Задача из папируса Ахмеса - Школьная математика для

Наши познания о древнеегипетской
математике основаны главным образом
на двух больших папирусах
математического характера. Это что-то
вроде задачников, где даны решения
разных практических задач.
(c) Коробейникова Н.А. материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com
Древнейшая математическая
рукопись
Египтян написана около 4000
тысяч
лет назад. Папирус был
найден русским египтологом
Владимиром Семеновичем
Голенищевым и хранится в
Москве – в музее
изобразительного искусства
имени
А.С. Пушкина.
(c) Коробейникова Н.А. материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com
Другой математический папирус, написанный лет на двести-триста
позднее Московского, хранится в Лондоне. Он называется:
„Наставление, как достигнуть знания всех тёмных
вещей, всех тайн, которые скрывают в себе вещи…»
Рукопись так и называют „папирусом Ахмеса", или папирусом Райнда
— по имени англичанина, который разыскал и купил этот папирус в
(c) Коробейникова Н.А.
Египте.
Древние египтяне так же, как и мы
сейчас считали десятками.
Для записи чисел египтяне
использовали картинки-иероглифы
Все остальные числа
составлялись с помощью
добавления тех или иных
иероглифов, а общее количество
определялось суммой значений всех
значков.
(c) Коробейникова Н.А.
I
- 1.
-1 000.
10.
- 10 000.
.
- 100
- 100 000
- 1 000 000
10 000 000
(c) Коробейникова Н.А.
две тысячи, две
сотни, пять десятков
и три единицы.
Египтяне писали справа
налево, и младшие
разряды числа
записывались первыми, так
что в конечном счёте
порядок цифр
соответствовал нашему.
(c) Коробейникова Н.А.
Знаки сложения и вычитания
Например: 2343 + 1671
Чтобы показать знаки
сложения или вычитания
использовался иероглиф
+
Если направление ног у
этого иероглифа
совпадало с
направлением письма,
тогда он означал
«сложение», в других
случаях он означал
«вычитание».
(c) Коробейникова Н.А.
Собираем все однотипные иероглифы
вместе и получаем
или
При умножении преимущественно используется
способ постепенного удвоения одного из
сомножителей и складывания подходящих частных
произведений.
Умножим «13» на «238»:
1∙238=238,
2∙238=476,
4∙238=952,
8∙238=1904, значит
13∙238=3094 т.к.
13∙238=(8+4+1)∙238=
1904+952+238=3094.
(c) Коробейникова Н.А.
При делении также используется процедура
удвоения и последовательного деления
пополам. Деление, по-видимому, было самой
трудной математической операцией для
египтян. Здесь наблюдается самое большое
разнообразие приёмов. Так, иногда в качестве
промежуточного действия применялось
нахождение двух третей или одной десятой
доли числа и т.п. Иногда деление заключалось
в подборе делителя, то есть как действие,
обратное умножению.
(c) Коробейникова Н.А.
Для обозначения обыкновенных дробей египтяне использовали слово
"эр", одно из значений которого переводится как "часть".
Поэтому запись любой дроби правильнее читать не как "1/n", а как
"n - ная часть"
Обычным видом египетских дробей являются дроби с единицей в
числителе:
1/5
(c) Коробейникова Н.А.
1/23
1/141
Дроби с числителем больше единицы египтяне
раскладывали на привычные для них доли и записывали их
столько раз, сколько единиц содержится в числителе
(исключение составляют 2/3 и 3/4). Так, например, запись
4/7 выглядела следующим образом:
Для передачи некоторых дробей египтяне разработали особые
обозначения:
1/2
1/4
2/3
(c) Коробейникова Н.А.
3/4
Древние не знали, конечно, современного алгебраического языка,
они выражали уравнения на обычном разговорном языке подобно
тому, как это делается в наших школьных учебниках арифметики.
Величину, подлежащую определению,
египтяне называли «аха», что переводят как
«некоторое количество» или «куча». Вот пример
формулировки задачи из египетского папируса: «количество
и его четвертая часть дают вместе 15». Это задача
«на части» по современной арифметической терминологии, а на
алгебраическом языке она соответствует уравнению
x + 1/4 x = 15.
(c) Коробейникова Н.А.
Современна запись уравнения
(c) Коробейникова Н.А.
Математика развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных
догадок, не образующих никакой общей теории.
. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того,
что математика в Древнем Египте тех лет имела или по
крайней мере начинала приобретать теоретический характер.
Так, египетские математики умели извлекать
корни и
возводить в степень, решать уравнения, были
знакомы с арифметической и геометрической
прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при
решении уравнений специальный иероглиф «куча»
обозначал неизвестное.
(c) Коробейникова Н.А.
Разделить поровну 7 хлебов
между восемью людьми.
Мы с вами прямо сказали бы, что каждому
должно достаться
По 7/8 хлеба.
У египтян числа 7/8 не было, и ответ задачи
они записывали так:
1/2+1/4+1/8=7/8.
(c) Коробейникова Н.А.
