Лекция № 8.Общие условия перехода от дозвукового течения

Лекция № 8.Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Вулисом были установлены соотношения связывающие изменения
скорости газового потока с внешним воздействием и (геометрическим,
расходным, механическим, тепловым и трением):
(M
2
dV
dS
dG
1
k 1
k
 1)


 2 dL 
dQнар  2 dLтр
2
V
S
G
a
a
a
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Это соотношение получило название «условие обращения воздействия».
Особенность этого соотношения состоит в том, что знак его левой части
изменяется при переходе скорости через критическое значение.
Поэтому характер влияния отдельных физических воздействий на газовое
течение противоположен при дозвуковом и сверхзвуковом режимах.
Воздействия, вызывающие ускорение в дозвуковом потоке (сужение
канала dS  0, подвод дополнительной массы газа , совершение газом
работы dL  0 , трение и подвод теплоты dQнар  0 ), приводят к
замедлению сверхзвукового потока.
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Воздействия обратного знака (расширение канала dS  0, отсос газа dG  0,
сообщение газу механической энергии dL  0 и отвод теплоты dQнар  0)
приводят к замедлению дозвукового и ускорению сверхзвукового потоков.
Отсюда следует важный вывод, что под влиянием одностороннего воздействия
величину скорости газового потока можно довести только до критической, но
нельзя перевести через нее. Например, путем подвода теплоты можно
ускорять дозвуковой поток, но только до тех пор, пока не получится М = 1.
Для того чтобы перевести дозвуковой поток в сверхзвуковой, нужно
переменить знак воздействия, т. е. в зоне М = 1 начать отводить теплоту.
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Подогрев газа в сверхзвуковом течении вызывает торможение потока, но
переход к дозвуковому течению и дальнейшее торможение станут
возможными только в том случае, если, начиная с М = 1, мы переключимся
на охлаждение газа.
Ускорение газового потока в сопле при любой комбинации воздействий
требует достаточного перепада давлений между сечениями, расположенными
перед и за соплом.
Рассмотрим раздельно каждое из четырех воздействий. При этом получим в
дополнение к общеизвестному способу получения сверхкритических
скоростей с помощью сопла Лаваля еще три, указанных Л.А. Вулисом, способа
перехода через скорость звука – с помощью расходного, механического
и теплового сопел.
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Сопло Лаваля, представляет собой канал, в котором только за счет придания
ему соответствующей формы можно осуществить переход от дозвуковой
скорости к сверхзвуковой.
В этом частном случае чисто геометрического воздействия на
поток ( dS  0 ) отсутствуют прочие воздействия,
( dG  0, dL  0, dQнар  0, dLтр  0
).
Но тогда соотношение переходит в полученное ранее
равенство
(M
2
dV
dS
 1)

V
S
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Ускорение потока в дозвуковой части сопла Лаваля (М < 1)
получается путем сужения канала ( dS  0). Однако, начиная
с критического сечения (М = 1), для получения сверхзвукового
потока и дальнейшего его ускорения приходится изменять знак
воздействия, т. е. расширять канал ( dS  0).
Течение идеального газа в геометрическом сопле при
отсутствии трения является изэнтропическим. В критическом
сечении (М = 1) сопла воздействие проходит через минимум
( dS  0).
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Расходное сопло дает возможность получить переход через скорость звука
за счет изменения расхода газа в трубе постоянного поперечного сечения
( dS  0 ) при отсутствии обмена с внешней средой работой ( dL  0) и
теплотой ( dQ
) и при течении без трения ( dL  0 ).
тр
нар  0
В этом случае соотношение принимает следующую форму:
( M 2  1)
dV
dG

