Лекция 3. Кооперативные игры Кооперативная игра

Лекция 3. Кооперативные игры
Кооперативная игра – это игра n игроков, которые
могут объединяться в группы для максимизации
выигрыша.
I  1,2,..., n - множество игроков
K  I - коалиция
K - количество игроков в коалиции
vK  - функция, определенная на множестве всех
коалиций, принимающая числовое значение,
являющееся максимальным гарантированным
выигрышем коалиции, называется
характеристической функцией
Система I, v - классическая кооперативная игра.
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
1
Лекция 3. Кооперативные игры
Записать характеристическую функцию игры:
Пример 8. Увлеченный, но не забывающий о хлебе
насущном биохимик Иосиф Брауль (игрок 1)
изобрел новое лекарство. Он не может
самостоятельно наладить производство этого
лекарства, но может продать рецептуру этого
лекарства одной из фирм – «ХемикЛимитед» (игрок
2) или «НьюМедКомпани» (игрок 3). Компания,
приобревшая рецептуру, получает прибыль 1 млн. $,
часть которой получит изобретатель.
I  1,2,3 v1  v2  v3  v2,3  0
v1,2   v1,3  v1,2,3  1000000
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
2
Лекция 3. Кооперативные игры
Записать характеристическую функцию игры:
Пример 9 . Игра "джаз - оркестр". Владелец ночного клуба в
Париже обещает $ 1000 певцу, пианисту и ударнику (игроки 1,2
и 3) за совместную игру в его клубе. Совместное
выступление певца и пианиста он оценивает в $ 800, ударника и
пианиста - в $ 650, а одного пианиста - в $ 300. Певец и ударник
вместе зарабатывают $ 500 за вечер на одной станции метро, сам
певец зарабатывает $ 200 за вечер в открытом кафе.
Ударник один ничего не может заработать.
I  1,2,3
v1  200, v2   300, v3  0, v1,2  800
v1,3  500, v2,3  650, v1,2,3  1000
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
3
Лекция 3. Кооперативные игры
Свойства характеристической функции :
1) персональность: v  0
т.е. коалиция, которая не содержит ни одного игрока,
ничего не выиграет;
2) супераддитивность:
vK  L  vK   vL K , L  I , K  L  
3) выпуклость:
vK  L  vK  L  vK   vL K , L  I
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
4
Лекция 3. Кооперативные игры
Игры <I,v> и <I,v  > называются аффинно эквивалентными, если
найдутся положительное число k и произвольные
действительные числа ai такие, что для любой коалиции K
выполняется равенство:
vK   k vK    ai
iK
Игра <I,v> называется существенной, если
K  I L  I : K  L  
vK   vL  vK  L
В противном случае игра называется несущественной.
Игра <I,v> называется простой, если ее характеристическая
функция принимает только два значения 0 или 1.
Игра <I,v> называется 0-1-редуцированной, если
vi   0 i  I и vI   1 .
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
5
Лекция 3. Кооперативные игры
Исход в кооперативной игре – это распределение общего
выигрыша между игроками, т.е. дележ.
Дележом в игре <I,v> называется вектор x  x1 ,..., xn  , который
удовлетворяет условиям:
1) xi  vi  i  I
2)
x
iI
i
 v I 
Система неравенств определяет множество всех дележей игры.
Дележ из примера 8:
x  300000, 0, 700000
Дележ из примера 9:
x  350, 450, 200
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
6
Лекция 3. Кооперативные игры
Построить множество всех дележей игры «Джаз-оркестр»
(пример 9)
 x1  x2  x3  1000
 x  200
 1

 x2  300
 x3  0
 x3  1000  x1  x2
 x  200
 1

 x2  300
 x1  x2  1000
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
7
Лекция 3. Кооперативные игры
Доминирование дележей
В игре <I,v> рассмотрим 2 дележа
x  x1 ,..., xn  и
y   y1 ,..., yn 
Пусть существует коалиция K, состоящая более,чем из одного
игрока и не содержащая всех игроков, т.е. 1  K  I , для
которой выполняются два условия:
1)
x
iK
i
 v K 
2) xi  yi
i  K
Тогда говорят, что дележ y доминируется дележом x по
коалиции K:
K
x y
В примере 9 x  350,450,200 K={1,2} y  300,400,300
{1, 2}
x  y
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
8
Лекция 3. Кооперативные игры
С-ядро кооперативной игры <I,v> - это множество всех
недоминируемых дележей.
Дележ x  x1 ,..., xn  принадлежит С-ядру тогда и только тогда,
когда выполняется система линейных неравенств:
x
С-ядро в примере 9:
 x1  200
 x  300
 2
 x3  0

 x1  x2  800
 x1  x3  500

 x2  x3  650
О.Д. Кичмаренко
iK
i
 v K 
 x1  200
 x  300
 2
 x1  x2  1000

 x1  x2  800
 x2  500

 x1  350
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
9
Лекция 3. Кооперативные игры
Ллойд Стауэлл Шепли
(Lloyd Stowell Shapley)
(02.06.1923)
Лауреат Нобелевской
премии по экономике, 2012
совместно с Элвином Ротом
- за вклад в теорию
устойчивого
распределения и
практику моделирования
рынка.
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
10
Лекция 3. Кооперативные игры
Вектор Шепли кооперативной игры <I,v> - это справедливый
дележ, который учитывает ценность каждого игрока в
коалиции.

