон распределения дискретной
случайной величины .................................................................................4
п. 2. Закон распределения непрерывной случайной величины .............5
п. 3. Плотность распределения непрерывной случайной величины
и её свойства ..............................................................................................6
п. 4. Числовые характеристики случайных величин ..............................7
п. 5. Некоторые важные распределения случайных величин ................9
2. Решение типового варианта ..............................................................12
Задание № 1 ................................................................................................12
Задание № 2 ................................................................................................14
Задание № 3 ................................................................................................16
Задание № 4 ................................................................................................19
Задание № 5 ................................................................................................21
Задание № 6 ................................................................................................22
Задание № 7 ................................................................................................24
3. Индивидуальные задания ..................................................................26
Задание № 1 ................................................................................................26
Задание № 2 ................................................................................................28
Задание № 3 ................................................................................................31
Задание № 4 ................................................................................................35
Задание № 5 ................................................................................................39
Задание № 6 ................................................................................................40
Задание № 7 ................................................................................................40
Литература ................................................................................................42
3
§1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
п. 1. Случайная величина и закон распределения дискретной
случайной величины
Определение 1. Случайной величиной (с.в.) называется переменная
величина, которая в результате эксперимента принимает различные
случайные значения.
Случайные величины обозначаются X, Y, Z, … . Значения
случайных величин обозначаются соответствующими малыми
буквами. Например, значения случайной величины Х обозначаются:
x1, x2 , x3 ,..., xn .
Определение 2. Случайная величина, которая принимает
изолированные числовые значения, называется дискретной случайной
величиной (д.с.в.).
Определение 3. Случайная величина, принимающая любое
значение из некоторого интервала (а; в), называется непрерывной
случайной величиной (н.с.в.).
Чтобы задать д.с.в. Х, нужно перечислить все её возможные
значения в порядке возрастания и указать вероятности, с которыми
принимаются эти значения. Это можно сделать с помощью формулы,
называемой законом распределения д.с.в.:
P ( xi )  pi ,
i  1,2,, n ,
(1)
или с помощью таблицы, которая называется таблицей распределения
или рядом распределения:
xi
pi
x1
x2
x3
…
xn
p1
p2
p3
…
pn
В этой таблице x1 < x2 < x3 <…< x n и
4
n
 pk  1 .
k 1
(2)
п.2. Закон распределения непрерывной
случайной величины (н.с.в.)
Непрерывная случайная величина Х задается с помощью функции
F (x) , которая определяет вероятность случайного события,
состоящего в том, что с.в. Х принимает значение меньшее, чем
некоторое её заданное значение x , т. е.:
F ( x)  P( X  x) .
(3)
Функция F (x) называется функцией распределения с.в. Х или
интегральной функцией распределения н.с.в.
Д.с.в. Х, заданную с помощью ряда распределения (2), также
можно задать при помощи функции распределения, которая имеет
вид:
0, если x  p1 ,


F ( x)   p j , если xi 1  x  xi , i  2, 3,..., n,
 j 1
1, если x  x .
n

(4)
Функция распределения обладает следующими свойствами,
вытекающими из её определения:
1. 0  F ( x)  1
на
(, ) .
F ( x1 )  F ( x2 ) , т.е. F (x) – неубывающая
2. Если x1  x2 , то
функция на (; ) .
3. lim F ( x)  0 .
x 
4.
lim F ( x)  1 .
x 
5. Если Х – н.с.в., то F (x) непрерывна на (;) , и её график
имеет вид:
5
6. Если Х – д.с.в., то F (x) – ступенчатая функция, имеющая
конечное или бесконечное, но счетное множество точек
разрыва.
Вероятность того, что значение с.в. Х попадает в интервал (а; в),
определяется по формуле:
Р(а<X<в)= F(в) – F(a.)
(5)
п. 3. Плотность распределения н.с.в. и её свойства
Если Х – непрерывная с.в., то F(x) – функция непрерывная на
 ;  . Если существует её производная:
f ( x)  F ( x) ,
(6)
то функция
называется дифференциальной функцией
f (x)
распределения н.с.в. Х или плотностью распределения вероятностей
(плотностью распределения) этой с.в.
Плотность распределения н.с.в. Х f (x) обладает следующими
свойствами:
1) f (x) неотрицательна, т. е. f ( x)  0 .
2) Вероятность попадания н.с.в. Х в интервал a; b  или отрезок
a; b определяется по формуле:
b
Ра  X  b   Ра  Х  b    f x dx .
a
6
(7)
3) Функция распределения
формуле:
F  x  находится через
F x  
f  x  по
x
 f t dt .
(8)


4)
 f x dx  1 .

5) lim f x   lim f x   0 .
x 
x  
6) График функции y  f  x  имеет вид:
y
y=f(x)
0
x
п.4. Числовые характеристики случайной величины
Закон распределения полностью характеризует с.в. Х. Однако
закон распределения не дает возможности ответить на некоторые
вопросы о случайных величинах, например, сравнить средние
значения двух случайных величин. Поэтому при решении
практических задач часто удобно использовать некоторые числовые
характеристики случайных величин. Рассмотрим эти характеристики.
а) Математическое ожидание. Так называется среднее значение
с.в. Х, которое следует ожидать в результате одного эксперимента, оно
обозначается М  Х  или m x .
Если Х – д.с.в. с законом распределения:
Р Х  хi   pi ,
i  1,2,..., n ,
М  Х   х1  р1  х2  р2    хп  рп .
то
(9)
(10)
Если Х – н.с.в. с плотностью распределения вероятностей f  x  , то:
7
М Х  

 хf x dx .
(11)

б) Дисперсия случайной величины. Так называется математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её
математического ожидания, которое обозначается D X  , т. е.:
D X   M  x  M  X 2 .
(12)
Если Х – д.с.в. с законом распределения, заданным формулой (9), то
D X  находится по формуле:
n
D X  =  xi  M  X 2  pi .
(13)
i 1
Если же Х – н.с.в. с плотностью распределения вероятностей f  x  , то:
D X  =

 x  M x 
2
 f x dx .
(14)

