«Арифметическая прогрессия»

«Арифметическая
прогрессия»
План урока.
1. Организационный момент.
2. Сообщение цели урока.
3. Проверка домашнего задания.
4. Практическая часть урока.
5. Задание на дом.
6. Самостоятельная работа.
Цели урока:
1. обобщить знания учащихся по теме:
«Арифметическая прогрессия» . Показать
актуальность темы, ее применение в
жизнедеятельности человека;
2. развивать творческие способности учащихся;
3. воспитывать стремление дорожить временем
в труде, прививать интерес к изучаемому
предмету.
Бригада в январе изготовила 8 деталей, а в каждый следующий месяц изготавливала на
7 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей бригада изготовит в сентябре?
Дано: ( an)- арифметическая прогрессия.
a1=8; d=7.
Найти: а9.
Решение:
мы имеем арифметическую прогрессию, где а1=8, d=7.
Т.к. аn=a1+d(n-1), то формула принимает вид аn=8+7(n-1)=8+7n-7=7n+1.
Сентябрь-9й месяц в году, значит d9=7*9+1=64
Ответ:64.
Ученик 9-го класса Володя решил делать по утрам зарядку с начала месяца.
Каждый день он делал
отжиманий на 2 больше, чем в предыдущий. Сколько отжиманий сделал Володя в
период с 19-го по
31-й день месяца, если в первый день он уже делал 10 отжиманий?
Дано: (вn)-арифметическая прогрессия
в1=10; d=2.
Найти:S с 19-го по 31-й, S13
Решение:
в19=в1+d(19-1)
в19=10+2*18=10+36=46 - 1-й член для нахождения S13
в31=10+2*30=70 – 13-й член арифметической прогрессии для нахождения S13.
S13
в19+в31
*13 = 46+70 *13 =58*13=754.
2
2
Ответ: S с 19-го по 31-й=754.
=
Игорь начал утренние тренировки в беге с 2 км. в день. Он решил
увеличивать эту дистанцию в арифметической прогрессии так,
чтобы в одиннадцатую неделю пробегать 4 км. в день. На какое
расстояние ( в метрах ) ему надо увеличивать дистанцию еженедельно?
1)50
2) 250
3) 100
4)200
Дано: (аn)-арифметическая прогрессия.
а1=2км.
а11=4км.
Найти: d
Решение:
an =a1+ d(n-1)
a11=2000+d(11-1)
4000=2000+10d
10d=2000
d=200м
Первые представления об арифметической прогрессии были ещё у
древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских
папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.
В древнеегипетском папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н.э.) приводится задача:
«Пусть тебе сказано : раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы
разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом,
равнялась 1/8 меры».
В этой задаче идёт речь об арифметической прогрессии. Условие задачи,
пользуясь современными обозначениями, можно записать так:
S = 10, d = 1/8, a1, a2, … ,a10.
Термин «прогрессия» был введён римским автором Боэцием (в 6 веке) и
понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая
последовательность. Название «арифметическая» было перенесено из
теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Карл Гаусс
Жил был мальчик. Звали его Карл, фамилия Гаусс.
Ему было всего 6 лет, и никто не подозревал, что он
станет одним из величайших математиков в мире. Он
учился в школе, и однажды учитель задал ученикам
трудную задачу: посчитать сумму чисел от 1 до
100.Не успел он объяснить задание, как Гаусс выдал
ответ: «Получилось 5050!» И стал объяснять. Если у
суммы 1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100 сложить
первое и последнее слагаемое, то будет 101.То же
будет, если сложить 2 + 99 =101.И так, складывая по
парам числа равноудалённые от концов, будет 1 +
100 = 2 + 99 =3 + 98 = 4 + 97 … =101. А таких пар
будет 50, потому что чисел 100.Значит, сумма всех
чисел 101 * 50 = 5050.
А.Н. Колмогоров
А.Н. Колмогоров-русский математический гений.
В 6-летнем возрасте заметил, что сумма первых n нечётных
чисел равна квадрату их числа.
Например, сумма первых десяти нечётных чисел
10²=100 и т.д.
Докажем это: последовательность нечётных чисел это
арифметическая прогрессия с первым членом 1 и с
разностью d=2.
