В9-геом-смысл

Найти тангенс угла α из прямоугольного
треугольника?
b
tg 
a

c
b
a
Тангенс угла – это
отношение противолежащего катета
к прилежащему:
Что такое производная?
Если существует предел отношения
приращения функции к приращению
аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю, то он называется
производной данной функции в точке.
y
f ( x0 )  lim
x 0 x
Задача о касательной
M0M1 - секущая
y
y0+∆y
y=f(x)
M1
T
∆y
M0 α
C
y0
α
φ
0 x0 ∆x x0+∆x
y
 tgφ
x 0 x
f ( x0 )  lim
x
M0T - касательная
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной
точке равна угловому коэффициенту
касательной, проведённой к графику
функции в этой точке.
f ( x )  tg   k
k – угловой коэффициент касательной
(прямой)
y  kx  b
для дифференцируемых функций : 0° ≤ α ≤180°, α ≠ 90°
α = 90°
tg α не сущ.
f ´(x) не сущ.
α - тупой
tg α < 0
f ´(x) < 0
α – острый
tg α >0
f ´(x) >0
α=0
tg α =0
f ´(x) = 0
На рисунке изображен график функции y=f(x)
и касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной в точке x0.
- острый
tg α>0 f '(x0)>0
y
y=f(x)

x0 0
tg α = 3/3 =
= 1 = f '(x0)
1
1
x
Пример
Найдите угловой коэффициент касательной,
проведенной к графику функции y  cos 2 x в
точке с абсциссой x0 

4
Решение
f ( x )  tg   k
y  (cos 2 x )   sin 2 x  2 x  2 sin 2 x
k
=


y( )  2 sin( 2  )  2
4
4
Угловой коэффициент касательной
равен -2 .
Пример
Найдите абсциссу точки x0 , в которой
касательная к графику функции y  ln( 1  5 x)
имеет угловой коэффициент равный  1.
ООФ: 1-5x>0
Решение
f '(x₀) = tg α = к
1
5
5
y 
(1  5 x)  

1  5x
5x  1 5x  1
Получаем уравнение:
5
 5 x  1;
1
 4  5 x;
x=-0,8 входит ООФ
=
x  0,8
x0 = -0,8
Пример
Найдите абсциссу точки x0 , в которой
касательная к графику функции y  5  2 x
наклонена под углом 1350
ООФ: 5  2x  0
Решение
f ´(x₀) = tg α = к  tg135  1
1
1
y 
(5  2 x) 
2 5  2x
5  2x
0
Получаем уравнение:
1  5  2 x ; 1  5  2 x;
x=2 входит ООФ
=
x2
x0 = 2
Задача о скорости
∆S
0
S0
S0+∆S
v( t 0 )  lim vср.
t 0
s
s
 lim
t 0 t
Физический смысл производной
Скорость тела в данный момент времени
равна производной расстояния по времени
в точке t 0
v( t0 )  s( t0 )
Пример
Материальная точка движется по закону
4 2 t
2
S (t )  е
 2t  1
Найдите скорость точки в момент времени
t  2 с.
Решение
v( t0 )  s( t0 )
4 2t
S ( t )  2е
 4t
4  22
V ( 2 )  S ( 2 )  2е
 42  6
(м/с)
Пример
Материальная точка движется по закону
9 2
S (t )  t  7t  6
2
(м)
Найти
В какой момент времени (t) скорость точки
будет равна 12,8 м/c ?
Решение
S (t)  V(t)
Найти
S (t )  9t  7  V (t )
V (t )  12,8
9t  7  12,8
9t  19,8 t = 2,2 (с).
Пример
Прямая пересекает ось абсцисс при x  4 ,
касается графика функции y  f (x) в точке
А(1;9). Найдите y  f (1)
y
1 x y=f(x) 4
0
0 1
-9
А(1;-9)

.Решение
 острый
tg α >0 f '(x0)>0
x
Противолежащи
й катет равен 9,
прилежащий
катет равен 3.
tg α = 9/3 =
= 3 = f '(1)
Пример
Функция y  f (x) определена на промежутке
(1;7) . Используя изображенный на рисунке график
производной y  f (x) , определите количество
касательных к графику функции y  f (x)
которые составляют угол 600 с положительным
направлением оси Ox.
y
Решение
tg α = tg 600 =
y=f '(x)
3 = f '(x)
1<
3<2
=
3
1
0 1
3 точки
x
Функция y  f (x) определена на промежутке (3;5)
На рисунке изображен график производной этой функции.
К графику функции провели касательные во всех точках,
абсциссы которых - целые числа. Укажите количество
точек графика функции, в которых проведенные
касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.
y
K<0
y=f '(x)
f '( x0 ) < 0
3 точки
0 1
x
Пример
1
y
1
-1 0 1
f '(x₀) = к
y=f '(x)
x
Пример
Функция y  f (x) определена на промежутке (3;5)
На рисунке изображен график производной этой функции.
Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику
функции y  f (x) имеет наибольший угловой коэффициент.
наибольшее
значение
Абсцисса равна
-1
yк = f( x0 ) + f '( x0 )·( x - x0 )
y
1
y=f(x)
0 1 x0
x
Значение
производной
в точке x0
Значение функции
в точке x0

y
1
x0
0 1
=0
Пример
На рисунке изображен график функции y=f(x) и
касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите
значение производной в точке x0.
tg α = 0
f '(x0) = 0
x Касательная
параллельна
оси ОХ.
Пример
На рисунке изображен график функции y=f(x) и
касательная к нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной в точке x0.
 тупой
y
tg α<0, f '(x0)<0
3
y=f(x)
1
0 1
tg α = - tg β
β
x
2 0
tg α = - 3/2 =
= - 1,5 = f '(x0)

x
y=f(x):
1. Обозначить абсциссу точки касания
буквой a.
2. Вычислить f(a).
3. Найти f ′(x) и вычислить f ′(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a),
f ′(a) в формулу
y= f(a)+ f ′(a)(x-a)
Пример
Напишите уравнение касательной к графику
функции f ( x)  x 4  2 x 2 в точке с абсциссой x0  2.
Решение
yк = f( x0 ) + f '( x0 )·( x - x0 )
f ( x)  4 x  4 x
4
2
f ( 2 ) = 2  2  2  16  8  8
3
f '( 2 ) = 4  2  4  2  32  8  24
3
yk  8  24  ( x  2)
yк = 24 x - 40