Элементы векторной алгебры

Элементы векторной алгебры
Кафедра высшей
математики
ТПУ
Лектор:
доцент
Тарбокова Татьяна
Васильевна
§ 6. Векторы. Линейные операции на
множестве векторов
1. Определение вектора. Основные отношения
на множестве векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется направленный
отрезок (т.е. отрезок, у которого одна из
ограничивающих его точек принимается за начало, а
вторая – заAB
конец).
Обозначают:
(где A – начало вектора, а B – его конец),
a ,b
и т. д.
Изображают:
a
A
B
Расстояние от начала вектора до его конца называется
длиной (или модулем) Обозначают:
вектора.
AB или a .
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется
нулевым. Обозначают: 0 .
Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет
длину, равную нулю.
Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых,
называются коллинеарными (параллельными).
Записывают: a
b – если векторыa bи
коллинеарные, и
a b – если a иb
неколлинеарные.
Если векторы AB и CD – коллинеарные и их концы лежат
по одну сторону от прямой, соединяющей их начала (для
векторов лежащих на параллельных прямых) или один из
лучей [ AB ) или [CD) целиком содержит в себе
другой (для векторов, лежащих на одной прямой), то
векторы называются сонаправленными. В противном
случае
коллинеарные
векторы
называются
противоположно направленными.
Записывают: a  b – если векторыa
и b сонаправленные,
и a  b – еслиa , b противоположно направленные.
a
d
b
B
A
a b
N
D
P
c
C
AB CD
c
d

K
M
PK
MN 
Два вектора a
и b
называются равными, если они
сонаправлены и имеют одинаковую длину.
Записывают: a  b .
Все нулевые векторы считаются равными
Векторы a и b , лежащие на перпендикулярных прямых,
называются перпендикулярными (ортогональными).
Записывают: a  b .
Три вектора, лежащие в одной или в параллельных плоскостях,
называются компланарными.
2. Линейные операции на множестве
векторов
1) Умножение на число;
2) Сложение векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением вектора a  0
на число
  0 называется вектор, длина которого равна   a ,
а направление совпадает с направлением вектораa
при
  0 и противоположно ему при   0 .
Если a  0 или   0 , то их произведение полагают
равным 0 .
Обозначают:  a .
Частный случай: произведение (1) a .
a
Вектор (1) a называют противоположным вектору
и
обозначают  a .
ЛЕММА 1 (критерий коллинеарности векторов).
Два ненулевых вектора a иb коллинеарны тогда и только
тогда, когда a    b , для некоторого числа   0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (правило треугольника). Пусть даны два
вектора a
и b . Возьмем произвольную точку C
и
построим последовательно векторы CA  a и AB  b .
Вектор CB , соединяющий начало первого и конец второго
построенных векторов, называется суммой векторовa
и
b и обозначается a  b . a A
b
C
B
ab
ОПРЕДЕЛЕНИЕ (правило параллелограмма). Пусть даны два
вектора a и b . Возьмем произвольную точку C
и
построим векторы CA  a и CD  b . Суммой векторов
a и b будет вектор CB , имеющий начало в точке C и
совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного
B
на векторах CA  a и CD  b . A
ab
a
b
D
C
Частный случай: сумма a  (  b ) .
Сумму a  (  b ) называют разностью векторовa
обозначают a  b .
a
ab
b
и b и
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ
1) a  b  b  a (коммутативность сложения векторов);
2) ( a  b )  c  a  ( b  c ) (ассоциативность сложения
векторов);
3) a  0  a ;
4) a  (  a )  0 ;
5)  (  a )  ( ) a (ассоциативность относительно умножения
чисел);
6) (   ) a   a   a (дистрибутивность умножения на
вектор относительно сложения чисел);
7)  ( a  b )   a   b (дистрибутивность умножения на
число относительно сложения векторов);
8) 1a  a .
3. Понятия линейной зависимости и
независимости. Базис
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что векторы ā1, ā2, …, āk
линейно зависимы, если существуют числа 1,2, …,
k , не все равные нулю и такие, что линейная
комбинация
1 · ā1+2 · ā2+ …+ k · āk
равна нулевому вектору
ō
Если равенство 1 · ā1+2 · ā2+ …+ k · āk = ō возможно
только при условии 1=2= …=k=0, то векторы ā1,
ā2, …, āk называют линейно независимыми.
ЛЕММА 2. Векторы ā1, ā2, …, āk линейно зависимы тогда
и только тогда, когда хотя бы один из них линейно
выражается через оставшиеся.
Замечание. Часто в качестве определения линейно
зависимых векторов берут формулировку леммы 2.
Пусть V(3) (V(2)) – множество свободных векторов
пространства (плоскости).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Максимальное линейно независимое
множество векторов в V(3) (V(2)) называется базисом
этого множества.
Иначе говоря, векторы ā1, ā2, …, ān  V(3) (V(2)) образуют
базис в этом множестве если выполняются два условия:
1) ā1, ā2, …, ān – линейно независимы;
2) ā1, ā2, …, ān , ā – линейно зависимы для любого вектора
ā из V(3) (V(2)) .
ТЕОРЕМА 3. Любые два базиса множества V(3) (V(2))
состоят из одного и того же числа векторов.
ЛЕММА 4 (о базисе V(3) и V(2) ).
1) Базисом множества V(2) являются любые два
неколлинеарных вектора.
2) Базисом множества V(3) являются любые три
некомпланарных вектора.
СЛЕДСТВИЕ
(критерий
линейной
зависимости 2-х и 3-х ненулевых векторов).
1) Два ненулевых вектора линейно
зависимы тогда и только тогда, когда
они коллинеарны.
2) Три ненулевых вектора линейно
зависимы тогда и только тогда, когда
они компланарны
ТЕОРЕМА 5 (о базисе). Каждый вектор
множества V(3) (V(2)) линейно выражается
через
любой
его
базис,
причем
единственным образом.
4. Координаты вектора
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора
по базису называются координатами этого вектора в
данном базисе.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ координат свободных
векторов в декартовом прямоугольном базисе:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано
направление, называют осью.
Пусть  – ось, AB – некоторый
вектор, A1 и B 1 – ортогональные
проекции на ось  точек A и B
соответственно.
B
A
A1

