ВАРИАНТ 1. 1.

ВАРИАНТ 1.
1. По среднегодовому прогнозу в мае бывает 7 дождливых дней. В хорошую погоду
Петя Трофимов выгуливает Аню в вишневом саду, а в плохую – пересказывает ей
теорию Адама Смита в гостиной у камина. Какова вероятность, что три майских
воскресения Ане придется слушать экономику Смита, а одно воскресение – гулять в
саду?
2. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: 3 партии из четырех или 5
партий из восьми?
3. Дан ряд распределения дискретной случайной величины Х:
7 10 15
хi 5
4.
5.
1.
2.
3.
pi 0.2 0.5 0.2 0.1
Найти математическое ожидание, дисперсию (двумя способами) и среднее квадратичное
отклонение величины Х.
2x

 f ( x) 
при 0  x  5
Плотность распределения случайной величины Х 
. Найти
25
 f ( x)  0 при x  0, x  5
функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что
случайная величина примет значение в интервале от 0 до 3.
Ошибка радиодальномера подчинена нормальному закону. Математическое
ожидание этой ошибки равно 5 м а среднее квадратичное отклонение равно 10 м. Найти
вероятность того, что измеренное расстояние будет отклоняться от истинного не более, чем
на 20 м.
ВАРИАНТ 2.
В первой из двух студенческих групп учатся а юношей и в девушек, во второй с
юношей и d девушек. Из каждой группы наугад вызывается по одному студенту.
Какова вероятность, что это будут юноши?
Студент может сдавать экзамен любому из трех экзаменаторов. Вероятность сдать
экзамен первому из них составляет 0.4, остальным двум по 0.1. Студент не знает, кто из
экзаменаторов «добрый». Он выбрал наугад одного из них и сдал экзамен. Какова
вероятность, что студент сдавал экзамен «доброму» преподавателю?
Даны ряды распределения дискретных случайных величин Х и У:
2
3
хi 1
pi 0.1 0.3 0.6
yi
-2
-1
0
pi 0.6 0.3 0.1
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение
величины Z=X+Y.
4. Случайная
величина
Х
задана
функцией
распределения


F ( x)  0 при x  0


.
Найти
коэффициент
a,
плотность
 F ( x)  a (1  cos 2 x) при 0  x 
2



F ( x)  1 при x 

2
распределения, математическое ожидание и дисперсию.
5. Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, математическоое
ожидание равно 10, а среднее квадратичное отклонение равно 2. Найти вероятность
того, что случайная величина примет значение, заключенное в итервале от 12 до 14.
ВАРИАНТ 3.
1.
В студенческой группе из 30 человек, 8 человек никогда не пили пива, 14 – никогда
не читали Шекспира, а 5 человек и пили пиво и читали Шекспира. Что более вероятно:
встретить читавшего Шекспира среди тех, кто никогда не пил пива или пившего пиво
среди тех, кто никогда не читал Шекспира?
2.
В сказке Иван-царевич должен трижды угадать Василису Премудрую среди ее
совершенно одинаковых одиннадцати сестер. Какова вероятность, что Иван-царевич
справится с испытанием без подсказок?
3.
Дан ряд распределения дискретной случайной величины Х:
хi 100 150 200 250 300
pi 0.4 0.3 0.2 0.05 0.05
Найти математическое ожидание, дисперсию (двумя способами) и среднее квадратичное
отклонение величины Х.
 f ( x)  0 при x  0, x  
4.
Плотность распределения случайной величины Х 
.
 f ( x)  A sin x при 0  x  
Найти коэффициент А, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и

вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале от 0 до .
2
5.
Найти вероятность того, что нормальная случайная величина с математическим
ожиданием равным 1 и средним квадратичным отклонением, равным 4, примет значение,
меньшее 0 но большее –5.
ВАРИАНТ 4.
В книге И. Ильфа и Е. Петрова «12 стульев» 300 страниц. Чему равна вероятность
того, что открытая наугад страница будет иметь номер, кратный 7?
2.
Студент сдает в сессию три экзамена. Вероятность воспользоваться шпаргалкой на
первом, втором и третьем экзамене равна соответственно, 0.4, 0.5, 0.7. Найти
вероятность того, что на всех экзаменах студенту удастся списать.
3.
Даны ряды распределения дискретных случайных величин Х и У:
2
хi 1
1.
pi 0.2 0.8
yi
0.5
1
pi 0.3 0.7
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины
Z=X-Y.
4.
Случайная
величина
F
(
x
)

