Теорема о существовании разрывов в шкале вероятностей

Разрывы в шкале
вероятностей.
Интервальный анализ
Об интервальной
арифметике для
вписанных интервалов
и средних значений
• Нобелевский лауреат
Kahneman
констатировал (2006) ), что
в экономической теории,
в теории полезности
до сих пор не удалось
удовлетворительно решить
целый ряд проблем
в т.ч. парадоксы Алле и Эллсберга.
2
Интервальный анализ
• Дана величина {v(Xk)} : k=1, …K,
на интервалах Xk.
• Распределение ρ(Xk) этой
величины равно
 ( X k )   ( X k ) wid X k
• ρ(Xk) нормировано на 1
K
 (X
k 1
K
k
) 1 
k 1
 ( X k ) wid X k
N
 ( X
n 1
n
) wid X n
О возможных дополнениях
к интервальной арифметике.
Вписанные интервалы и средние значения
Даны интервалы X1 и X2 :
X 2  X1
 ( X1 )wid X1  1
 ( X 2 )wid X 2  2
1   2  1
Формула Новоселова. Вывод
2
( X
n
 M 12 ) n  0
n 1
2
X
n  n
2
 M 12
n 1
 
n
 M 12
n 1
2
M 12 
X
n  n
n 1
2
wid M 12   wid X n  n
n 1
Формула Новоселова
N
M 1... N   X n  n
n 1
N
M 1.. N   X n  n
n 1
N
mid M 1... N   mid X n  n
n 1
N
wid M 1... N 
 wid X
n  n
n 1
N
P1... N   mid pn pn
n 1
• Нобелевский лауреат Kahneman
и Thaler констатировали (2006) ), что
в экономической теории
до сих пор не удалось
удовлетворительно решить
целый ряд проблем
в т.ч. парадоксы Алле и Эллсберга.
Эти проблемы часто наблюдаются
у границ шкалы
вероятностей.
Теорема о существовании разрывов
у границ шкалы вероятностей (2010 г.)
дает новый путь для их решения
7
Теорема о существовании разрывов
• На отрезке [A, B] величина {v(xk)}
известна с точностью до ненулевого
интервала X, такого, что
  ( x )  C
xk  X
k
min
0
( M  P)C min 
 ( P  M )(1  C min )C min
M  P  ( P  P)C 
 B  wid P C min
Аналогия.
Вибрации вблизи твердой стены
• Электродрель, автомат, стиральная машина с
твердыми боковыми стенками.
• Можно ли приблизить дрель к твердой стене:
А) на расстояние 0,1 мм?
Б) вплотную?
• Выключенную (Off): Конечно да.
• Включенную (On) (Амплитуда
вибраций равна 1 мм):
Из-за вибраций
(из-за разброса значений координат)
А) Среднее расстояние >0,1 мм.
Б) В шкале возможных средних
расстояний появится разрыв.
9
Простейший пример
• Дан интервал [A, B].
• На этом интервале даны три
точки:
xLeft
• Правая
xRight=x Left +2σ
• Средняя M=(x Left +x Right)/2
• Разброс xRight - xLeft = 2σ >
0
• Левая
Очевидно, что A ≤ x Left
(То есть: Левая точка не может
быть левее левой границы
интервала)
и x Right ≤ B
(То есть: Правая точка не
может быть правее правой
границы интервала)
Очевидно, что
A+σ ≤ M ≤ B-σ
То есть:
Средняя точка
M не может
приближаться к любой границе
интервала ближе, чем на половину
величины разброса (то есть на σ).
Или
Середина полосы разброса
не может быть на границе
интервала.
Или
Для средней точки M
возле каждой из границ
интервала существует
запрещенная зона, разрыв
величиной σ.
Пример
разрывов у границ шкалы вероятностей
Простейший пример подобных
разрывов – стрельба в мишень в
одномерном приближении:
Пусть размер мишени равен 2L>0, а
разброс попаданий, при точном
прицеливании, подчиняется
нормальному закону с дисперсией σ2.
Тогда максимальная вероятность
попадания в мишень Pin_Max равна:
16