Сума углов треугольника - Официальный сайт МБОУ "СОШ №20

СУММА УГЛОВ
ТРЕУГОЛЬНИКА
Токарева В.Н.,учитель математики МБОУ «СОШ №20 с УИОП»
Содержание
 Вспомним!
 Сумма углов треугольника («метод
ножниц»).
 Сумма углов треугольника.
 Практические задания №1
 Практические задания №2
 Практические задания №3
НАЗАД
Вспомним:
3
1
2
1=  2
 3= 4
4
далее
Вспомним:
2
1
3
1+  2+ 3=180°
развернутый угол
далее
Вспомним:
b
3
2
a
1
если a||b,
то 1=  2
и 1=  3
Сумма углов треугольника
(«метод ножниц»):
1. Разрежем данный треугольник
произвольными линиями:
2. Получим три угла:
3. Получившиеся три угла
образуют развернутый угол,
равный 180°
2

3
1
2
3
1
далее
Случайно ли получился такой
результат
или этим
свойством
обладает
любой
треугольник?
Сумма углов треугольника.
1. Дан треугольник АВС
2. Проведем прямую а,
параллельную стороне АС
3. 1= 4, 2= 5.
Сумма углов треугольника АВС:
1+2+3 =
= 5+4+3=180°.
4
1
А
Таким образом,
сумма углов треугольника равна 180°.
В
5
а
3
2
С
далее
Сумма углов треугольника.
1. Дан треугольник АВС
В
2. Отложим ВСЕ= 3,
следовательно AB||CE,
1=5
3. Углы 2, 3 и 5 образуют
развернутый угол, значит
1+2+3 = 180°.
E
3
3
1
А
Таким образом,
сумма углов треугольника равна 180°.
5
2
С
далее
D
Сумма углов треугольника.
Е
1. Дан треугольник АВС
В
2. Проведем прямую BD,
параллельную стороне АС,
следовательно 1= 5, 2= 4.
5
4
D
3
3. Углы 3, 4 и 5 образуют
развернутый угол, значит
1+2+3 = 180°.
1
А
Таким образом,
сумма углов треугольника равна 180°.
2
С
далее
Может ли треугольник
иметь:
два прямых угла;
два тупых угла;
один прямой и один
тупой угол ?
Обоснуй ответ .
Сделай вывод .
далее
Вывод:
В любом треугольнике либо
все три угла острые;
либо два угла острые,
а третий – тупой или прямой.
Задача №1.
Найти углы треугольника:
?
?
?
Решение
Задача №2.
Существует ли треугольник ABC,
у которого
A = 40°, B = 60°, C = 70°?
Решение
Задача №3.
Найти угол треугольника:
В
?
А
70°
С
Решение
Задача №4.
Найти углы треугольника:
В
100°
?
А
?
С
Решение
Задача №5.
Найти угол треугольника:
В
75°
?
А
40°
С
Решение
Задача №6.
Найти угол треугольника:
В
?
38°
А
С
Решение
Задача №7.
Найти углы треугольника:
В
?
А
?
С
Решение
Задача №8.
Найти угол треугольника:
В
?
А
С
Решение
Задача №9.
Найти угол треугольника:
В
?
М
А
С
40°
К
Решение
Задача №10.
Найти углы треугольника:
М
В
87°
?
А
?
120°
?
С
к
Решение
Задача №11.
Найти угол треугольника,
где l -ось симметрии:
В
46°
?
А
К
С
l
Решение
Задача №12.
Найти угол треугольника:
В
?
40°
А
К
С
Решение
Задача №13.
Дан D АВС.
А
= 2 части,  В = 3 части, С = 4 части.
Найдите углы треугольника.
Решение
Задача №14.
Найти угол  BAD, если  ABC = 140°,
 ADC = 80°, l -ось симметрии.
B
А
?
C
D
l
Решение
Задача №15.
Найти угол треугольника:
B
α
?
A
C
Решение
Задача №16.
Найти угол треугольника:
В
?
β
А
С
Решение
Задача №17.
Найти угол треугольника:
В
α
?
А
С
Решение
Задача №1.
РЕШЕНИЕ.
У треугольника все стороны равны,
а против равных сторон лежат
равные углы, значит искомый угол
равен 180°:3, т.е. равен 60°.
ОТВЕТ: углы треугольника равны 60°.
Назад
След. задача
Задача №2.
РЕШЕНИЕ.
A+B+C = 40°+ 60°+ 70°=170°.