B1
Вектор A1B1 назовем векторной проекцией вектора AB
ось  .
на
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией (ортогональной проекцией)
вектора AB на ось  называется длина его векторной
проекции A1B1 на эту ось, взятая со знаком плюс, если
вектор A1B1 и ось  сонаправлены, и со знаком минус –
если вектор A1B1 и ось  противоположно направлены.
Обозначают: Пр  AB , Пр  AB .
ТЕОРЕМА 6. Координаты вектора ā  V(2) (V(3)) в
декартовом прямоугольном базисе i, j (i, j, k) есть
проекции этого вектора на соответствующие
координатные оси.
ТЕОРЕМА 7.
1) Если вектор a имеет в базисе e1, e2 , e3 координаты
{1, 2 , 3} , вектор b имеет в том же базисе координаты {1 ,  2 ,  3} , то вектор a  b будет иметь в базисе
e1 , e2 ,e3 координаты
{1  1 ,  2   2 ,  3   3} .
2) Если вектор a имеет в базисе e1, e2 , e3 координаты
{1 ,  2 ,  3} , то для любого действительного числа
вектор  a будет иметь в том же базисе координаты
{ 1 ,  2 ,  3} .
ТЕОРЕМА 8 (критерий коллинеарности свободных векторов
в координатной форме).
Векторы a  {1;  2 ;  3 } и b  {1;  2 ;  3 } коллинеарны
тогда и только тогда, когда их координаты –
пропорциональны, т.е.
1 2 3

 k .
1 2 3
Причем, если коэффициент пропорциональности k > 0 ,
то векторы a и b – сонаправлены, а если k < 0 – то
противоположно направлены
ТЕОРЕМА 9 (связь координат вектора в разных базисах).
Пусть e1 , e2 ,e3 и f1 f,2 f3,
два базиса во множестве
V (3) . Причем имеют место равенства:
f1  11e1   21e2   31e3 ,
f 2  12 e1   22 e2   32 e3 ,
f3  13 e1   23 e2   33 e3 .
Если вектор a имеет в базисе e1, e2 , e3 координаты
{1, 2 , 3} , а в базисе f1, f2 , f3 – координаты {1,  2 , 3} ,
то справедливо равенство
A  TB ,
 1 
 1 
 11 12 13 
 