V
G
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Ускорение движения ( dV  0 ) достигается здесь за счет
подвода дополнительной массы газа в дозвуковой части канала
и отсоса газа в сверхзвуковой его части. В критическом
сечении (М = 1) расход газа и, следовательно, плотность тока
проходят через максимум.
Изменение состояния идеального газа в расходном сопле происходит
изэнтропически.
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Механическое сопло предоставляет еще один возможный способ перехода
через скорость звука: за счет технической работы при отсутствии других
воздействий ( dS  0, dG  0, dLтр  0, dQнар  0 ).
В этом случае основное соотношение выглядит так
dV
1
( M  1)
  2 dL
V
a
2
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Из него следует, что если движущийся газ совершает работу
(dL > 0), например, в турбине, то дозвуковой газовый поток
(М < 1) ускоряется (dV > 0), а сверхзвуковой (М > 1) – замедляется
(dV < 0).
При подводе работы (dL < 0), например, с помощью лопаток
компрессора, к газу при дозвуковом его течении наблюдается
замедление потока, а в случае сверхзвукового течения – ускорение.
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Непрерывный переход через скорость звука в механическом
сопле получается при изменении знака воздействия в
критическом сечении. В принципе,
пропуская дозвуковой поток газа
через турбину, можно разогнать его до критической скорости;
после этого нужно пустить его через компрессор, и тогда
получится ускоряющийся сверхзвуковой поток (схема
механического сопла изображена на рисунке).
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Монотонное возрастание значения числа М в механическом
сопле сопровождается монотонным падением температуры,
давления и плотности.
Кривые изменения параметров потока (рис. а) и торможения
(рис. б) в сверхзвуковом механическом сопле при и k = 1,4
представлены ниже.
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Из предыдущего выражения следует, что максимальная
скорость истечения из механического сопла ничем не
2
Ограничена
V2 1  M 2  k 1


 
V1  2  M 1 
так как при M 2   имеем V   . Этот результат
2
связан с тем, что в сверхзвуковом участке механического сопла
к газу подводится энергия (dL < 0).
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Тепловое сопло, пока еще не осуществленное, дает принципиальную
возможность перехода газового потока через скорость звука за счет еще
одного – чисто теплового – воздействия при отсутствии других
воздействий, т. е. в цилиндрической трубе (dS= 0, dG = 0, dL = 0, dLтp = 0).
Основное соотношение применительно к тепловому соплу имеет
следующий вид:


dV
(k  1)
M 1

dQнар
2
V
a
2
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Ускорение газа ( dV  0 ) в дозвуковом потоке (М < 1) здесь связано с
подводом теплоты ( dQнар  0), а в сверхзвуковом – с ее отводом ( dQнар  0).
Подвод теплоты при сверхзвуковом и отвод теплоты при дозвуковом
режиме вызывают замедление потока ( dV  0 ).
Таким образом, для того чтобы преобразовать дозвуковой поток в
сверхзвуковой посредством теплового сопла, на дозвуковом участке
последнего нужно повышать энтальпию газа, а на сверхзвуковом – понижать ее.
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
В критическом сечении теплового сопла, где количество подведенного к
газу тепла проходит через максимум ( dQнар.кр  0 ), следует изменить знак
воздействия.
Температура торможения в критическом сечении теплового сопла (в
противоположность случаю механического сопла) достигает максимального
значения. Это вытекает из уравнения энтальпии, которое применительно к
тепловому соплу имеет следующий вид:
i01  i0 x  Qнар
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Из предыдущего материала, содержащего теорию теплового
сопротивления, следует, что при подводе теплоты к газовому
потоку полное давление в нем падает, а при отводе теплоты –
растет. Формулы теплового сопротивления были выведены
применительно к случаю движения газа без трения по трубе
постоянного сечения, т. е. именно к случаю теплового сопла.Для
отыскания зависимости давления газа от числа М в тепловом
сопле без трения воспользуемся уравнением количества
движения в следующей форме:
p1  1V12  p2   2V22
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
отсюда
или
p1 (1  kM )  p2 (1  kM )
2
1
2
2
p2
1  k M12

p1
1  k M 22
Иначе говоря, давление газа в тепловом сопле с ростом числа
М монотонно падает, несмотря на увеличение полного
давления в сверхзвуковой части.
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Зависимость плотности газа и скорости течения в тепловом сопле
от числа М можно найти следующим способом:
M 22 V22 a12 V22T1
 2 2 
2
M 1 V1 a 2 T2V12
но из уравнений состояния и неразрывности
T1 p1  2  2 V1

,

T2 p2 1
 1 V2
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
M 22 1 p1
Поэтому

2
M 1 p2  2
2
V1
M 12 1  k M 22


1
V2
M 22 1  k M12
откуда видно, что плотность газа вдоль теплового сопла
монотонно падает с ростом числа М.
Температура газа в тепловом сопле как функция числа М
может быть получена делением равенства на равенство
T2
M 1  kM 



T1
M 1  kM 
2
2
2
1
2
1
2
2
2
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Кривая температуры имеет максимум в точке
M 22 
1
k
любых двух сечениях теплового сопла с одинаковой температурой
( T2  T1 ) значения числа М, как это явствует из выражения, связаны
следующей зависимостью:
1
M 2 M1 
k
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Температуру торможения найдем из равенства
T02
T01
k
1
T2
k