Для простоты вычисления D X  удобнее пользоваться формулой:
 
D X  = М Х 2  М 2  Х  .
(15)
в) Модой д.с.в. Х называется её значение х0 , имеющее
наибольшую вероятность.
Модой н.с.в. Х называется точка х0 , в которой функция y  f  x 
принимает максимальное значение.
хm ,
г) Медианой н.с.в. Х называется её значение
удовлетворяющее условию:
P  X  xm   P  X  xm  .
п.5. Некоторые важные распределения с.в
8
(16)
а) Биномиальное распределение. Если производится п одинаковых
испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с
одинаковой вероятностью р, то вероятность того, что в этой серии
испытаний событие А произойдет т раз Pn m  находится по формуле
Бернулли:
Pn m   Cnm p m q n  m , где q=1–p.
(17)
Д.с.в. Х – число появлений события А в этой серии испытаний
имеет распределение, заданное таблицей:
0
1
2
n-1
n
xi

pi
qn
Cn1 p1q n 1
Cn2 p 2 q n  2

C nn 1 p n 1q
pn
Это распределение называется биномиальным. Доказано, что в
этом распределении:
M  X   np ;
(18)
D  X   npq .
(19)
б)
Равномерное
распределение.
Н.с.в.
Х
называется
распределённой равномерно, если её плотность распределения задана
формулой:
c, если x  a; b,
f x   
(20)
0, если x  a; b.
Здесь с = сonst; a<b; а,b  R .
b  a 2 .
1
ab
Доказано, что: с 
; M X  
; D X  
2
12
ba
в) Показательное распределение. Н.с.в. Х имеет показательное
распределение, если её плотность распределения задается формулой:

e  x , если х  0,
f x   

, если х  0,
0
где   0 – данная постоянная величина.
9
(21)
Доказано, что в показательном распределении:
M X  
D X  
1
;

1
;
2
 X  
т. е. M  X    X  .
1
;

Из (21) находим, что:
1  e  x , если х  0,
F x   
0, если х  0.
Функция Rx   e x , x  0 , называется функцией надёжности.
Если х = t – время работы некоторого устройства, а T – время
безотказной работы этого устройства, то Rt   F T  t  , т. е.
R(t) – вероятность того, что время безотказной работы прибора будет
больше заданного времени t.
г) Нормальное распределение. Н.с.в. Х называется распределённой
нормально, если её плотность распределения определяется формулой:
f x  
1
2

e
 x  a 2
2 2
.
(22)
Здесь а и  – данные постоянные величины, причём:
a  M  X ,
  D X    X .
Вероятность того, что значение нормально распределённой с.в. Х
попадает в интервал ;  , находится по формуле:
а
а
P  x    Ф
  Ф
,
  
  
х
(23)
t2

1
e 2 dt – интегральная функция Лапласа, таблица
где Фх  

2 0
значений которой приведена во всех учебниках и задачниках по
теории вероятностей.
10
Вероятность того, что значение нормально распределённой
случайной величины Х отклоняется от её математического ожидания а
на величину меньшую, чем некоторое действительное число ε  0 ,
находится по формуле:

P X  a     2Ф  .

11
(24)
§ 2. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
Задание № 1
Задача. Дан закон распределения дискретной случайной величины Х в
форме ряда распределения с одной неизвестной вероятностью.
–2
0,1
хi
pi
а = 0;
0
0,3
2
p3
4
0,2
6
0,1
b = 5.
Найти: а) неизвестную вероятность;
б) функцию распределения F(x) и построить её график;
в) математическое ожидание М(Х);
г) дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение  Х  ;
д) Р(Х<a), P(a<X<b);
e) моду случайной величины Х.
Решение:
а) Так как в ряде распределения случайной величины
р1  р2    рп  1 , то в нашем случае:
0,1+0,3+ р3 +0,2+0,1=1;
p 3 =0,3
р =1–0,7.
3
б) Функция распределения имеет вид:
0, если х  х1 ;

 р1, если х1  х  х2 ;
 р  р2 , если х2  х  х3 ;
F ( x)   1
 p1  p2  p3 , если х3  x  x4 ;
 p  p  p  p , если x  x  x ;
2
3
4
4
5
 1
1, если x  x5 .
Для данного распределения:
12
0, если x  2;
0,1, если  2  x  0;

0,4, если 0  x  2;
F ( x)  
0,7, если 2  x  4;
0,9, если 4  x  6;

1, если x  6.
График функции y  F  x  имеет вид:
y
0.9
y = F(x)
1
0.7
0.4
0.1
-2
-1 0
1
2
3
4
5
6
x
в) M  X   x1 p1  x2 p2  x3 p3  x4 p4  x5 p5 ;
M  X   2  0,1  0  0,3  2  0,3  4  0,2  6  0,1  0,2  0,6  0,8  0,6  1,8.
M  X   1,8
 
г) D X   M X 2  M 2  X  ;
   4  0,1  0  0,3  4  0,3  16  0,2  36  0,1  0,4  0  1,2  3,2  3,6 
M X
2
 0,4  8  8,4;
D X   8,4  1,82  8,4  3,24  5,16;
D X   5,16
x   5,16  2,27
 x   2,27
13
д) P X  0  F 0  0,1 .
Так как между значениями 0 и 5 находятся два значения 2 и 4, то:
P0  X  5  0,3  0,2  0,5 .
е) Так как два значения с.в. X, x=0 и x=2, имеют наибольшую
вероятность 0,3, то за моду с.в. X можно принять и значение 0, и
значение 2 с вероятностью 0,3.
Задание № 2
Задача. Дана функция
величины F  x  :
распределения
непрерывной
случайной
0, при x  2;

F x   x  22 , при 2  x  3;
1, при x  3.

