Сравнительный анализ методов расчета индексов цен

Сравнительный анализ
методов расчета индексов цен.
Исследование рынков
несовершенной конкуренции
Айзенберг Н.И., Киселева М.А.,
Солонина З.В., Филатов А.Ю.
ИСЭМ СО РАН (Иркутск)
http://polnolunie.baikal.ru/me/mat_ec.htm,
http://matec.isu.ru
Основные направления работы
1. Сравнительный анализ экономических индексов. Изучение особенностей
их динамики при различной интенсивности колебаний цен.
2. Исследование формул расчета фондовых индексов с помощью имитаци онных моделей.
3. Исследование индексов Дивизиа. Построение непрерывных траекторий
изменения цен и объемов.
4. Построение математических моделей естественной монополии. Иссле дование методов регулирования цен и тарифов на продукты естествен ной монополии, в том числе, электро - и теплоэнергетики.
5. Разработка математических моделей олигополии при несовершенной
эластичности спроса.
Индексы цен.
Некоторые расчетные формулы
 i
i 1
n
t
I pH  1  i pit 
t
I pG
n
  pit
n
–
ILpt

i 1
n
– средний
гармонический
– средний
арифметический
i 1
t
I pA
  i pit
i 1
n
средний геометрический
Pit Qi
IPpt   Pit Qit
i 1
n
 PiQi
– Ласпейреса
 PiQit
– Пааше
i 1
n
i 1
12
– Фишера
IFpt  ILpt  IPpt
n
n
t
t t

IW p  Pi Qi  Qi
Pi Qit  Qi
– Уолша
i 1
i 1
n
n
12
t
t t
12
IE p  Pi Qi  Qi
Pi Qit  Qi – Эджворта
i 1
i 1














Аналитический подход.
Модель с одинаковой эластичностью
Qi P,U   S P,U i  i Pi i
Если 1  ...   n   , то получаем оптимальные объемы, порождаемые ква зиоднородной функцией полезности. В этом случае возможно построение
аналитического однозначно представимого индекса цен и объемов.
1
  1
Apt
U
 Apt
Ut
 n  Pt  1
 i i

i 1
 n

  1
 i Pi  
 i 1

Рассмотрено 5 моделей рынка:   1,   0,5,   0,   0,5,   1.
~
~t
t
t
Возмущенные данные: Pi t  Pit  it , Q
i  Qi  i .
1. 5% – относительно небольшие колебания цен и объемов;
2. 15% – средняя интенсивность колебаний;
3. 30% – высокая интенсивность колебаний.
Для каждой из 15 ситуаций проводилось по 100 статистических испытаний.
Определение качества индексов
при расчетах по исходным данным
Вычисляются показатели отклонений индексов по критериям (1)-(4)
1. Транзитивность:
2. Обратимость во времени:
3. Отклонение индекса, рассчитанного по
постоянной базе, от эталонного индекса:
4. Отклонение индекса, рассчитанного
цепным методом, от эталонного индекса:
t  I pt перем.база I pτt пост.база
 t  I tp  I pt
 t  I pt пост.база I pt аналит.
 t  I pt перем.база I pt аналит.
Вычисляются средние отклонения по всем периодам
T 1