Sh
i
x


K : iK

x Sh  x1Sh ,..., xnSh вычисляются по
Компоненты дележа Шепли
формуле:
n  K ! K
n!
 1!
vK   vK \ i
суммирование производится по всем коалициям, содержащим
игрока і
K - количество игроков в коалиции К
K \ 
i - коалиция К без игрока і
n ! 1 2  ...  n – факториал числа n
– произведение всех чисел от 1 до n
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
11
Лекция 3. Кооперативные игры
Построить вектор Шепли кооперативной игры «Джаз-оркестр»
(пример 9)
Первый игрок состоит в коалициях {1}, {1,2}, {1,3},{1,2,3}
x1Sh 
3  1!1  1! 200  0  3  2!2  1! 800  300 
3!
3!
3  2!2  1! 500  0  3  3!3  1! 1000  650 

3!
3!
2 * 200  500  500  2 * 350

 350
6
Аналогично вычисляются компоненты вектора Шепли для
второго и третьего игрока: x Sh  475
x Sh  175
2
3
x Sh  350,475,175
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
12
Лекция 3. Кооперативные игры
Пример 10 . Распределения затрат между членами кооператива.
N потребителей должны построить хранилища для жидкого
топлива. Расходы на строительство - некоторая возрастающая функция от
объема хранилищ, а в моменты времени t1,t2,…,tm потребности каждого
потребителя в топливе заданны функцией
. Принимать топливо в
хранилища fможно
в промежутках между потреблением. Тогда объем
i (t )
хранилищ, удовлетворяющий всех потребителей, равен
n
max fможет
Каждый потребитель топлива
объединится с любым

i (t )
i
i 1
другим для построения общего хранилища. Если образуется коалиция, то
объем хранилища составит
, а затраты на его строительство
составят
.
.
max f i (t )


 iK i
F   max f i (t ) 
 iK i количество

Нужно определить
хранилищ и коалиции, которые их будут
строить, а также распределить затраты на сооружение хранилищ между
членами коалиции.
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
13
Лекция 3. Кооперативные игры
Пусть потребителей – три.
Характеристическая функция - затраты, которые понесет каждая
коалиция при совместном строительстве хранилища.
v1  2, v2   3, v3  2,5, v1,2   4
v1,3  3,9, v2,3  5, v1,2,3  6
Компоненты вектора Шепли:
 28 49 43 
xSh

 , , 
1, 2 , 3
 20 20 20 
Рассмотрим «подыгры», в которых количество игроков два, и посчитаем
компоненты вектора Шепли для этих игр.
Sh
1, 2
x
3 5
 , 
2 2
Sh
1, 3
x
 17 22 
 , 
 10 10 
Sh
2 , 3
x
 11 9 
 , 
 4 4
Каждый из игроков при участии в подъигре несет значительно большие
затраты, чем при сотрудничестве втроем.
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
14
Лекция 3. Кооперативные игры
Пример 11 . Корпорация акционеров.
Рассматривается корпорация из четырех акционеров, имеющих акции
соответственно в следующих количествах: a1 = 10, a2 = 20, a3 = 30, a4 = 40.
Любое решение утверждается акционерами, имеющих в сумме строгое
большинство акций. Принятое решение - выигрыш, равным 1, если
решение не принято, выигрыш 0.
1 2 3 4
 , , , 
 10 10 10 10 
{2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4},{2, 3 , 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4} – выигрышные
коалиции, остальные объединения акционеров не являются решающими,
т.е. их выигрыш равен нулю.
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
15
Лекция 3. Кооперативные игры
Построим вектор Шепли для этой игры.
Для первого игрока есть только одна коалиция K = {1, 2, 3}, которая
выигрывает, а коалиция K \ {1} = {2, 3} не выиграет, поэтому
x1Sh 
4  3!3  1! 1  0  2!1! 
4!
4!
1
12
Для второго игрока {2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4},{2, 3 , 4}, {1, 2, 3, 4} –
выигрышные, но {2, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4} без 2 игрока – невыигрышные:
.
4  2 !2  1!  4  3!3  1!  4  3!3  1!  1  1  1  3
x2Sh 
4!
4!
4!
12 12 12 12
Аналогично получаем
x3Sh 
3
12
x4Sh 
5
12
1 3 3 5
x Sh   , , , 
 12 12 12 12 
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
16
Лекция 3. Кооперативные игры
Выводы:
 Кооперативная игра – моделирует
выбор коалиции.
 Решение кооперативной игры
указывает на множество наилучших
способов раздела совместного
выигрыша.
 Решение кооперативной игры в форме
вектора Шепли позволяет рассчитать
справедливый дележ.
 Простая кооперативная игра – модель
деления власти.
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
17
Выводы:
 Матричные и биматричные игры – моделируют
конфликт, в котором игроки не могут вступать в
переговоры – т.е. это бескоалиционные игры.
 Матричные и биматричные игры – это
стратегические игры, т.к. целью их решения
является определение наилучших стратегий .
 Равновесие по Нэшу, которое обосновано для
всех бескоалиционных игр, обладает
противоречием: равновесная ситуация не всегда
является выгодной.
 Кооперативные игры моделируют выбор
коалиции и распределение выигрыша между
игроками.
О.Д. Кичмаренко
Теория игр: моделирование и решение конфликтных ситуаций
18
Дополнительные сведения

Н.Н.Воробьев Теория игр: Лекции для экономистов кибернетиков. – Л.: ЛГУ, 1974. – 272 с.

Оуен Г. Теорія игр. – М., 2004. – 216 с.

Крушевский А.В. Терия игр. – К.: Вища школа, 1977. – 216 с.

Васин А.А., Морозов В.В. Теорія игр и модели математической
экономики. – М., 2005 г. – 272 с.

Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр М.: Наука, 1981. - 336 с.

Карлин С. Математические методы в теории игр,
программировании и экономике М.: Мир, 1964. – 838 с.

Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. - М.: Мир, 1974
Спасибо за внимание!