1. Построить её график.
2. Найти: а) плотность распределения вероятностей и построить её
график;
б) P(a<X<b), если a  2,5, b  4 ;
в) М(Х), D(Х) и  Х  .
Решение:
1. График функции y  F  x  имеет вид:
14
2а) Плотность распределения вероятностей f x   F ' x  , поэтому:
0, при x  2;

f x   2x  2, при 2  x  3;
0, при x  3.

График этой функции имеет вид:
2б) P2,5  X  4  F 4  F 2,5 ;
P2,5  X  4  1  2,5  22  1  0,25  0,7.
P2,5  X  4   0,7
2в) M  X  

 xf x dx .

Поэтому:
15
2
 x3 3 2 3 


8
M  X    xf x dx  2 xx  2dx 2
 x   2  9    9  4 
 3 2

3
2



2
8
4 8
2

 2 4    2    2 ;
3
3 3
3

3
 
D X   M X 2  M 2  X  ;
3
3
 x4 3
x 3 3 
2
2
3
2





x
f
x
dx

2
x
x

2
dx

2
x

2
x
dx

2

2




 4 2
3 2 

2
2

  81 16   27 8    65 19 
195  76 119
5
 2     2
    2    2 

 19  19,83;
3
12
6
6
 4 4   3 3   4
 
M X2 
D X  
x  



2
119  8 
1  119 64  1 357  128 229
    
  

 12,72 ;
6  3
3  2
3 3
6
18
M X   2
2
3


D X  12,72
229
 3,57 .
18
x   3,57
Задание № 3
Дана плотность распределения непрерывной случайной величины
X – f x  :
0, при x  0;

f x   4 x 3 , при 0  x  1;
0, при x  1.

.
1. Построить график функции f  x  .
2. Найти: а) М(Х), D(Х) и  Х  ;
б) P(a<X<b); если a  0,5, b  2,75 ;
в) моду и медиану с.в. X;
16
г) функцию распределения F  x  и построить её график.
Решение:
1. График функции y  f  x  имеет вид:
2а) M  X  

1
1

0
0
3
4
 xf x dx   x  4 x dx  4 x dx  4 
x5
5
1

2
;
3

0
4
 0  0,8 ;
5
 
D X   M X 2  M 2  X  ;

   x
M X
2

1
2
f x dx   x 2  4 x 3 dx  4 
0
x6
6
1
0
2
2 4
2 16 50  48 2
D X       


 0,03 ;
3 5
3 25
75
75
x  
M  X   0,8
2
 0,16 .
75
2б) P0,5  X  2,75 
D X   0,03
 x   0,16
2,75

0,5
1
f x dx   4 x dx 
3
0,5
17
2,75
4
 0dx  x
1
1
0,5
1
1 15
 .
16 16
P0,5  X  2,75   0,94
2в) Модой н.с.в. X называется точка, в которой функция f  x 
принимает наибольшее значение. Из рассмотрения графика
функции y  f  x  заключаем, что:
x0  1
Медианой н.с.в. X называется её значение xm такое, что:
P  X  xm   P  X  xm 
xm
xm
0
0
P X  xm    4 x 3dx  x 4
1
P  X  xm  
 4x
3
dx  x 4
1
x  0;1 .
 xm4 ;
 1  xm4 .
xm
xm
Решим уравнение xm4  1  xm4 .
Так как xm4 
1
1
, то: xm  4  0,84
2
2
xm  0,84
2г) Найдём функцию распределения F  x  по формуле:
F x  
x
 f x dx .

Если x  0 , то F x  
x
 0dx  0 .

Если
0
x

0
0  x  1 , то F x    0dx   4 x 3dx  x 4  x 4 .
0
18
x
Если
0
1


0
1
x  1 , то F x    0dx   4 x 3dx   0dx  x 4  1 .
0
1
Таким образом:
0, при x  0,

F x    x 2 , при 0  x  1,
0, при x  1.

График функции y  F  x  имеет вид:
Задание № 4
Задача. Случайная величина X – число попаданий в цель при пяти
выстрелах, вероятность промаха при каждом выстреле равна
0,3. Составить ряд распределения случайной величины Х,
найти M  X , x  .
Решение:
Так как вероятность промаха при одном выстреле q  0,3 , то
вероятность попадания p  1 q  0,7 .
19
Случайная величина X принимает 6 значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Для
нахождения вероятностей этих значений используем формулу
Бернулли:
Pn m   Cnm p m q n m
n  5
P5 0  q 5  0,35  0,00243 ;
P5 1  C51 pq 4  5  0,7  0,0081  0,02835 ;
P5 2  C52 p 2 q 3 
5 4
 0,49  0,027  0,1323 ;
1 2
P5 3  C53 p 3q 2 
5 43
 0,343  0,09  0,3087 ;
1 2  3
P5 4  C54 p 4 q 
5 4  3 2
 0,2401  0,3  0,36015 ;
1 2  3  4
P5 5  p 5  0,7 5  0,16807 .
В результате ряд распределения случайной величины X имеет
вид:
X
P
0
0,00243
1
0,02835
2
0,1323
3
0,3087
4
0,36015
5
0,16807
Это распределение называется биномиальным. Его M  X  и D X 
находятся по формулам: M  X   np и D  X   npq .
Поэтому: M  X   5  0,7  3,5 ;
D X   5  0,7  0,3  1,05 ;
M  X   3,5
x   D X   1,025 .
D  X   1,05
x   1,025
20
Задание № 5
Задача.
Непрерывная
случайная
величина
имеет
равномерное
распределение. Известно, что M  X   2, D X   1 . Записать
3
плотность распределения с.в. X и построить её график.
Найти P1,2  X  2,5 .
Решение:
Так
M X  
как
при
равномерном
распределении
b  a  , то найдём a и b из системы уравнений:
ab
, D X  
2
12
2
a  b
 2  2,

2
 b  a   1 ;
3
 12
a  b  4,

b  a 2  4.
 a  b  4 2 a  4
Так как b  a , то 
.