 


A    2  , B    2  , T   21  22  23 
где
 
 
   
 3
 3
 31 32 33 
(матрицу T
называют матрицей перехода от базиса
e1 , e2 ,e3 к базису f1, f2 , f3 ).
§7. Простейшие задачи векторной
алгебры
Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова
прямоугольная система координат. Выберем во
множестве V(3) (V(2)) декартов прямоугольный базис i, j,
k (i, j).
ЗАДАЧА 1. Найти координаты вектора AB , если известны
декартовы координаты начала и конца вектора.
y
O
A
B
x
ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его
координаты в декартовом прямоугольном базисе.
y
B
ay
A
O
ax
C
x
ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты
его орта.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом вектораa называется вектор a0 ,
сонаправленный с вектором a
и имеющий единичную
длину.
Геометрический смысл координат орта вектора
Будем обозначать через  ,  и
углы, которые векторa
образует с координатными осями Ox , Oy и Oz
соответственно.
cos , cos  , cos называются направляющими косинусами
a
вектора a .
a

1

x
x
B1
A1
Координаты орта вектора a являются его направляющими
косинусами.
Замечание. Так как a0  1 и a0   cos  ; cos  ; cos   , то
cos 2   cos 2   cos 2   1 .
Это равенство называют основным тождеством для
направляющих косинусов вектора.
ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти
координаты точки, которая делит отрезок в заданном
отношении.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что точка M 0
M1M 2 в отношении
делит отрезок
(  1) если M1M 0    M 0M 2 .
Если λ > 0 , то точка M0 лежит между точками M1 и M2. В этом
случае говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 во
внутреннем отношении.
Если λ < 0 , то точка M0 лежит на продолжении отрезка M1 M2.
В этом случае говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 во
внешнем отношении.
M1
r1
r0
O
M0
r2
M2
§8. Нелинейные операции на множестве
векторов
1. Скалярное произведение векторов
2. Векторное произведение векторов
3. Смешанное произведение векторов
1. Скалярное произведение векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением
двух ненулевых векторов a
и b
называется число, равное произведению их
модулей на косинус угла между ними, т.е.
число a  b  cos  .
Если a  0 или b  0 , то скалярное произведение векторов
a и b полагают равным нулю.
СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е.
(a, b )  (b, a )
2) Скалярное произведение ненулевых векторовa bи
равно
b
произведению длины вектора a
на проекцию вектора
b
на вектор a (длины вектораb
на проекциюa
на
).
( a , b )  a  Пр a b  b  Пр b a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией вектораa
на
вектор b называется проекция вектора
a на ось, определяемую векторомb .
a
b

3) Числовой множитель любого из двух векторов можно
вынести за знак скалярного произведения. Т.е.
( a , b )  ( a ,  b )   ( a , b )
4) Если один из векторов записан в виде суммы,
то их скалярное произведение тоже можно
записать в виде суммы. Т.е.
(a1  a2 , b )  (a1, b )  (a2 , b )
(a, b1  b2 )  (a, b1)  (a, b2 )
a1  a2
a1
a2
b
5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный
2
квадрат вектора) равно квадрату его длины. Т.е.
(a, a )  a
6) Ненулевые векторы a
иb
перпендикулярны тогда и
только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю
(критерий перпендикулярности векторов).
a
7) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы
имеют координаты: a  {ax ; a y ; az } ,b  {bx ; by ; bz } ,
то
( a , b )  axbx  a yby  az bz .
bи
(1)
Формулу (1) называют выражением скалярного произведения
через декартовы координаты векторов.
8) Если под действием постоянной силы F точка перемещается по прямой из точки M1 в M 2 , то работа силы F

будет равна A  F, M1M 2
го произведения).