   exp  ln t  1 100%
t 1 T


T 1


   exp  ln  t  1 100%
t 1 T


T 1


t

   exp  ln   1 100%
t 1 T


T 1


   exp  ln  t  1 100%
t 1 T


Отклонения индексов
по всем критериям для δ = –1
Колебания данных
Ср.геом
Ср.гарм
Ласпейр
Пааше
Фишера
Уолша
Эджвор
Нарушение теста транзитивности , %
0%
0,00
2,70
2,82
2,70
2,50
5,14
0,55
5%
1,42
4,22
3,21
2,70
2,34
5,27
0,94
15%
8,98
19,10
5,02
4,25
3,51
6,00
2,53
30%
38,74
88,70
9,83
10,74
6,60
9,25
5,81
Отклонения индексов, рассчитанных по постоянной базе, от аналитического индекса , %
0%
0,00
11,21
19,16
11,21
4,02
7,00
0,98
5%
2,98
11,12
19,69
10,64
5,11
8,67
2,89
15%
9,09
14,94
21,86
11,74
9,57
12,31
8,09
30%
19,25
27,58
28,16
18,82
17,81
20,04
16,62
Отклонения индексов, рассчитанных цепным способом, от аналитического индекса , %
0%
0,00
13,35
15,98
13,35
1,76
2,60
0,43
5%
2,49
15,03
16,24
12,74
3,20
3,74
2,53
15%
11,62
34,76
17,94
13,38
8,10
8,45
7,75
30%
46,93
131,56
24,32
21,91
16,99
17,45
16,80
Выводы
1. Увеличение интенсивности случайных колебаний цен и объемов ведет к
увеличению отклонений индексов цен по тестам транзитивности и обра тимости во времени, а также их отклонений от аналитических индексов.
2. При разной эластичности зависимости объемов товаров от цен сохраня ются общие тенденции поведения индексов. IFp, IWp, IEp во всех случаях
имеют наименьшие смещения по требованиям обратимости и транзити вности, наименьшие отклонения от аналитического индекса и наиболее
устойчивы к росту колебаний цен и объемов товаров. Наиболее чувстви тельны индексы IpA, IpH и IpG; ILp и IPp дают средние результаты.
3. При расчете по невозмущенным исходным данным значения индексов
имеют определенную последовательность. Во всех случаях наименьшее
значение имеет индекс IpH, а наибольшее – IpA. Во всех ситуациях, кроме
нулевой эластичности, индексы IFp, IWp, IEp находятся в диапазоне меж ду ILp и IPp. Изменение последовательности индексов, рассчитанных раз ными методами, от периода к периоду свидетельствует об увеличении
случайных колебаний цен.
Индексы Дивизиа.
Построение непрерывных
траекторий цен и объемов
Pi(k) – уровень цены в момент времени k для товара i = 1,…,n .
Qi(k) – интенсивность потока объемов в момент времени k для товара i = 1,…,n .
Vi(k) – интенсивность потока стоимости в момент времени k для товара i = 1,…,n
Индексы Дивизиа цен IpD и объемов IqD:
T
T
I pD
 exp 

 Qi k  dPi k  / dk
i
 Qi k  Pi k 
T
dk
i
T
I qD
 exp 

 Pi k  dQi k  / dk
i
 Pi k Qi k 
dk
i
1. Индексы цен и объемов Дивизиа всегда согласованны, т.е. их произведение
всегда дает индекс стоимости.
2. Индексы Дивизиа можно представить как произведение индексов Дивизиа
за последовательные периоды.
T
T 1
I pD  
t 
,t 1
I tpD
,
T
T 1
t ,t 1
I qD   I qD
.
t 
Значения индекса цен Дивизиа
по различным траекториям
Траектории
Линейная
Период
Экспоненциальная
Со степенями
k=6
k=1/6
Ершова I
Ершова II
1992
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1993
8,80
8,75
8,47
8,753
8,47
8,41
1994
25,31
25,08
24,43
25,11
24,28
24,05
1995
52,39
51,91
50,57
51,98
50,65
50,14
1996
58,03
57,47
56,06
57,55
56,11
55,54
1997
63,98
63,37
61,81
63,46
62,39
61,76
1998
133,30
131,90
128,90
132,1
129,7
128,00
1999
163,20
161,40
157,90
161,7
158,6
156,50
2000
192,50
190,40
186,20
190,7
187,3
184,70
2001
234,10
231,60
226,50
231,9
227,7
224,50
Проверка требования стоимости
по различным траекториям
Траектории
Линейная
Период
Экспоненциальная
Со степенями
k=6
k=1/6
Ершова I
Ершова II
Индекс
стоимости
1992
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,00
1993
8,7
8,7
9,3
8,7
7,8
7,8
8,65
1994
27,61
27,6
26,1
27,6
25,9
25,9
27,57
1995
55,5
55,5
54,1
55,5
52,4
52,3
55,44
1996
62,5
62,5
62,2
62,4
59,3
59,2
62,37
1997
69,2
69,1
69,2
69,1
66,5
66,5
69,03
1998
132,8
132,8
132,8
132,8
133,7
133,8
132,58
1999
149,3
149,2
151,6
149,2
148,1
148,1
149,05
2000
190,2
190,2
189,9
190,1
187,5
187,5
189,89
2001
251,9
252,0
251,4
251,6
251,6
251,7
251,44
Выводы
1. Индексы Дивизиа не решают проблему выбора метода расчета ин декса цен. При аппроксимации индекса Дивизиа известными дискрет ными формулами индексов получаем существенно различающиеся меж ду собой значения. При этом осуществляется переход к цепным индек сам, которые имеют ряд отрицательных черт.
2. Принципиальным при построении непрерывного индекса Дивизиа
является выбор траектории изменения цен и объемов в течение рас сматриваемого периода. Так как не существует сведений о непрерывной
динамике измеряемых явлений, то значение индекса будет зависеть от
предложенного самим исследователем пути.
Естественная монополия
Оптимальным результатом деятельности монополии является результат,
который обеспечивает наибольший совокупный избыток (потребитель ский избыток + прибыль монополии)
1 – «первое наилучшее решение»,
2 – «второе наилучшее решение».
P
P
D
D
2
MC
AC
2
1
MC
Q
Большие мертвые потери
AC
1
Q
Малые мертвые потери
Методы регулирования
естественной монополии
Большие
мертвые
потери
Малые
мертвые
потери
Регулировать с целью выхода на
«первое наилучшее решение»:
Субсидии, ценовая дискриминация,
особые тарифы и др.
Возможно ли введение конкуренции
Нет
Регулировать с целью выхода на
«второе наилучшее решение»:
Цены Рамсея, ценовые лимиты,
норма отдачи и др.
Да
Вводить одну
из форм
конкуренции
Выводы
1. Тарифы должны быть разными для разных групп потребителей в
зависимости от предельных издержек обслуживания этих групп и
эластичности их спроса. Число групп должно быть как можно бо́ль шим. Если у регулирующего органа стоит задача социальной защиты
населения, то нельзя следовать принципу обратной эластичности, про диктованного ценами Рамсея.
2. Тарифы для каждой группы потребителей должны быть блочными
понижающимися многоставочными, включать фиксированную плату
за доступ к рынку. Число блоков в тарифе должно быть как можно
бо́льшим. Цены внутри блока следует устанавливать соответственно
эластичности и предельным издержкам. Для социальной защиты насе ления необходимо использовать повышающийся блочный тариф.
3. Общий уровень тарифов должен позволять фирме покрывать свои
издержки, включая нормальную прибыль. Необходимо проводить
периодические корректировки, отражающие изменения спроса и затрат
производства.
Равновесие Курно
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ
Равновесие Штакельберга
(лидер – последователь)
Неравновесие Штакельберга
(лидер – лидер)
БЕЗ СГОВОРА
Модель Бертрана
Модель Эджворта
ЦЕНОВАЯ
ОЛИГОПОЛИЯ
Модель с возрастающими
предельными издержками
Модель с несовершенной
эластичностью спроса
Модель Форхаймера
СО СГОВОРОМ
Картель
Картель +
конкурентное окружение
Модель Спенса
МОДЕЛИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВХОДА
Модель Салопа
Модель дуополии Бертрана
- захват рынка
Q, p1  p 2