b  a  2 2b  6
a  1
Получим 
.
b  3
Плотность распределения равномерно распределённой с.в. X
имеет вид:
0, при x  a,
 1



f x 
, при a  x  b, т .е.
b

a

0, при x  b.
0, при x  1,
1



f x   , при 1  x  3,
2
0, при x  3.
График функции y  f  x  имеет вид:
21
P1,2  X  2,5 
2,5  1,2 1,3

 0,65 .
3 1
2
P1,2  X  2,5  0,65
Задание № 6
Задача. При изучении непрерывной случайной величины X оказалось,
2
что: M  X   x   .
7
Найти: а) Плотность распределения н.с.в. X и построить её график;
б) Функцию распределения F  x  и функцию надёжности R  x  ;
в) Моду и медиану с.в. X;
г) P0,3  X  4 .
Решение.
а) Так как у с.в. X M  X   x  , то н.с.в. имеет показательное
распределение и плотность распределения f  x  задаётся формулой:

e  x при x  0,
f x   

0 при x  0.
В показательном распределении M  X  
1 2
 ;   3,5 , и
 7
22
1
, поэтому:

3,5e 3,5 x при x  0,
f x   
.
0 при x  0.
Функция y  f  x  имеет график:
б) Функция распределения F x   0 при x  0 , а при x  0 :

x

 1   3,5 x x
F x    3,5e 3,5 x dx  3,5   
  e  3,5 x  1  1  e  3,5 x .
e
3
,
5


0
0

1  e 3,5 x при x  0,
F x   

0 при x  0.
Rx   e 3,5 x – функция надёжности
в) Мода x0 – точка, в которой f  x  принимает наибольшее
значение, т. е.:
x0  0
Медиана xm находится из условия P(X<xm)=P(X>xm), т. е.:
P X  xm   F xm   1  e 3,5 xm ;
P X  xm   Rxm   e 3,5 xm .
Решим уравнение:
1  e3,5 xm  e3,5 xm
23
1
1
ln 2
2e  3,5 xm  1; e  3,5 xm  ;  3,5 xm  ln ; 3,5 xm  ln 2; xm 
;
2
2
3,5
xm 
2 ln 2 ln 4

.
7
7
xm  0,198

 

г) P0,3  X  4  F 4  F 0,3  1  e 3,54  1  e 3,50,3  e 3,50,3  e 3,54 
e
1,05
e
14
 0,134
P0,3  X  4  0,134
Задание № 7
Задача. Случайная величина X имеет нормальное распределение с
M  X   8, x   7 .
1. Записать дифференциальную функцию распределения с.в. X.
2. Найти. а) Моду с.в. X;
б) Pc  X  d  ;
в) P x  M  X    , если с  9; d  13;   5 .
Решение:
 x  a 2
1
2
e 2 .
1. f  x  
2  
Так как a  M  X   8,  X   b  7 , то:
f x  
1
 x 8 2
e 98
7 2
2а) Мода – значение с.в. X, равное x0, при котором
принимает наибольшее значение, поэтому:
x0  8
24
f x 
t2

1
d a
ca
2б) Pc  X  d   Ф
e 2 dx .
  Ф
 , где Фx  

2 0
  
  
Функция Ф(x) называется функцией Лапласа.
 13  8 
 9 8
5
1
P9  X  13  Ф
  Ф
  Ф   Ф   Ф0,71  Ф0,14  
7
7
7