0
при
x
 2


x 1
при  2  x  2 .
 F ( x)  
4 2

F ( x)  1 при x  2

Х
Найти
задана
коэффициент
функцией
a,
плотность
распределения
распределения,
математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что случайная величина примет
значение в интервале от 0 до 1.
5.
Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайные
ошибки измерения подчиняются нормальному закону со средним квадратичным
отклонением, равным 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет проведено с
ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.
ВАРИАНТ 5.
В организацию внедрились три секретных агента, работающие независимо друг от друга.
Вероятность того, что в течение года секретный агент будет разоблачен, для первого агента
равна 0.9, для 2-го равна 0.8, для 3-го агента равна 0.85. Найти вероятность того, что в
течение года будет выявлен хотя бы один секретный агент.
2.
Грибник заблудился в лесу и вышел на поляну, откуда вело 5 одинаковых дорог.
Вероятности выхода из леса за 1 час для различных дорог равны соответственно: 0.6, 0.3,
0.2, 0.1, 0.1. Какова вероятность того, что человек пошел по первой дороге, если в течение
часа он вышел из леса?
3.
Дан ряд распределения дискретной случайной величины Х:
3 10 15
хi 2
pi 0.2 0.3 0.2 0.3
1.
Найти математическое ожидание, дисперсию (двумя способами) и среднее квадратичное
отклонение величины Х 2 .
 f ( x)  ax 2 при 0  x  2
4.
Плотность распределения случайной величины Х 
. Найти
 f ( x)  0 при x  0, x  2
коэффициент а, функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и
вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале от 0 до 0.5.
5. На станке изготавливается деталь, длина которой представляет собой случайную величину,
распределенную по закону Гаусса и имеет среднее значение 20 см и дисперсию, равную 0.2
см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19.7 см и 20.3 см.
ВАРИАНТ 6.
1.
12 студентов получили дисциплинарные выговоры в деканате: трое – за опоздание
на занятия, трое – за прогулы, двое – за неуспеваемость и четверо – за курение в здании
факультета. Найти вероятность того, что двое случайно выбранных штрафников
получили выговор за одно и то же нарушение.
2.
Группа студентов состоит из 3 отличников, 6 хорошо успевающих студентов и 5 –
занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только
«отлично», хорошисты - «отлично» и «хорошо», слабые студенты могут с равной
вероятностью получить «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно». Для
сдачи экзамена наугад вызывается один студент. Найти вероятность получения им
«отлично» или «хорошо».
3.
Даны ряды распределения дискретных случайных величин Х и У:
2
4
хi 0
pi 0.1 0.3 0.6
yi
2
1
0
pi 0.6 0.3 0.1
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение
величины Z=X+Y.
4.
Случайная
величина
Х
задана
функцией
распределения
F ( x)  0 при x  3


1
x 1
Найти
плотность
распределения
и
при  3  x  3 .
 F ( x)  arcsin 

3 2

F ( x)  1 при x  3

математическое ожидание случайной величины.
5.
На ткацком станке нить обрывается в среднем 0.375 раза в течение часа работы.
Используя распределение Пуассона найти вероятность того, что за смену (8 часов) число
обрывов нити будет не менее двух и не более четырех.
ВАРИАНТ 7.
1.
Из 30 экзаменационных билетов студент выучил 23. На экзамене он берет билет
первым. Какова вероятность, что ему попадется билет, который он знает? Какова будет
эта вероятность, если студент пришел на экзамен последним и тянет последний
оставшийся билет?
2.
Два охотника преследовали медведя и независимо друг от друга сделали в него по
одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0.8, для второго –
0.4. Медведь был убит, но в нем были обнаружены следы только одного выстрела.
Охотники поспорили, кому из них должен принадлежать трофей. У кого из них больше
шансов украсить гостиную медвежьей шкурой?
3.
Даны ряды распределения дискретных случайных величин Х и У:
2
хi 0
pi 0.5 0.5
yi
5
1
pi 0.3 0.7
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины
Z=XY.
 F ( x)  0 при x  0