(физический смысл скалярно-
2. Векторное произведение векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тройка векторовa b,
иc
называется правой, если поворот от
вектора a к вектору b на меньший угол
виден из конца вектора c против часовой
стрелки.
c
b
a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением двух ненулевых
векторов a
и b
называется вектор c ,
удовлетворяющий следующим условиям:
a
1) | c || a |  | b |  sin  , где  – угол между векторами
и b;
2) вектор c ортогонален векторамa
иb ;
3) тройка векторов a , b иc – правая.
Если хотя бы один из векторовa илиb нулевой, то их
векторное произведение полагают равным нулевому
вектору.
Обозначают [a, b] или a  b .
СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1) При перестановке векторов a
иb
их векторное
произведение меняет знак, т.е.
[a, b]  [b, a ] .
2) Числовой множитель любого из двух векторов можно
вынести за знак векторного произведения. Т.е.
[a, b]  [a ,  b]   [a, b] .
 [a, b] (   0 )
[a, b]
a (   0 )
b
a
[a, b]
b
a
a (   0 )
 [a, b] (   0 )
3) Если один из векторов записан в виде суммы, то
векторное произведение тоже можно записать в виде
[a1  a 2 , b]  [a1, b]  [a 2 , b] ,
суммы. А именно:
[a, b1  b2 ]  [a, b1 ]  [a, b2 ] .
4) Ненулевые векторы a иb коллинеарные тогда и только
тогда, когда их векторное произведение равно нулевому
вектору (Критерий коллинеарности векторов).
5) Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов a и b равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах (Геометрический смысл векторного произведения).
6) Если в декартовом прямоугольном базисе векторыa
bи
имеют координаты:a  {ax ; a y ; az } ,b  {bx ; by ; bz } , то
i j k
 a y az az ax ax a y 
[a, b ]  
;
;
  ax a y az .
b
b
b
b
b
b
x
y 
z
x
 y z
bx by bz
7) (Механический смысл векторного произведения). Если
вектор F это сила, приложенная к точке M , то
векторное произведение OM, F представляет собой
момент силы F относительно точкиO .


3. Смешанное произведение векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Смешанным произведением трех векторов
a, b
и c
называется число, равное скалярному
произведению вектора a
на векторное произведение
векторов b и c , т.е. ( a, [b, c ]) .
Обозначают: ( a, b, c ) или a bc .
СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ВЕКТОРОВ
1) При циклической перестановке векторовa b, c,
смешанное произведение не меняется, т.е.
( a, b, c )  ( b, c, a )  ( c, a, b) .
их
2) При перестановке любых двух векторов их смешанное
произведение меняет знак.
3) Числовой множитель любого из трех векторов можно
вынести за знак смешанного произведения. Т.е.
( a, b, c )  ( a, b, c )  ( a, b, c )   ( a, b, c ) .
4) Если один из векторов записан в виде суммы, то смешанное произведение тоже можно записать в виде суммы. А
именно: ( a1  a 2 , b, c )  ( a1, b, c )  ( a 2 , b, c ) ,
( a, b1  b2 , c )  ( a, b1, c )  ( a, b2 , c ) ,
( a, b, c1  c2 )  ( a, b, c1 )  ( a, b, c2 ) .
5) Ненулевые векторы a , b , c
компланарны тогда и
только тогда, когда их смешанное произведение равно
нулю (Критерий компланарности векторов).
[a , b]
c
c
b
b
a
рис. 1
a
рис. 2
6) Если ( a, b, c )  0 , то векторы a , b , c
образуют
правую тройку. Если ( a, b, c )  0 , то тройка векторов
a , b , c – левая.
[a , b ]
[a , b ]
c

b
a
рис. 3

b
a
c
рис.4
7) Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов a , b , c равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (Геометрический смысл смешанного произведения).
[a , b]
b
[a , b]
c
a
b
c
a
рис. 5
рис. 6
8) (Следствие свойства 7). Объем пирамиды, построенной на
1
a
c
векторах
, b ,
равен
модуля их смешанного
6
произведения.
9) Если в декартовом прямоугольном базисе векторыa b, ,
b  {bx ; by ; bz } ,
c имеют координаты:a  {ax ; a y ; az } ,
c  {cx ; c y ; cz } , то
ax a y az
( a, b, c )  bx by bz .
cx c y cz