 
7
x
 0,2611  0,0557  0,2054 .
P9  X  13  0,2054

2в) P x  M  X      2Ф 

P x  8  5  0,5222
5
P x  8  5  2Ф   2Ф0,71  2  0,2611  0,5222 .
7
 
25
§ 3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание № 1
Дан закон распределения дискретной случайной величины Х в
форме ряда распределения с одной неизвестной вероятностью.
Найти: а) неизвестную вероятность;
б) функцию распределения F(x) и построить её график;
в) математическое ожидание М(Х);
г) дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение  Х  ;
д) Р(Х<a), P(a<X<b);
e) моду случайной величины Х.
1.1
2
3
5
xi
pi 0,15 0,20 0,25
а = 3;
b = 9.
1.3
5
xi
pi 0,20
а=6;
6
8
8
1.2
0
2
4
xi – 5 – 3
0,30 0,30 0,10
pi 0,10
а = – 3;
b = 3.
9
0,10
9
1.4.
2
4
xi
pi 0,10 0,50
а=4;
10
0,30 0,15 0,10
b=10.
1.5
4
6
7
10 12
xi
0,15 0,05
pi 0,35 0,25
а = 6;
b = 11.
1.6
xi
pi
1.7
xi – 2
1.8
pi
0
2
4
6
xi
0,10 0,15 0,30 0,25
а = 0;
pi
26
7
10
0,15 0,05
b=8.
1
3
5
6
8
0,35 0,25 0,15 0,05
а = 3;
b = 7.
3
5
0,25
а = 4;
b = 5.
5
8
10
11
0,30 0,20 0,10
b = 10.
1.9
4
5
xi – 3 – 2 2
0,30 0,15 0,10
pi 0,20
а = – 1; b = 5.
1.10
4
xi
1.11
2
5
7
10
12
xi
0,15 0,10
pi 0,30 0,25
а = 3;
b = 10.
1.12
7
8
10
12
13
xi
pi 0,40 0,20 0,15 0,20
а = 7;
b = 12.
1.13
1
xi
pi 0,10
а = 3;
3
7
8
10
0,25
0,20
0,15
pi
0,10
8
10
0,20
pi
0,20
0,20
b = 14.
7
9
0,35
а = 6;
b = 9.
16
0,15
а = 5;
1.14
5
xi
14
10
13
0,15
0,05
b = 10.
1.15
4
5
7
10 14
xi
0,30 0,35 0,15 0,10
pi
а = 5;
b = 13.
1.16
2
4
5
xi
pi 0,15 0,30 0,25
1.17
3
7
8
10
12
xi
0,15 0,10
pi 0,20 0,25
а = 5;
b = 10.
1.18
0
3
5
7
xi – 1
0,15 0,25 0,35 0,20
pi
а = 0;
b = 6.
1.19
0
xi – 2 – 1
pi 0,15 0,25 0,30
а = – 1; b = 4.
1.20
xi – 4 – 2
pi 0,20 0,15
2
1.21
6
8
12
14
xi
pi 0,20 0,25 0,30 0,15
а = 7;
b = 14.
а = 3;
5
0,10
1
а = – 2;
1.22
3
xi
15
pi 0,05
а = 4;
1.23
1.24
27
5
8
0,15
9
10
0,10
b = 9.
2
4
0,20 0,10
b = 3.
12
14
0,20 0,40
b = 13.
xi
–3
–1
pi
0.10 0,20 0,35
а = – 2;
0
3
6
xi
0,20
5
8
11
pi 0,40 0,20
а = 7;
b = 4.
1.25
1
3
7
11
13
xi
0,20 0,15 0,10
pi 0,30
а = 3;
b = 12.
1.26
0
xi – 2
pi 0,10 0,15
а = – 1;
1.27
3
4
7
10
xi
pi 0,10 0,15 0,50
а = 3;
b = 9.
1.28
xi – 3
14
0,05
pi
–2
0,25
1.30
3
5
xi
pi 0,15 0,20
а = 4;
14
0,20 0,05
b = 13.
2
5
8
0,25 0,20
b = 6.
1
4
6
0,30 0,15 0,10
а = – 2;
1.29
2
4
7
xi – 2 – 1
0,25 0,15 0,05
pi 0,20
а = – 2; b = 6.
13
b = 5.
8
0,35
11
14
0,10
b = 10.
Задание № 2
Дана функция распределения непрерывной случайной величины F  x  .
1. Построить её график.
2. Найти: а) плотность распределения вероятностей и построить её
график;
б) P(a<X<b);
в) М(Х), D(Х) и  Х  .
2.1
2.2
0, при x  1,
0, при x  0,
 x 2  x
 x 2  1
F x   
, при 1  x  2,
F x   
, при 0  x  2,
 2
 4
1, при x  2.
1, при x  2.
а = 0; b = 1,5.
а = 1,5; b = 3.
2.3
2.4
28
0, при x  0,

3
F x    x 2  x, при 0  x  2,
2

1
,
при
x  2.

а = – 1; b = 1,4.
0, при x  0,

F x   3x 2  2 x, при 0  x  1 / 3,
1, при x  1 / 3.

а = 1/6; b = 2/3.
2.5
2.6.
0, при x  0,
0, при x  1,
 2 7

3
3
F x   2 x  x, при 0  x  2, F x   x  12  x  , при 1  x  3,
2
2
2


1
,
при
x

2
.
1
,
при
x

3
.


а = 0,5; b = 1,5.
а = 1,5; b = 2,5.
2.7
2.8
0, при x  0,

F x    x 2  2 x, при 0  x  2,
1, при x  2.

а = 1,5; b = 2.
0, при x  0,

F x   3x 2  2 x, при 0  x  1 / 2,
1, при x  1 / 2.

а = 0; b = 1,5.
2.9
2.10
0, при x  1,
 x 1
F x   
, при 1  x  4,
 3
1, при x  4.
а = 2; b = 3,5.
0, при x  2,
 x 2  3x  2
F x   
, при 2  x  3,
2

1, при x  3.
а = 1; b = 2,5.
2.11
2.12
0, при x  0,
 x 4  x 2
F x   
, при 0  x  1,
 2
1, при x  1.
0, при x  0,
 x
F x   
, при 0  x  4,
 2
1, при x  4.
а = 0,5; b = 0,75.
а = 1,5; b = 3.
2.13
2.14
29
0, при x  0,
 x 2
F x    , при 0  x  2,
4
1, при x  2.
0, при x  2,
 x  2
F x   
, при  2  x  2,
 2
1, при x  2.
а = 1; b = 3/2.
2.15
0, при x  3,
x 5
F x   
, при 5  x  7,
 2
1, при x  7.
а = 5,5; b = 6.
а = – 1; b = 1.
2.16
0, при x  3,
 x  32
F x   
, при  3  x  1,
 4
1, при x  1.
а = – 2,5; b = – 2.
2.17
2.18
0, при x  0,
 x 2  x
F x   
, при 0  x  1,
 2
1, при x  1.
0, при x  2,
 x  2 2
F x   
, при 2  x  4,
 4
1, при x  4.
а = 1/4; b = 1/2.
а = 2,5; b = 3,5.
2.19
2.20
0, при x  1,
 x  1
F x   
, при 1  x  5,
 2
1, при x  5.

0, при x  1,
 3 x  1
F x   
, при 1  x  9,
 2
1, при x  9.

а = 2; b = 3.
а = 3; b = 6.
2.21
2.22
0, при x  4,
x  4
F x   
, при  4  x  0,
 4
1, при x  0.
0, при x  0,
 x 2
F x    , при 0  x  3,
9
1, при x  3.
а = – 3; b = – 2.
а = 0,5; b = 2,5.
30
2.23
2.24
0, при x  4,
x 4
F x   
, при 4  x  7,
 3
1, при x  7.
а = 5; b = 6.
0, при x  3,
 2x  6
F x   
, при 03  x  4,5,
 3
1, при x  4,5.
а = 3,5; b = 4.
2.25
2.26

0, при x  0,
 2 x
5
F x    , при 0  x  ,
2
5
1, при x  5 .