q1  Q 2 , p1  p 2 - дележ рынка
0, p  p
- потеря рынка

1
2
Дилемма заключенного
не созн.
созн.
не созн.
15сут / 15сут
10 лет / 0
созн.
0 / 10 лет
5 лет / 5лет
4 руб.
3 руб.
4 руб.
10тыс / 10тыс
0 / 12тыс
3 руб.
12тыс / 0
5тыс / 5тыс
Парадокс Бертрана
Равновесие на рынке с небольшим количеством фирм
достигается при продаже продукции по издержкам.
Фирмы не в состоянии обеспечить себе положительную прибыль,
производя однородную продукцию.
Модель дуополии в матричном виде
Q p   a  bp, TCi qi   cqi
1

q   a  bBp 
2

q 
p 
q   1 , p   1 ,
 q2 
 p2 
a
a   ,
a
 1 1 2 1    3 2 1 
  

B  
 1  1 2  1  1 2  1
При повышении цены в j-фирме на 1 руб. объем продаж в ней падает на b, у конкурента растет на b.
При повышении цены в первой фирме дополнительно на величину b сокращается весь рынок, и это
бремя равномерно ложится на обе фирмы в размере b/2
Модель олигополии в матричном виде (n фирм)
1

q   a  bBp 
n

 q1 
q 
 2
q   q3 ,
 ... 
q 
 n
 p1 
p 
 2
p   p3 ,
 ... 
p 
 n
a
a
 
a   a ,
 ... 
a
 
1





n

  1
 n 1 n
B 
1


 n 1 n
 ...
   1
 n 1 n

n 1


n 1
...

n 1

 
...

n 1
n 1 

 
...
n 1
n 1 
 
  ...

n 1 
... ... ... 