По формуле Sn = 2a1 + d(n-1) х n
получаем:
2
Sn = 2 * 1 + 2(n-1) х n = n²,
2
что и требовалось доказать.
Маленький Колмогоров, скорее всего, рассуждал иначе.
Вероятно, он прикладывал друг к другу уголки с нечётным
числом клеток, каждый раз получая квадрат.
d = an+1 – an
an = a1 + d(n-1)
Sn ₌ a1 + an х n
2
Sn = 2a1 +d(n-1) х n
2
Повторение
1. Представьте обыкновенную дробь 3/7 в виде
десятичной с точностью до сотых.
а) 0,40, б) 0,41, в) 0,42, г) 0,43.
2. Найдите значение выражения:
√ 0,2 × 14,5- 1,3².
а) 1,1, б) 1,6,
в) √ 0,121, г) √ 2,56 .
Устная работа
1. Назовите первые пять членов арифметической
прогрессии:
а) а1 =5; d = 3
2.
3.
4.
б) а1 =20; d = -5
Последовательность (сn)-арифметическая прогрессия
а) с3 = 25; с2 =20. б) с4 =60; с3 =50
Найти: с1; d - ?
Последовательность (bn) – арифметическая прогрессия,
первый член, которой равен b1, а разность d.
Выразите через b1 и d:
а) b6; б) b30; в) bk; г) bk+4; д) b3k.
Из данных арифметических прогрессий выберите ту,
среди членов которой есть число 2.
а) аn = 2-n; б) аn = 2+n; в) аn =3n-1 г) аn = 3n+1
Коллективная работа
1. Арифметическая прогрессия задана условиями: а1 = 19,
аn+1 = аn - 3. Какое из заданных чисел является членом этой
прогрессии?
а) 10,
б) -1,
в) 25,
4) 17.
2. Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9
метра, а каждую следующую секунду на 9,8 метра больше,
чем в предыдущую. Какое расстояние будет пройдено
парящими телами за пятую секунду?
а) 49, б) 4,41, в) 44,1, 4) 24,5.
3. Сколько членов арифметической прогрессии -12, -8,….,
меньше числа 48?
а) 15,
б) 18,
в) 16,
г) 12.
4. Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих
200, которые не делятся на 4.
Домашняя работа
1. Какое из указанных чисел является членом
арифметической прогрессии (а n), если аn =0,2n+ 4
а) 4;
б) 5;
в) 3,8;
г) 61.
2. Сумма второго и третьего членов арифметической
прогрессии равна 16, а разность прогрессии равна 4.
Найдите первый член прогрессии.
а) 4;
б) 2 ;
в) 5;
г) 6.
3. Арифметическая прогрессия задана формулой n-ого члена
аn= 6n-4. Найдите сумму членов арифметической
прогрессии с десятого по пятидесятый включительно.
Самостоятельная работа
I вариант
1. В арифметической прогрессии(аn): а1 = -5, а2 =-7
2.
3.
4.
5.
найдите двадцать первый член этой прогрессии.
Найдите сумму первых шестнадцати членов
арифметической прогрессии аn = 6n+2
а) 864, б) 848, в)792, г) 716
Какое число не является членом арифметической
прогрессии 4, 7, 10.
а) 28, б) 64, в) 95, г)128
Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не
превосходящих 170.
Арифметическая прогрессия задана формулой n – го
члена аn = 2 n + 3. Найдите сумму членов
арифметической прогрессии с двенадцатого по сорок
пятый включительно.
Самостоятельная работа
II вариант
1.
2.
В арифметической прогрессии (аn): а1 = -7, а2 =-9 найдите двадцать
четвертый член этой прогрессии.
Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической
прогрессии аn = 8n+4
а) 595, б) 378, в) 896, г) 950
3.
Какое число не является членом арифметической прогрессии
6,9,12.
а) 24, б) 30, в) 50, г) 102
4.
Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих
150, которые при делении на 4 дают остаток 1.
5.
Арифметическая прогрессия задана формулой n – го члена аn
= 3 n + 5. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с
десятого по сорок пятый включительно.
I вариант
II вариант
а 21 = - 45
S16 = 848
а 24 = - 53
S14 = 896
95
3612
S34 = 2040
50
2849
S14 = 3150
Спасибо
за
урок!