2
а = 1; b = 2.
0, при x  2,
 3 x  2
F x   
, при  2  x  6,
 2
1, при x  6.
а = 2; b = 5.
2.27
2.28
0, при x  2,
2
F x    x  2, при 2  x  6,5,
9
1, при x  6,5.
а = 3; b = 6.
0, при x  0,
 3x
F x    , при 0  x  7 / 3,
7
1, при x  7 / 3.
а = 1; b = 2.
2.29
2.30
0, при x  1,
 2x  2
F x   
, при  1  x  0,5,
3

1, при x  0,5.
а = – 0,5; b = 0,25.
0, при x  0,
x  4
F x   
, при 0  x  6,
10

1, при x  6.
а = 3; b = 5.
Задание № 3
Дана плотность распределения
величины X.
1. Построить график функции f  x  .
2. Найти: а) М(Х), D(Х) и  Х  ;
31
f  x  непрерывной случайной
б) P(a<X<b);
в) моду и медиану с.в. X;
г) функцию распределения F  x  и построить её график.
3.1
3.2
0, при x  0,
3
f x    x 2 , при 0  x  2,
8
0, при x  2.
0, при x  0,

f x   2 x, при 0  x  1,

0, при x  1.

а = 0,5; b = 2,5.
а = 1,5; b = 3,5.
3.3
3.4

0, при

f x    3 sin 3x,
2
0, при


0, при x  0,


f x   2 cos 2 x, при 0  x  ,
4

0, при x   .

4
а =  ; b = π.
12
x  0,
при 0  x   ,
3
x  .
3
а = ; b = .
6
2
3.5
3.6


0, при x   2 ,
 1


f x    cos x, при   x  ,
2
2
2
0, при x   .

2
а = 0; b = π.
0, при x  1,
2
f x    x, при 1  x  2,
3
0, при x  2.
а = 1,5; b = 3.
3.7
3.8
0, при x  0,
1
f x    sin x, при 0  x  ,
2
0, при x  .
0, при x  0,

f x   1, при 0  x  1,
0, при x  1.

а =  ; b = 2π.
а = 0,75; b = 2,5.
2
32
3.9
3.10
0,

f x    3
2
0,
0, при x  0,

f x   3x 2 , при 0  x  1,
0, при x  1.

при x  0,
x , при 0  x  1,
при x  1.
а = 0,25; b = 1,75.
а = 0,7; b = 2,5.
3.11
3.12
0, при x  0,

f x    3 x 2 , при 0  x  2,
8
0, при x  2.
0, при x  0,

f x   3x 2 , при 0  x  1,

0, при x  1.
а = 0,2; b = 2,25.
а = 1,2; b = 3,3.
3.13
3.14

0, при x  0,


f x   2 sin 2 x, при 0  x  ,
4


0, при x  .

4

0, при

f x   3cos3x,

0, при



а = 12 ; b = .
4
а =  ; b = π.
8
3.15
3.16
0, при x  1,
2
f x    x, при 1  x  2,
3
0, при x  2.
а = 1,5; b = 2,4.
x  0,
при 0  x   ,
6
x  .
6

0, при

1
f x    cos x,
2
0, при

а = 0; b = π.
33

x ,
2


при   x  ,
2
2

x .
2
3.17
0,
1
f x   ,
2
0,
3.18
при x  0,
0, при

f x    1 sin x,
2
0, при
при 0  x  2,
при x  2.
x  0,
при 0  x  ,
x  .

a  ; b = 2π.
2
а = 0,5; b = 2,5.
3.19
3.20
0, при x  0,

1
f x    x  , при 0  x  1,
2

0
,
при x  1.

0,
x
f x    ,
2

0,
а = 0,5; b = 3.
при x  0,
при 0  x  2,
при x  2.
а = 1,5; b = 2,5.
3.21.
3.22
0, при x  0,

f x   3x2 , при 0  x  1,

0, при x  1.
а = 1/2; b = 3/2.
0, при x  0,

f x   4 x3 , при 0  x  1,

0, при x  1.
а = 0; b = 4.
3.23
3.24

0, при x  0,


f x   2 cos 2 x, при 0  x  ,
4


0, при x  .

4

0, при

f x   2 sin 2 x,

0, при

x  0,

при 0  x  ,
4

x .
4
а = 0; b =  .
2
а = 0; b = π.
34
3.25
3.26


0, при x   2 ,
 1


f x    cos x, при   x  ,
2
2
2
0, при x   .

2
а = 0; b = π.
0, при x  0,
x 1
f x     , при 0  x  2,
4 4
0, при x  2.
а = 1,5; b = 3,5.
3.27.
3.28
0, при x  1,
2
f x    x, при 1  x  2,
3
0, при x  2.
0, при
1
f x    sin x,
2
0, при
а = 0,5; b = 3.
3.29
а=
x  0,
при 0  x  ,
x  .

