Элементы теории перколяции Аппроксимация эффективной среды J Когда все связи одинаковы и проводимости их ik=m , то k l k l z sh m 1 2 2J J , zm m sh 2J ikl , z Если проводимости ik всех связей разные, то нужно усреднить выражение ikl J ikl , kl sh ikl J kl kl sh 1 Считая, что по-прежнему и ikl получим 2 kl z kl m z 1 2 d=2 kl= 1 or 1/2 0.6 m sh m z 1 2 2J , z d=3 0.8 kl= 1 or 0 0.4 0.2 0 d=2 d=3 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1 Проблемы аналитических решений перколяционных задач Ниже порога x < xc n1 x (1 x ) 4 x sns n2 2 x 2 (1 x )6 n3 2 x (1 x ) 4 x (1 x ) 3 n=4 8 3 7 s n=5 n=6 Два типичных типа перколяционных задач: 1. Определение порогов. Аналитические решения существуют только для размерностей d=1,d= и нескольких конкретных задач с размерностью d = 2 . 2. Поведение функций вблизи порога (определение критических индексов) Пример: Мощность бесконечного кластера P(x) 1 P(x ) x sns x xc s 0 x xc P(x) 0 xc x 1 x= 0.58 < xc x= 0.60 xc Перколяция в задаче узлов x= 0.62 > xc на квадратной решетке 160160 Из книги J. Feder, Fractals (Plenum Press, 1988) Есть русский перевод Дж. Федер, Фракталы, 1991) Перколяционные пороги для типичных решеток Is и Ib эмпирические инварианты, Ib d /(d1) Увеличение числа ближайших соседей (рост радиуса взаимодействия) = 3 Каждый узел связан с тремя слоями ближайших соседей. В кластер входит 4 узла = 4 Каждый узел связан с четырьмя слоями ближайших соседей. В кластер входит 7 узлов Перколяция в системе случайных узлов 3D П р о с т а я к у б и ч е с к а я О б ъ е м н о Г р а н е ц е н т р и р о в а н н а яц е н т р и р о в а н н а я Ч и с л о 1 2 3 1 2 3 1 2 3 с л о е в Ч и с л о z 8 2 6 8 1 42 6 1 8 4 2 21 с о с е д е й 6 1 К о н ц е н т р .0 .3 10 .1 40 .0 90 .1 90 .1 40 .0 6 .1 00 .2 50 .1 80 x c zx c 1 .8 42 .4 52 .4 71 .8 42 .4 52 .5 2 .5 21 .9 42 .4 52 Когда радиус взаимодействия r много больше периода решетки, существенно лишь количество узлов внутри этого радиуса, т.е. 4 3 r N (N - концентрация), 3 а их взаимное расположение (симметрия решетки) несущественно. 4 3 r N c Bc( 3) 2.7, 3 r 2 N c Bc( 2 ) 4.4 Континуальные задачи U min U (r) U max , U (r) 0 S1 + S2 =1 Для размерности d = 2 на пороге S1 S2 S1 = S2 =1/2 Функция U(r) предполагается статистически симметричной относительно преобразования U U и статистически изотропной Окрестность перколяционного перехода Статфункции концентрации открытых узлов Вспомогательные функции q(r,x) вероятность того, что узел на расстоянии r от открытого узла тоже открыт и принадлежит тому же конечному кластеру q(0)=1, q(a)=x w(s,x) вероятность того, что открытый узел принадлежит к конечному кластеру с s узлами Основные функции Мощность бесконечного кластера P(x); Среднее число узлов конечного кластера S(x); S ( x ) q( r ) sw( s ) r 2 s s ns s sn s P(xс)= 0 S(xс)= s x(xс) = Корреляционная длина x(x); x2 ( x ) sns w( s ) s sns 2 r r q(r ) q( r ) r 2 r r q(r ) S ( x) Основной постулат : В окрестности перколяционного перехода P, S и x степенные функции разности | x xc | P ( x ) ( x x c ) , S ( x ) | x xc | x ( x ) | x xc | x > xc Критические индексы и одинаковы по обе стороны порога Значения критических индексов P x S d=2 5 /36 4 /3 43 /18 d=3 0 .4 1 7 0 .8 7 5 1 .7 9 5 Аналогия с фазовыми переходами второго рода Концентрация Мощность бесконечного кластера Р x Получены аналитически Получены численно х Температура Т Параметр порядка Корреляционная длина x Электропроводность бесконечного кластера вблизи порога Токонесущий остов и мертвые концы в бесконечном кластере вблизи порога протекания J. Feder, Fractals (Plenum Press, 1988) Есть русский перевод Дж. Федер, Фракталы, 1991) Из книги Задача: Найти сопротивление простой кубической решетки, связи в которой имеют сопротивления в экспоненциально большом интервале значений R R0eu , 0 u u0 , u0 >> 1, u случайная величина, с вероятностью F(u)=const=1/u0 принимающая любые значения из разрешенного интервала. Постепенно включаем связи, начиная с самых высокопроводящих (u=0) до тех пор, пока при некотором uc uc uc x F (u)du xc , u0 0 uc xcu0 ( 0.25u0 ). Чтобы по бесконечному кластеру пошел ток, порог xc должен быть превышен на Dx = xxc= Du/u0 . Корреляционная длина при этом конечна u x a 0 Du x Токонесушая структура перколяционного кластера имеет вид сетки (двумерной или трехмерной) с размером ячейки x и с сопротивлением между двумя узлами порядка Rx R0 exp( uc Du ) Удельное сопротивление такой 3D сетки Du u0 uc ν e Rxx R0 exp( uc Du) a R0ae u0 D u ( Du) имеет минимум при Du = 0.875,так что (e / = 2.7 и 2.7 R0ae u 2.7 R0ae uc ν 0 u0 4 u00.875