4.
Функция распределения случайной величины Х 
. Найти
x2
F
(
x
)

при
x

0

1  x2
плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что
случайная величина примет значение в интервале от 1 до 2.
5.
Найти среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, распределенной
равномерно на интервале от 2 до 8.
ВАРИАНТ 8.
Поручик Ржевский знакомится только с блондинками. Но в среднем только 20 %
блондинок натуральные, остальные – крашеные. Из 25 знакомых блондинок поручик
случайным образом выбирает трех, с которыми идет вечером в театр. Найти
вероятность того, что две из окажутся натуральными а одна – крашеной.
2.
У рыбака есть три любимых места для ловли, которые он посещает с равной
вероятностью. На первом месте рыба клюет с вероятностью 0.5, на втором – с
1.
вероятностью 0.6, на третьем – с вероятностью 0.55. Рыбак, выйдя на ловлю, закинул
удочку и поймал рыбу. Какова вероятность, что он удил рыбу на третьем месте.
3.
Дан ряд распределения дискретной случайной величины Х:
9 10
хi -2 3
pi 0.2 0.3 0.2 0.3
Найти математическое ожидание, дисперсию (двумя способами) и среднее квадратичное
отклонение величины Х.
4.
Случайная величина Х задана функцией распределения
 F ( x)  0 при x  0

x2
при 0  x  2 . Найти плотность распределения, математическое ожидание,
 F ( x) 
4

 F ( x)  1 при x  2
дисперсию.
5. Найти вероятность того, что нормальная случайная величина с математическим
ожиданием, равным 1, и дисперсией, равной 4, примет значение меньшее 0 но большее
–5.
ВАРИАНТ 9.
1. В коллективе 40 % сотрудников принадлежат к партии любителей пива, и 20 %
принадлежат к партии зеленых, причем 10 % являются одновременно членами обеих
этих партий. Остальные сотрудники беспартийные. Найти вероятность того, что наугад
выбранный работник будет партийным.
2. Вероятность рождения мальчика равна 0.515. Найти вероятность того, что среди 12
новорожденных будет 10 девочек.
3. Даны ряды распределения дискретных случайных величин Х и У:
4
5
хi 0
pi 0.1 0.1 0.8
yi
2
1
0
pi 0.6 0.3 0.1
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение
величины Z=X+Y.
4. Функция
распределения
случайной
величины
задана
 F ( x)  0, при x  0

выражением F ( x)  ax 2 при 0  x  1 . Найти параметр a , плотность вероятности,
 F ( x)  1 при x  1

вероятность попадания случайной величины на промежуток (0.25 – 0.5).
5. Случайная величина равномерно распределена по отрезку от 0 до 10. Вычислить
математическое ожидание случайной величины и ее дисперсию.
1.
ВАРИАНТ 10.
Для прохождения педагогической практики студентам (30 человек) предоставлено 15
мест в Екатеринбурге, 8 мест в Первоуральске и 7 мест в Алапаевске. Найти
вероятность того, что две подруги окажутся на практике в одном городе.
Вероятность того, что студент выполняет домашние задания, равна 0.96. На экзамене
такой студент получает положительную оценку с вероятностью 0.98, а студент, не
делавший домашних заданий – с вероятностью 0.05. Какова вероятность, что студент,
хорошо сдавший экзамен, не выполнял домашних работ?
3. Дан ряд распределения дискретной случайной величины Х:
6 10 15 20
30
хi 5
2.
pi 0.2 0.5 0.1 0.1 0.05 0.05
Найти математическое ожидание, дисперсию (двумя способами) и среднее квадратичное
отклонение величины Х.
4.
Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью



 f ( x)  aсosx при  2  x  2



 f ( x)  0 при x   , x 
2
2

. Найти функцию распределения, математическое ожидание,
дисперсию и вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале от 0

до .
4
5.
Найти вероятность того, что нормальная случайная величина с математическим
ожиданием равным 3 и дисперсией, равной 1, примет значение, меньшее 3.5 но большее
0.5.