T1 1  k
k
1 2
1
1
1 2
2
1
Подставив в это выражение соотношение температур и заменив М на ,
получим
T02


T01

2
2
2
1
1   
1   
2 2
1
2
2
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Полное давление в тепловом сопле может быть найдено из
k
выражения
k 1
p02
p01

1
p2 


p1 1 

k 1 2 
1 
k 1
k  1 2 
2
k  1 
Отсюда, используя равенство, приходим к следующей
зависимости:
1
p02
p01
 k  1 2  k 1
1

1  12  k  1 1 



1  22 1  k  1 2 
 k  1 2 
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Плотность заторможенного газа в тепловом сопле можно
определить путем деления выражения на выражение:
 02
 01

1
12 1  22 
 2

2 1  12 1 

k
k
k
k
1 2 
1 
1
 1 2 
2
 1 
1
k 1
Кривые изменения статического и полного давлений (рис. а), а
также температур потока и торможения (рис. б) в тепловом
сопле в зависимости от числа при приведены ниже.
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Определим количество теплоты (Q), которое нужно подвести в тепловом
сопле, чтобы изменить скорость газа от какого-либо одного значения (  )
1
до другого ( 2 ).
При постоянной теплоемкости имеем:
Q  c p (T02  T01 )
или в безразмерном виде
q
T
Q
 02  1
c pT01
T01
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Подставляя сюда отношение температур торможения, находим
(22  12 )(1  22 12 )
q
12 (1  22 ) 2
Максимальное количество теплоты, отвечающее критическому
подогреву (до 2  1), равно
1 
qmax  
 21
2
1



2
Оно резко уменьшается с ростом начальной скорости газа
( 1 ) о чем свидетельствует график, приведенный на рисунке
справа.
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Предельно возможная скорость истечения из теплового сопла
(при M 2   ) зависит от начального
qmax
значения числа M1. V
1
max
V1
 1
20
kM12
В частности, если вести отсчет от
критического сечения, т.е. положить ,
M 1  1, V1  a кр то получим
Vm ax
k 1

a кр
k
16
12
8
4
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Помимо четырех описанных «чистых» схем сверхзвуковых
сопел, принципиально возможны комбинированные схемы.
Наиболее реальным комбинированным соплом является так
называемое полутепловое сопло, в котором дозвуковой
участок является тепловым, а сверхзвуковой – геометрическим
(см. рис. справа). В таком сопле газ ускоряется от некоторого
начального дозвукового значения скорости до критического в
цилиндрической трубе 1–2 за счет подвода теплоты, а переход
к сверхзвуковой скорости и дальнейшее ускорение потока
осуществляются без теплообмена в расширяющейся трубе 2–3.
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Расчет дозвукового участка полутеплового сопла ведется по формулам
теплового сопла, а сверхзвукового участка – по формулам геометрического
сопла.
2
Кризис
Q
Q
1
3
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
Остановимся теперь кратко на совместном проявлении двух
или нескольких воздействий. В качестве первого примера
разберем случай геометрического сопла с трением. Основное
соотношение имеет в этом случае вид


dV
dS
k
M 1

 2 dLтр
V
S
a
2
Наиболее интересной особенностью этого сопла является то,
что критическая скорость получается в его расходящейся
части, так как при М = 1
dS
k
 2 dLтр  0
S
a
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
а в узком сечении ( dS  0при dV  0 ) имеет место
дозвуковая скорость и М < 1.
Выясним теперь главные особенности геометрического сопла с
теплообменом. Из основного соотношения в этом случае имеем
M
2
 dV
V
1

dS k  1
 2 dQнар
S
a
Местоположение критического сечения (М = 1) определяется
равенством
dS
k 1

dQнар
2
S
a
Общие условия перехода от дозвукового течения
к сверхзвуковому и обратно
При подводе теплоты ( dQнар  0 ) – например, при догорании
газов в сопле – критическая скорость достигается в
расходящейся части сопла ( dS  0). При отводе теплоты
( dQнар  0), т. е. при теплоотдаче через стенки сопла,
критическая скорость достигается в сужающейся части сопла
( dS  0). В первом случае в узком сечении сопла
( dS  0 ) имеет место дозвуковая, а во втором случае
сверхзвуковая скорость.
Таким же путем можно исследовать совместное влияние в
газовом течении любых других воздействий. При этом важно
подчеркнуть, что в соответствии с уравнением (2.64) переход
от М < 1 к М > 1 требует в любом случае изменения знака
суммарного воздействия.