Во многих задачах в начале или в конце
встречаются слова: «Делай как
делается», другими словами: «Делай, как
люди делают».
“Куча” и ее седьмая часть в сумме дают
19. Найти “кучу”.
(c) Коробейникова Н.А.
Приходит пастух с 70 быками. Его
спрашивают:– Сколько ты приводишь из
своего многочисленного стада? Пастух
отвечает: - Я привожу2/3от 1/3стада,
сочти! Узнайте сколько быков во всем
стаде. (Ответ: 315)
(c) Коробейникова Н.А.
.
О том, как давно была известна геометрическая прогрессия,
свидетельствуют папирусы Ахмеса.
“В доме было 7 кошек.
Каждая кошка съедает 7 мышей.
Каждая мышь съедает 7 колосьев.
Каждый колос дает 7 растений.
На каждом растении вырастает 7 мер зерна.
Сколько всех вместе?”.
(c) Коробейникова Н.А.
«Пусть тебе сказано : раздели 10 мер
хлеба на 10 человек, если разность между
количеством хлеба у каждого человека и
ему предшествующего составляет 1/8
меры.»
(c) Коробейникова Н.А.
Главная мера длины у египтян локоть.
Локоть делился на семь «ладоней»,
«ладонь» — на четыре «пальца». Как и
многие другие народы, в качестве мерок
длины египтяне использовали части человеческого тела. Но люди бывают разного
роста, и локти у них не одинаковые.
Египтяне это, конечно, понимали. Для того
чтобы измерения получались точными и
не происходило никакой путаницы, они
придумали образцовые меры: локоть,
ладонь и палец, общие для всего Египта.
Теперь было уже неважно, какой длины руки у человека,
который хотел что-нибудь измерить. Он мерил не своим,
а «общим» локтем
(c) Коробейникова Н.А.
После каждого разлива Нила египтянам заново
приходилось разбивать поля на участки, находить их
границы. А для этого надо было уметь измерять площади
различных фигур. Землемеры использовали в качестве
измерительного инструмента туго натянутую веревку,
разделенную метками на локти, ладони и пальцы.
Если участок земли квадратный или прямоугольный, то
это дело несложное. Но участки могут иметь разную
форму. Не всякий участок можно разделить на
прямоугольники. А вот на треугольники можно разбить
любой участок,— если только он ограничен прямыми
линиями.
(c) Коробейникова Н.А.
Разбивка участков на треугольники.
Египтяне рассуждали примерно так. Если в
прямоугольнике провести прямую линию через два
противоположных угла, то получится два одинаковых
треугольника с прямыми углами. Площадь каждого из них
вдвое меньше площади прямоугольника, из которого они
получились. Значит, для того чтобы узнать площадь
прямоугольного треугольника, надо измерить те его
стороны, которые образуют прямой угол, перемножить
длину их и от того, что получится, взять половину.
(c) Коробейникова Н.А.
Если получается такой
треугольник, у которого нет
прямого угла,
надо провести линию под
прямым углом
к одной из сторон треугольника так, чтобы она
проходила через вершину противоположного этой
стороне угла и образовала со стороною прямой угол.
В геометрии такую линию называют высотой, а ту
сторону, с которой она пересекается, основанием треугольника. Видно, что высота делит
треугольник опять же на два, но уже
прямоугольных треугольника, вычислить
площадь которых просто. Площадь любого
треугольника равна половине произведения основания на
высоту.
(c) Коробейникова Н.А.
Египтяне знали, что у треугольника со сторонами
в 3, 4 и 5 локтей один угол прямой. Такой
треугольник до сих пор называется
«египетским»
.
Почему так получается они не объясняли. Как и
многие народы, египтяне просто пользовались
готовыми правилами, которые «ощупью»
находили на опыте и запоминали.
(c) Коробейникова Н.А.
Египтяне наиболее точно определили число Пи.
Важность этого открытия нам с вами еще предстоит
понять. Число п- это величина постоянная и равна
отношению длины окружности к ее диаметру. В
папирусе Райнда приводится значение в десятичном
приближении 3,16. С помощью этого числа можно
вычислить площадь круга, а следовательно и объем
пространственных тел, в основании которых лежит
окружность (цилиндр).
В папирусах также есть формулы для нахождения
объема усеченной пирамиды, призмы, куба,
параллелепипеда. Зная объем пирамиды, можно
подсчитать, сколько камня необходимо подготовить
для строительства, сколько рабов привлечь и
определить сроки строительства.
(c) Коробейникова Н.А.
Египтяне использовали математику, чтобы вычислять
вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ,
размеры податей и количество камней, требуемое для
возведения тех или иных сооружений. В папирусах
можно найти также задачи, связанные с определением
количества зерна, необходимого для приготовления
заданного числа кружек пива, а также более сложные
задачи, связанные с различием в сортах зерна; для
этих случаев вычислялись переводные коэффициенты.
Но главной областью применения математики была
астрономия, точнее расчеты, связанные с календарем.
Календарь использовался для определения дат
религиозных праздников и предсказания ежегодных
разливов Нила.
(c) Коробейникова Н.А.
.