Но сумма углов треугольника равна 180°,
следовательно треугольника с данными
углами не существует.
ОТВЕТ: не существует
Назад
След. задача
Задача №3.
РЕШЕНИЕ.
В
В треугольнике против равных
?
сторон лежат равные углы, значит
С=70°.
А+В+С=180°.
70°+В+70°=180°
70°
140°+В=180°
А
С
В=180°-140°
В=40°
ОТВЕТ: угол В равен 40°.
Назад
След. задача
Задача №4.
РЕШЕНИЕ.
В треугольнике против равных сторон
лежат равные углы, значит А=С.
В
А+В+С=180°.
100°
А+100°+С=180°
2 А +100°=180°
?
?
 А=180°-100°
А
 А=80°
А=40°, а значит и С=40°.
ОТВЕТ: угол А равен 40°, и угол С равен 40°.
Назад
С
След. задача
Задача №5.
РЕШЕНИЕ.
А+В+С=180°.
А +75°+40°=180°
А +115°=180°
А=180°-115°
А=65°
В
75°
?
40°
А
С
ОТВЕТ: угол А равен 65°.
Назад
След. задача
Задача №6.
РЕШЕНИЕ.
В треугольнике АВС, А=90°.
В
А+В+С=180°.
90°+ В+38°=180°
?
В +128°=180°
В=180°-128°
В=52°
А
38°
С
ОТВЕТ: угол В равен 52°.
Назад
След. задача
Задача №7.
РЕШЕНИЕ.
В треугольнике против равных сторон лежат
равные углы, значит В=С, а А=90°.
А+В+С=180°.
В
?
90°+В+С=180°
90°+2 В=180°
 В=180°-90°
 В=90°
?
В=45°, а значит и С=45°.
А
С
ОТВЕТ: угол В равен 45°, и угол С равен 45°.
Назад
След. задача
Задача №8.
РЕШЕНИЕ.
В треугольнике АВС: А=2С, В=3С.
В
А+В+С=180°.
2С+3С+С=180°
6С=180°
С=180°:6
С=30°
?
А
ОТВЕТ: угол С равен 30°.
Назад
С
След. задача
Задача №9.
РЕШЕНИЕ.
МСК=ВСА=40°, А=90°.
В треугольнике АВС:
В
А+В+С=180°.
?
90°+В+40°=180°
В+130°=180°
В=180°-130°
А
В=50°
С
М
40°
К
ОТВЕТ: угол В равен 50°.
Назад
След. задача
Задача №10.
РЕШЕНИЕ.
МВС и АВС, ВСК и ВСА - смежные,
значит: АВС =180°- МВС=180°-87°=93°,
ВСК=180°-ВСА=180°-120°=60°.
М
В треугольнике АВС:
В 87°
А+В+С=180°.
?
А+93°+60°=180°
А +153°=180°
?
? 120°
А=180°-153°
А
С
к
А=27°
ОТВЕТ: угол А равен 27°.
Назад
След. задача
Задача №11.
РЕШЕНИЕ.
l - ось симметрии, значит D АВК= D КВС и
ВКА=ВКС=90°. Следовательно А=С,
АВК=КВС=46°.
В
В треугольнике КВС:
К+В+С=180°.
46°
90°+46°+С =180°
С +136°=180°
?
А
С=180°-136°
К
С
l
С=44°
ОТВЕТ: угол С равен 44°.
Назад
След. задача
РЕШЕНИЕ.
Задача №12.
Против равных сторон лежат равные углы:
в D АВК: ВАК=АВК=40°, в D КВС: ВКС=ВСК.
Рассмотрим D АВК:
А+В+К=180°
40°+ 40°+К =180°
ВКА=100°.
В
ВКА и ВКС - смежные, следовательно
?
ВКС=180°-ВКА=180°-100°=80°
В треугольнике КВС:
К+В+С=180°.
40°
80°+В+80 °=180°
А
К
В=180°-160°
В=20°
ОТВЕТ: угол В равен 20°.
Назад
С
След. задача
Задача №13.
РЕШЕНИЕ.
Обозначим одну часть - x.
Тогда  А = 2 x,  В = 3 x,  С = 4 x.
В треугольнике КВС:
А+В+С=180°.
2 x+3 x+4 x =180°
9 x =180°
x =20°
Следовательно:
 А =40°,  В =60°,  С =80°.
Назад
ОТВЕТ: угол А равен 40°, угол В равен 60°,
угол С равен 80°.
След. задача
Задача №14.
