Простейший из многоугольников – треугольник – играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времён «Начал» Евклида покоится на «трёх китах» - трёх признаках равенства треугольников. Исторический материал Любой геометрический материал возникает из потребностей окружающей жизни. Доказательство признаков равенства треугольников приписывают древнегреческому ученому Фалесу Милетскому (жившему ок.625-547г.г. до н.э.). Теорему о равенстве треугольников по стороне и прилежащим к ней двум углам он использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. В древнем искусстве очень широко распространяются изображения равностороннего треугольника . Первобытные люди штамповали треугольники на разных изделиях. Вожди племен северо-американских индейцев носили на груди символ власти: равносторонний треугольник с точкой в центре, в Африке женщины также украшают себя большими пластинами из равносторонних треугольников. Равносторонние треугольники рисовали на изображениях священных животных. Для составления красивых паркетов часто использовали треугольники . Лишь на рубеже XIX – XX веков математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия геометрического преобразования. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Вопрос 1. Определение треугольника В А С Вопрос 2. Определение остроугольного треугольника В А С Вопрос 3. Определение прямоугольного треугольника А С В Вопрос 4. Определение тупоугольного треугольника О Н Т Вопрос 5. Определение равностороннего треугольника В А С Вопрос 6. Определение равнобедренного треугольника О М С Вопрос 7. Медиана треугольника (определение) В С А М Вопрос 8. Медианы треугольника (замечательное свойство) В К Р А М С Вопрос 9. Свойство медианы равнобедренного треугольника В С А М Вопрос 10. Биссектриса треугольника (определение) В О А С Вопрос 11. Биссектрисы треугольника ( свойство) В Н А К М С Вопрос 12. Биссектриса равнобедренного треугольника В С А К Вопрос 13. Высота треугольника В АН Н А С ВС Вопрос 14. Высоты треугольника (замечательное В свойство) О К А М О К С Н Н В С А М Вопрос 15. Свойство высоты равнобедренного треугольника В А С Н Вопрос 16. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника В К С Вопрос 17. Равные треугольники Вопрос 18. Первый признак равенства треугольников С К В Р М А (По двум сторонам и углу между ними ) Вопрос 19. Второй признак равенства треугольников М В С Р А К ( по стороне и двум прилежащим к ней углам ) Вопрос 20. Третий признак равенства треугольников К В С Т М (По трём сторонам) Вопрос 21. Равные треугольники В С О А D AOB= COD (по стороне и двум углам) Вопрос 22. Равные треугольники E C DEC= DKC (по двум сторонам и углу) K D Вопрос 23. Равные треугольники ADB= ADC (по двум сторонам и углу) В А 1 D 2 С Вопрос 24. Равные треугольники E C K D DEC = DKC (по трем сторонам) Вопрос 25. Равные треугольники Е В А С D АСЕ = АВD (по стороне и двум углам) Вопрос 26. Равные треугольники CAF = CBF (по трем сторонам) А С F В Вопрос 27. Равные треугольники CAE= DBE (по двум сторонам и углу) Е С D А О В Вопрос 28. СОСЧИТАЙ ТРЕУГОЛЬНИКИ Задача Фалеса Требовалось определить расстояние от берега до корабля, находящегося недалеко в море. Для этого допустим, что корабль находится в точке A, а наблюдатель в точке B. Строим на суше перпендикулярно отрезку AB отрезок BC произвольной длины, находим его середину (точку D). Строим перпендикулярно CB отрезок CE так, чтобы точки E, D и A зрительно лежали на одной прямой. Тогда AB = CE. Докажите . А С D B Е Задачи с практическим содержанием Задача 1 Листок календаря частично закрыт предыдущим листком. Определите размеры листка по данным, указанным на рисунке. C B 3 E K 1 A 4 D Н F КА = 1, СЕ = 3, ED = 4. Указания к решению задачи Докажите равенство ∆ КВС и ∆ DEС. 3 B C 3 E 4 4 K 1 A D Н F Решение задачи 1. Рассмотрим ∆ КВС и ∆ DEС. 1) ВС=СЕ (сторона прямоугольника). 2) КС=СD (сторона прямоугольника) 4 3) ВСК = DСЕ, т.к. ВСК = 90° - х K DСЕ = 90° -х 1 Значит, ∆ КВС = ∆ DEС (по двум A сторонам и углу). 2. АВ=АК+КВ , АВ= 1+4=5 ВС=СЕ=3 Ответ. АВ=5, ВС=3. 3 B C 3 х E 4 D Н F Задачи с практическим содержанием Задача 2 Лежащий на полу ковер прямоугольной формы, сложили по диагонали. Выполнив измерения, указанные на рисунке. Саша быстро восстановил 4 размеры ковра. Как он это сделал? 5 3 Указания к решению задачи C B Докажите равенство ∆ AFE и ∆ CDE. 4 5 5 A A E 4 3 F 3 D D Pешениe задачи 1. Рассмотрим ∆ АFЕ и ∆ СDE. 1) АF=СD (стороны прямоугольника). 2) АFЕ= ЕDС = 90° ; B 3) FАЕ= DСЕ, т.к. FАЕ= 90°- х DСЕ= 90°-х (сумма углов треугольника 180°). A A Значит, ∆ АFЕ = ∆ СDE 4 (по стороне и двум углам). 2. АВ=CD=АF=4, ВС=AD=AЕ+ED, AD=5+3=8, Ответ. АВ=4, ВС=8. C 4 5 5 х E 3 F х 3 D D В 19 марта 2010 года Шуховской башне на Шаболовке исполнилось 88 лет. Высоковольтные линии электропередачи. Треугольники делают конструкции надежными. Треугольники в конструкции мостов. Начиная игру в бильярд, необходимо расположить шары в виде треугольника. Для этого используют специальную треугольную рамку. Расстановка кеглей в игре Боулинг тоже в виде равностороннего треугольника. Треуго́ льник — ударный музыкальный инструмент в виде металлического прута , изогнутого в форме треугольника. Один из углов оставлен открытым (концы прута почти касаются). Треуго́ льник — созвездие северного полушария неба, содержит 25 звезд, видимых невооружённым глазом. Бермудский треугольник — район в Атлантическом океане, в котором происходят якобы таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы. Бермудские острова Флорида Пуэрто-Рико Домашнее задание Задача 1 Найдите на рисунке: а) равные треугольники и обоснуйте их равенство. б) равнобедренные треугольники и объясните, почему они являются равнобедренными B Задача 2 От равностороннего треугольника, площадь которого равна 36 см2, отрезали три равных равносторонних треугольника так, что образовался правильный шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника. E F K D A M L C Указания к решению домашних задач Задача 2 B Выполните дополнительные построения, указанные на рисунке. F E O D A M K L C Спасибо за урок !