; b = 2π.
2
3.30
0, при x  0,

f x   4 x  1, при 0  x  1,

0, при x  1.
0, при x  0,

f x   6 x  2, при 0  x  1,

0, при x  1.
а = 0,3; b = 2,5.
а = 0,7; b = 3,6.
Задание № 4
Решить задачу:
4.1. Вероятности того, что в течение смены выйдет из строя первый,
второй или третий станок, равны соответственно: 0,2; 0,3 и 0,1.
Построить ряд распределения случайной величины Х – числа
вышедших из строя за смену станков. Найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины Х.
4.2. Из партии деталей, в которой имеется 10 % бракованных, наудачу
выбрано пять деталей. Составить ряд распределения случайной
величины Х – числа годных деталей. Найти математическое ожидание
и дисперсию случайной величины Х.
4.3. Вероятность обнаружения неисправного прибора равна 0,2.
Производится испытание пяти приборов до выявления первого
неисправного. Составить ряд распределения случайной величины
35
Х – числа испытанных приборов. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х.
4.4. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,8.
Для проверки на стандартность случайным образом выбрано пять
деталей. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа
деталей, прошедших проверку. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х.
4.5. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа
попаданий при пяти выстрелах, если вероятность промаха при
каждом выстреле равна 0,4. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х.
4.6. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,8.
За каждое попадание стрелок получает три очка, а за каждый промах с
него снимают одно очко. Составить ряд распределения случайной
величины Х – числа выбитых стрелком очков при пяти выстрелах по
мишени. Найти математическое ожидание и дисперсию этой
случайной величины.
4.7. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа
выпавших гербов при четырех подбрасываниях монеты. Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
4.8. Три стрелка независимо друг от друга производят по одному
выстрелу по одной и той же мишени. Составить ряд распределения
случайной величины Х – числа попаданий в мишень, если известно,
что вероятность попадания для первого, второго и третьего стрелка
соответственно равна: 0,6; 0,7 и 0,5. Найти математическое ожидание
и дисперсию случайной величины Х.
4.9. Вероятности того, что в течение смены выйдет из строя первый,
второй или третий станок, равны соответственно: 0,2; 0,3 и 0,4.
Построить ряд распределения случайной величины Х – числа
вышедших из строя за смену станков. Найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины Х.
4.10. Из партии деталей, в которой имеется 5 % бракованных, наудачу
выбрано пять деталей. Составить ряд распределения случайной
величины Х – числа годных деталей. Найти математическое ожидание
и дисперсию случайной величины Х.
4.11. Вероятность обнаружения неисправного прибора равна 0,3.
Производится испытание пяти приборов до выявления первого
неисправного. Составить ряд распределения случайной величины
Х – числа испытанных приборов. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х.
36
4.12. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Для
проверки на стандартность случайным образом выбрано пять
деталей. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа
деталей, прошедших проверку.
4.13. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа
попаданий при пяти выстрелах, если вероятность промаха при
каждом выстреле равна 0,3. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х.
4.14. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле
равна 0,7. За каждое попадание стрелок получает три очка, а за
каждый промах с него снимают одно очко. Составить ряд
распределения случайной величины Х – числа выбитых стрелком
очков при пяти выстрелах по мишени. Найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
4.15. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа
выпавших гербов при пяти подбрасываниях монеты. Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
4.16. Три стрелка независимо друг от друга производят по одному
выстрелу по одной и той же мишени. Составить ряд распределения
случайной величины Х – числа попаданий в мишень, если известно,
что вероятность попадания для первого, второго и третьего стрелка
соответственно равна: 0,5; 0,7 и 0,8. Найти математическое ожидание
и дисперсию случайной величины Х.
4.17. Вероятности того, что в течение смены выйдет из строя первый,
второй или третий станок, равны соответственно: 0,1; 0,3 и 0,4.
Построить ряд распределения случайной величины Х – числа
вышедших из строя за смену станков. Найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины Х.
4.18. Из партии деталей, в которой имеется 15 % бракованных,
наудачу выбрано пять деталей. Составить ряд распределения
случайной величины Х – числа годных деталей. Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
4.19. Вероятность обнаружения неисправного прибора равна 0,4.
Производится испытание пяти приборов до выявления первого
неисправного. Составить ряд распределения случайной величины Х –
числа испытанных приборов. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х.
4.20. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,75. Для
проверки на стандартность случайным образом выбрано шесть
37
деталей. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа
деталей, прошедших проверку.
4.21. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа
попаданий при пяти выстрелах, если вероятность промаха при
каждом выстреле равна 0,1. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х.
4.22. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна
0,9. За каждое попадание стрелок получает два очка, а за каждый
промах с него снимают одно очко. Составить ряд распределения
случайной величины Х – числа выбитых стрелком очков при пяти
выстрелах по мишени. Найти математическое ожидание и дисперсию
этой случайной величины.
4.23. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа
выпавших гербов при шести подбрасываниях монеты. Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
