L_9_1

Открытые оптические резонаторы
Конфигурация поля в резонаторе
Впервые дифракционная задача для открытого резонатора была решена
Фоксом и Ли в 1961 году методом последовательных приближений при
многократных проходах первоначально плоской волны через резонатор
Распределение поля на поверхности левого зеркала служит
источником поля, возникающего у правого зеркала. Полученное
распределение поля на правом зеркале используется для ычисления
распределения поля вновь у левого зеркала. Эти вычисления
повторяются многократно.
При расчете используется принцип Гюйгенса: каждый элемент
поверхности одного зеркала рассматривается как источник
сферической волны, при этом поле на поверхности другого зеркала
является результатом суперпозиции этих волн
Использование этого метода допустимо в том случае, когда размеры зеркал
резонатора велики по сравнению с длиной волны излучения, а поле близко
к поперечному, что хорошо выполняется в резонаторе
Открытые оптические резонаторы
Конфигурация поля в резонаторе
Открытые оптические резонаторы
Конфигурация поля в резонаторе
Интеграл Френеля-Кирхгофа:
ik
exp(ikz )
u ( x '; y '; z ') 
u ( x; y; z )
(1  cos θ)dS ,

4π S
r
k  2π / λ ,r 2  ( x  x ') 2  ( y  y ') 2  ( z  z ') 2
Поле на поверхности зеркала:
n
1
un     V , n  число проходов, γ - комплексная постоянная
γ
ik
V  γ  KVdS , K 
 exp(ikr )  (1  cosθ)
4πr
S
Функция V определяет распределение поля на зеркалах, а ln g
отражает потери и сдвиг фазы при однократном прохождении резонатора
Открытые оптические резонаторы
Конфигурация поля в резонаторе
Число Френеля:
a2
N 
λL
θd  λ / 2a
θg / 2  a / L
, 2а – поперечный размер плоской волны
– угол дифракционной расходимости плоской волны
– половина геометрического угла , под которым одно
зеркало размера а видно из центра другого
Тогда:
N 
θg
2θ d
Число Френеля представляет собой число зон Френеля, видимых на
поверхности одного зеркала из центра другого
Открытые оптические резонаторы
Конфигурация поля в резонаторе
Зависимости уровня дифракционных потерь для мод
низших порядков от числа Френеля
Преимущество: возможность получения точного
решения для поперечной структуры поля
Дифракционный
метод
Недостаток: невозможность получения решений
в аналитическом виде
Открытые оптические резонаторы
Конфигурация поля в резонаторе
Волновое уравнение Геймгольца:
2u  k 2u  0
Решение ищем в виде:
 x2  y 2
u ( x, y, z )  A( z ) exp 
 a( z )

,

 2u
 2u  2u
 2 , 2
2
z
х у
Введем комплексный параметр q(z):
1
1
λ
1

i  2
q( z ) R( z ) π W ( z )
R(z) – радиус кривизны фронта распространяющейся в резонаторе волны:
  πW 2  2 
0

R( z )  z 1  

  λz  


Открытые оптические резонаторы
Конфигурация поля в резонаторе
W(z) (каустика)– расстояние от оси z в поперечном сечении, на котором
амплитуда поля падает в e раз:
  λz 2 
 , W0 =W (0) - перетяжка
W 2 ( z )  W0 2 1  
2 
  πW0  
Амплитуда электрического поля основной моды TEM00
 
 λz
 kr 2 1 
W0

E00  E0
 exp  i

  exp  i kz  t  arctg 
2
W
2 q( z ) 
π
W

 
0




 


Амплитуда электрического поля основной моды TEM00 :
Emn
 
 2x 
 2y 
 λz  
~ H m 
 E00
  H n 
  exp  i (m  n)arctg 
2  
 
 πW0  
 W ( z) 
 W ( z) 
Hmn – полиномы Эрмита:
H 0 ( x)  1, H1 ( x)  2 x, H 2 ( x)  4 x 2  2
Открытые оптические резонаторы
Конфигурация поля в резонаторе
Поведение амплитеды напряженности электрического поля гауссова в
поперечном сечении резонатора
r  x2  y 2
Открытые оптические резонаторы
Конфигурация поля в резонаторе
Амплитуды и интенсивности трех мод
низших порядков в поперечном сечении
Расходимость гауссова пучка
Расходимость продольной моды
Расходимость поперечной моды
W ( z)
θ  lim
z 
z
λ
θ 00 
 W0  λ m(n)  1 
2

θ m ( n )  arctg



πW0 x ( y )



 θ 00 m(n)  1
2
Открытые оптические резонаторы
Конфигурация поля в резонаторе
Индексы поперечных мод определяют количество областей нулевой
интенсивности поля в поперечном сечении
Поперечные размеры минимальны для моды с m=n=0 – продольной моды
По мере роста индексов мод их поперечные размеры увеличиваются
С ростом номера поперечной моды
дифракционные потери увеличиваются
Полученные выражения для напряженностей электрического поля
продольных и поперечных мод справедливы не только внутри резонатора,
но и вообще в любой точке пространства
Внутри резонатора суммарное поле образуется в результате сложения
прямой и обратной бегущих волн, что приводит к условию на возможные
частоты собственных типов колебаний