РЕШЕНИЕ.
l - ось симметрии, значит D АВD= D DВС и
ABD=DBC=70°, ADB=BDC=40°.
В треугольнике ABD:
B
+В+D=180°.
А ?
 +70°+40°=180°
C
 +110°=180°
 =180°-110°
 =70°
D
l
ОТВЕТ: угол А равен 70°.
Назад
След. задача
Задача №15.
РЕШЕНИЕ.
В треугольнике АВС:
А+В+С=180°.
90°+α+С=180°
С=180°-90°-α
С=90°- α
B
α
?
A
C
ОТВЕТ: угол C равен (90°-α).
Назад
След. задача
Задача №16.
РЕШЕНИЕ.
В треугольнике против равных сторон
лежат равные углы, значит А=С=β.
А+В+С=180°.
В
β+В+β=180°
?
В+ 2 β=180°
В=180°-2 β
β
С
А
ОТВЕТ: угол B равен (180°-2 β).
Назад
След. задача
Задача №17.
РЕШЕНИЕ.
В треугольнике против равных сторон
лежат равные углы, значит А=С.
А+В+С=180°.
В
2 А +α=180°
α
А=180°- α
А=(180°- α ):2
Значит и С=(180°- α ):2 А ?
ОТВЕТ: угол А равен (180°- α ):2, угол С равен
(180°- α ):2.
Назад
С
Вычислите все
неизвестные углы
треугольника.
ОТВЕТЫ
1)
2)
1 2
70°
15°
3
1
2
3
ОТВЕТЫ
3)
4)
15°
60°
1
2
75°
80°
1
2
ОТВЕТЫ
5)
6)
3
1
2
2
3
40°
1
45°
ОТВЕТЫ
7) AB||DE
8) AB||DC
B
B
80°
40°
A
C
2
1
C
D
2
3
1
4
3
E
50°
A
30°
4
D
ОТВЕТЫ
10) a||b
9) a||b
a
30°
3
a
4
1
b
2
3
2
40°
1
b
ОТВЕТЫ
11)
12)
1
70°
1
2
2
70°
150°
3
ОТВЕТЫ:
1). 1=20°,
2). 1=75°,
3). 1=105°,
4). 1=40°,
5). 1=50°,
6). 1= 45°,
7). 1= 60°,
8). 1=100°,
9). 1=60°,
10). 1= 50°,
11) .1= 80°,
12) .1= 35°,
2=20°,
2=15°,
2= 60°
2= 40°
2= 40°,
2= 45°,
 2=60°,
2=30°,
2= 60°,
2=90°,
2=30°
2=110°,
3=70°
3= 75°
3=50°
3=45°
3=80°, 4=40°
3=50°, 4=100°
3=30°
3=50°, 4=40°
3=35°
Практические
задания №3
Дано: DАВС, А=2  В,  С=  А+10 °
Найдите:  А,  В, и  С
РЕШЕНИЕ:
А=2 В, следовательно С=2 В+10 °
А+В+С=180°
2В+В+2В+10=180°
5 В=180° - 10°
5В=170°
В=34°
А=2 В=2*34° =68°
А
С=А+10° =68° +10° =78°
ОТВЕТ: А=68°, В=34°, С=78°
В
С
Дано: DАВС, АВ=ВС, А=2В
Найдите:  А,  В, и  С
РЕШЕНИЕ:
АВ=ВС, следовательно А=С=2В
А+В+С=180°
2В+В+2В=180°
5 В=180°
В=36°
А=2 В=2*36° =72°
С=72°
ОТВЕТ: А=72°, В=36°, С=72°
В
А
С
Дано: DАВС, А=0,6 В,  BCD=80°
Найдите:  А,  В, и  С
РЕШЕНИЕ:
1) ВСА=180°- BCD=180°- 80°=100°
2) А+В+С=180 °
0,6В+В+100°=180 °
1,6В=180° -100°
1,6В=80 °
В=50 °
А=0,6 В=0,6*50 ° =30 °
А
ОТВЕТ: А=30°, В=50°, С=100°
В
С
D
Дано: DАВС, АBD=DBC, AD=DB , C=2А
Найдите:  А,  В, и  С
РЕШЕНИЕ:
В треугольнике DАВD: AD=DB,
следовательно BAD=A
АBC=2A, C=2А
В треугольнике DАВC:
А+В+С=180°
A+2A+2A=180°
5A=180°
А
A=36°
B=2 A=2*36° =72°
С=2 А=2*36° =72 °
ОТВЕТ: А=36°, В=72°, С=72°
В
D
С