4.24. Три стрелка независимо друг от друга производят по одному
выстрелу по одной и той же мишени. Составить ряд распределения
случайной величины Х – числа попаданий в мишень, если известно,
что вероятность попадания для первого, второго и третьего стрелка
соответственно равна: 0,5; 0,6 и 0,8. Найти математическое ожидание
и дисперсию случайной величины Х.
4.25. Вероятности того, что в течение смены выйдет из строя первый,
второй или третий станок, равны соответственно: 0,1; 0,2 и 0,4.
Построить ряд распределения случайной величины Х – числа
вышедших из строя за смену станков. Найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины Х.
4.26. Из партии деталей, в которой имеется 20 % бракованных,
наудачу выбрано пять деталей. Составить ряд распределения
случайной величины Х – числа годных деталей. Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
4.27. Вероятность обнаружения неисправного прибора равна 0,2.
Производится испытание семи приборов до выявления первого
неисправного. Составить ряд распределения случайной величины Х –
числа испытанных приборов. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х.
4.28. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,7. Для
проверки на стандартность случайным образом выбрано семь
деталей. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа
деталей, прошедших проверку. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х.
38
4.29. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа
попаданий при семи выстрелах, если вероятность промаха при
каждом выстреле равна 0,2. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х.
4.30. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле
равна 0,6. За каждое попадание стрелок получает три очка, а за
каждый промах с него снимают два очка. Составить ряд
распределения случайной величины Х – числа выбитых стрелком
очков при пяти выстрелах по мишени. Найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Задание № 5
Задача. Непрерывная случайная величина имеет равномерное
M  X   m, D X   d . Записать
распределение. Известно, что
плотность распределения случайной величины X и построить её
график. Найти P  X   .
5.1.
m = 8;
d = 12;
α = 5;
β = 11.
5.2.
m = 5;
d = 3/4;
α = 4;
β = 8.
5.3.
m = 1;
d = 3/4;
α = 0;
β = 2.
5.4.
m = 4;
d = 1/3;
α = 4;
β = 6.
5.5.
m = 11;
d = 12;
α = 8;
β = 10.
5.6.
m = 10;
d = 25/12;
α = 6;
β = 9.
5.7.
m = 7;
d = 5;
α = 5;
β = 7.
5.8.
m = 6;
d = 12;
α = 3;
β = 5.
5.9.
m = 8;
d = 49/12;
α = 5;
β = 8.
5.10. m = 2;
d = 16/3;
α = 6;
β = 10.
5.11. m = 6;
d = 3;
α = 4;
β = 8.
5.12. m = 5;
d = 1/3;
α = 5;
β = 7.
5.13. m = 6;
d = 3/4;
α = 6;
β = 8.
5.14. m = 9;
d = 12;
α = 0;
β = 6.
5.15. m = 11;
d = 27/4;
α = 8;
β = 14.
5.16. m = 5;
d = 3/4;
α = 1;
β = 8.
5.17. m = 8;
d = 25/12;
α = 5;
β = 9.
5.18. m = 7;
d = 1/12;
α = 7;
β = 13.
5.19. m = 9;
d = 16/3;
α = 6;
β = 11.
5.20. m = 2;
d = 49/12;
α = – 1;
β = 1.
5.21. m = 3;
d = 1/3;
α = 3;
β = 5.
5.22. m = 5;
d = 1/3;
α = 2;
β = 5.
39
5.23.
5.24.
5.25.
5.26.
5.27.
5.28.
5.29.
5.30.
m = 9;
m = 4;
m = 6;
m = 8;
m = 9;
m = 4;
m = 9;
m = 7;
α = 8;
α = 3;
α = 4;
α = 5;
α = 6;
α = – 1;
α = 7;
α = 5;
d = 3/4;
d = 4/3;
d = 3;
d = 16/3;
d = 49/12;
d = 27/4;
d = 25;12;
d = 1/12;
β = 11.
β = 5.
β = 8.
β = 10.
β = 11.
β = 7.
β = 10.
β = 8.
Задание № 6
Задача. При изучении непрерывной случайной величины X оказалось,
что M  X   x  и её среднее значение равно a.
Найти: 1) Дифференциальную функцию распределения случайной
величины X и построить её график.
2) Функцию распределения F  x  .
3) Моду и медиану случайной величины X.
6.1. а = 2.
6.2. а = 3.
6.3. а = 4.
6.4. а = 0,1.
6.5. а = 0,2.
6.6. а = 0.3.
6.7. а = 2,5.
6.8. а = 3,2.
6.9. а = 1,6.
6.10. а = 10.
6.11. а = 3,6.
6.12. а = 0,4.
6.13. а = 2/3.
6.14. а = 2/5.
6.15. а = 2,4.
6.16. а = 5/3.
6.17. а = 5/4.
6.18. а = 2/5.
6.19. а = 4/3.
6.20. а = 20/7.
6.21. а = 10/3.
6.22. а = 4/5.
6.23. а = 4/7.
6.24. а = 5/6.
6.25. а = 5/2.
6.26. а = 5/7.
6.27. а = 4/9.
6.28. а = 0,25.
6.29. а = 0,4.
6.30. а = 0,5.
Задание № 7
Задача. Случайная величина X имеет нормальное распределение с
M  X   a ,  x   b .
1. Записать дифференциальную функцию распределения с.в. X.
2. Найти: а) Моду с.в. X.
б) Pc  X  d  .
в) P x  M  X     .
40
7.1. а = 3;
7.2. а = 5;
7.3. а = 4;
7.4. а = 10;
7.5. а = 8;
7.6. а = 12;
7.7. а = 11;
7.8. а = 9;
7.9. а = 2;
7.10. а = 4;
7.11. а = 5;
7.12. а = 6;
7.13. а = 7;
7.14. а = 9;
7.15. а = 10;
7.16. а = 9;
7.17. а = 11;
7.18. а = 10;
7.19. а = 9;
7.20. а = 7;
7.21. а = 8;
7.22. а = 12;
7.23. а = 7;
7.24. а = 6;
7.25. а = 5;
7.26. а = 7;
7.27. а = 9;
7.28. а = 5;
7.29. а = 6;
7.30. а = 8;
с = 10;
с = 8;
с = 5;
с = 2;
с = 8;
с = 15;
с = 9;
с = 7;
с = 6;
с = 5;
с = 6;
с = 8;
с = 19;
с = 10;
с = 18;
с = 10;
с = 12;
с = 10;
с = 5;
с = 6;
с = 8;
с = 7;
с = 5;
с = 4;
с = 8;
с = 9;
с = 7;
с = 2;
с = 4;
с = 3;
b = 5;
b = 3;
b = 10;
b = 20;
b = 15;
b = 20;
b = 21;
b = 19;
b = 18;
b = 12;
b = 15;
b = 14;
b = 13;
b = 11;
b = 20;
b = 8;
b = 8;
b = 11;
b = 12;
b = 13;
b = 14;
b = 10;
b = 21;
b = 18;
b = 6;
b = 3;
b = 8;
b = 4;
b = 3;
b = 5;
41
d = 15;
d = 20;
d = 25;
d = 22;
d = 16;
d = 23;
d = 21;
d = 23;
d = 22;
d = 19;
d = 18;
d = 24;
d = 27;
d = 26;
d = 22;
d = 12;
d = 28;
d = 18;
d = 15;
d = 26;
d = 25;
d = 17;
d = 15;
d = 18;
d = 20;
d = 19;
d = 21;
d = 12;
d = 16;
d = 13;
 = 2.
 = 5.
 = 10.
 = 15.
 = 12.
 = 11.
 = 9.
 = 8.
 = 12.
 = 13.
 = 7.
 = 10.
 = 11.
 = 12.
 = 5.
 = 4.
 = 10.
 = 11.
 = 7.
 = 10.
 = 9.
 = 12.
 = 8.
 = 9.
 = 6.
 = 5.
 = 7.
 = 5.
 = 6.
 = 7.
Литература
1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей,
математической статистике и случайным процессам. 3-е издание. М.:
Айрис-пресс, 2008.
2. Волк В. Я. Курс высшей математики для горных вузов: Учебное
пособие. Т. 2. М.: Горная книга, 2009.
3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике. М.: Высшая математика,
2004.
4. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. 9-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2003.
5. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
42