...   
n 1

Модель олигополии в скалярном виде
n

1 
n
q1 
a  n  1bp1 
b pj 

n
n  1 j 2 
n

1   n
n

qi  a  
 1bp1 
b  p j  nbpi ,

n   n  1 
n  1 j  2, j  i

i  2,..., n
p2  p3  ...  pn  p*, q2  q3  ...  qn  q*,  2   3  ...   n   *
Кривые реакции
p1  p * 
a  n  1bc  nbp *
,
2bn  1
a
c
b
p1  c 
,
n  1  n 2n  1
q1 
1
a  n  1bp1  nbp *,
n
n 1 a
n  n  1
 n  1c 
p1
n
p *  p1   n b
n
2 a

a
  c
c
2n  1  b

p*  c  b
 2
n n    n 2n  1

1   n
n

q*   a  
 1bp1 
bp *
n   n 1 
n 1

Рассмотренные варианты значений 
 1
Изменение цены в любой из фирм приводит к изменению объема ее продаж,
не зависящему от количества конкурентов. В то же время, при большом числе
фирм на рынке влияние на каждого из конкурентов становится минимальным
  n 1
Увеличение числа конкурентов резко усиливает реакцию потребителей на из менение цены одного из них. В этом случае продажи каждого из (n-1) конку рентов изменяются на фиксированную величину, вне зависимости от их числа.
Продажи самой фирмы меняются прямо пропорционально числу конкурентов.
  2 n  1 n
Реакция потребителя на изменение цены в одной из фирм при увеличении
числа конкурентов усиливается, однако для конкурентного рынка влияние
всего вдвое сильнее, чем в случае дуополии. Если p2=p3=…=pn=p*,
q* 
1
a  bp1  2bp *
n
Табл. 1. Основные экономические показатели фирм в зависимости от их числа.
n
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
1
1
1
1
1

80,0
73,9
69,7
66,8
64,6
62,9
61,5
60,4
p1
85,0
77,1
71,9
68,3
65,7
63,7
62,2
61,0
p*
45,0
31,9
24,7
20,1
17,0
14,7
13,0
11,6
q1
35,0
27,1
21,9
18,3
15,7
13,7
12,2
11,0
q*
1350
762
487
338
248
190
150
121
1
1225
734
478
334
246
189
149
121
*
2575
2231
1921
1673
1478
1321
1194
1088

 1
10
1
59,5
60,0
10,5
10,0
100
100
999
Табл. 2. Основные экономические показатели фирм в зависимости от их числа.   2n  1 n
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10

p1
p*
q1
q*
1
*

1
80,0
85,0
45,0
35,0
1350
1225
2575
1,33
69,6
71,6
32,7
28,8
643
622
1888
1,5
64,5
65,6
25,4
23,3
369
363
1460
1,6
61,5
62,2
20,7
19,4
239
236
1183
1,67
59,5
60,0
17,5
16,6
166
165
993
1,71
58,1
58,4
15,1
14,5
123
122
855
1,75
57,1
57,3
13,3
12,8
94
94
750
1,78
56,3
56,5
11,9
11,5
74
74
668
1,8
55,6
55,8
10,7
10,4
60
60
602
Табл. 3. Основные экономические показатели фирм в зависимости от их числа.   n  1
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9

80,0
64,5
58,1
55,1
53,5
52,5
51,9
51,5
51,2
p1
85,0
65,4
58,4
55,2
53,5
52,6
51,9
51,5
51,2
p*
45,0
33,8
26,3
21,4
18,0
15,5
13,6
12,1
10,9
q1
35,0
30,9
25,2
20,9
17,7
15,3
13,5
12,0
10,9
q*
1350
489
214
109
63
39
26
18
13
1
1225
477
211
109
63
39
26
18
13
*
2575
1442
848
545
376
274
208
163
131

Выводы
1. В модели олигополии с несовершенной эластичностью спроса есть рав новесие Нэша с различными ценами и объемами поставок одинаковых
фирм-производителей.
2. Увеличение числа фирм на рынке и усиление реакции потребителя на
разницу цен приводит к снижению и выравниванию цен, снижению при былей фирм (в том числе, суммарной) и их выравниванию, однако даже при
большом количестве фирм, все они в состоянии получать прибыль.
3. При высоких ценах возможна ситуация «инверсии»: дорогой фирме вы годнее занять дешевый сегмент рынка, выиграв в объеме продаж сильнее,
чем потеряв в удельной прибыли. При низких ценах ситуация обратная.
4. В двухуровневой модели «лидер-последователи» в равновесии Нэша ли дер, повышая цену, увеличивает свою прибыль, но (в отличие от коли чественной олигополии Штакельберга) последователи увеличивают свои
прибыли еще сильнее. Симметричный случай дорогого лидера реализуется
только в ситуации сговора.
5. На основе ценовой дискриминации олигополисты могут получать при быль больше монопольной.
Спасибо
за внимание!