"Теорема пифагора". Невзорова П. М.

Теорема Пифагора
«Геометрия владеет
двумя сокровищами:
одно из них – это
теорема Пифагора»
Иоганн Кеплер
Пифагор - древнегреческий
ученый VI в. до н. э.
Историческая справка о Пифагоре
• Пифагор Самосский.(Pythagoras of Samos)
• Родился: около 569 г. до н.э. на острове Самос в
Ионическом море. Умер: около 475 г. до РХ.
• Пифагор был:
1. известным кулачным бойцом Олимпийских игр.
2. ведущим духовным, церковным и научным
идеологом своего государства.
• В молодости для изучения наук жрецов
путешествовал по Египту, жил также в Вавилоне,
где имел возможность в течение 12 лет изучать
астрологию и астрономию у халдейских Жрецов.
После Вавилона, побыв некоторое время в своём
отечестве, переселился в Южную Италию, потом в
Сицилию и организовал там пифагорейскую
школу, которая внесла ценный вклад в развитие
математики и астрономии. Однако, приняв
количественное отношение за сущность вещей и
оторвав их от материального мира, эта школа
пришла к идеализму.
К содержанию
Школа Пифагора и пифагорейцы
Труды, обычно приписываемые Пифагору,
относятся не только к легендарному Пифагору,
но вообще к трудам его школы, которая
существовала в период с 585 до 400 г.г.
Эта школа заложила основу греческой
арифметики, которая ограничивалась изучением
целых чисел. Их арифметика геометрична, она
разбивает числа в зависимости от формы
соответствующих им фигур из точек на
треугольные, квадратные, пятиугольные и т.д.
Попасть в школу было не просто. Претендент
должен был выдержать ряд испытаний, одним
из таких испытаний являлся обет пятилетнего
молчания, и все это время принятые в школу
могли слушать голос учителя лишь из-за
занавеса, а увидеть могли только тогда, когда их
"души будут очищены музыкой и тайной
гармонией чисел". Другим законом организации
было хранение тайны, несоблюдение которой
строго каралось – вплоть до смерти. После того
как школу Пифагора перестала сушествовать, его
ученики поступили в другие школы тех времён
(например в школу Евклида ).
Пентаграмма
Современная
с2
формулировка
теоремы Пифагора
= a2 + b 2
с
c
а
b
b
«В прямоугольном
треугольнике квадрат
гипотенузы равен
сумме квадратов
катетов».
a
Во времена Пифагора
формулировка
теоремы звучала так:
«Квадрат, построенный
на гипотенузе прямоугольного треугольника,
равновелик сумме
квадратов, построенных
на катетах».
Теорема Пифагора
16
9
2
25=16+9
25
2
5=4+3
2
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе,
равна сумме площадей квадратов, построенных на
катетах.
Примеры доказательств теоремы
Сегодня известно около 500 различных
доказательств теоремы Пифагора
геометрических, алгебраических,
механических и прочих. Рассмотрим
некоторые примеры доказательств:
1. На рис.1(2) изображено два равных
квадрата. Длина сторон каждого квадрата
равна a + b. Каждый из квадратов разбит
на части, состоящие из квадратов и
прямоугольных треугольников. Если от
площади квадрата отнять учетверенную
площадь прямоугольного треугольника с
катетами a, b, то останутся равные
площади, т. е.
c2 = a2 + b2 .
Впрочем, древние индусы, которым
принадлежит это рассуждение, обычно не
записывали его, а сопровождали чертеж
лишь одним словом: «смотри!» Вполне
возможно, что такое же доказательство
предложил и Пифагор.
•
Далее
К содержанию
Это доказательство было приведено
Евклидом
в его "Началах". На гипотенузе и катетах
прямоугольного треугольника АВС строятся
соответствующие квадраты и доказывается, что
прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а
прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма
квадратов на катетах будет равна квадрату на
гипотенузе.
В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум
сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD
РFBC = d + РABC = РABD
Но
SABD = 1/2 S BJLD, так как у треугольника ABD и
прямоугольника BJLD общее основание BD и общая
высота LD. Аналогично SFBC=1\2S ABFH (BF-общее
основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая,
что SABD=SFBC, имеем SBJLD=SABFH.
Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и
АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG.
Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,
что и требовалось доказать.
I.
Самое простое
доказательство
Рассмотрим квадрат,
показанный на рисунке.
Сторона квадрата равна
a + b.
b
a
b
a
a
b
b
a
В одном случае (слева)
квадрат разбит на квадрат
со стороной b и четыре
прямоугольных
треугольника с катетами a
и b.
В другом случае (справа)
квадрат разбит на два квадрата
со сторонами a и b и четыре
прямоугольных треугольника с
катетами a и b.
Таким образом, получаем, что площадь
квадрата со стороной b равна сумме
площадей квадратов со сторонами a и b.
Пифагоровы штаны
«Пифагоровы штаны во все
стороны равны. Чтобы это
доказать, нужно снять и
показать», -так поется в одной
C
A
B
шутливой песенке. Эти «штаны»
показаны на рисунке, где на каждой
стороне прямоугольного треугольника
АВС во внешнюю сторону построены
квадраты. А сам рисунок появился в
знаменитой первой книге трактата
Евклида «Начала»и был положен ее
автором в основу доказательства
теоремы Пифагора.
В англоязычных странах ее
называют ветряной мельницей,
павлиньим хвостом и креслом
невесты.
Шаржи к теореме Пифагора
(из учебников XVI века)
• Если квадрат одной
стороны равен сумме
квадратов двух
других сторон, то
треугольник
прямоугольный
Доказательство
• Дано: треугольник ABC;
AB 2  AC 2  BC 2
• Док-ть: С  900
• Док-во: Р/м A1B1C1прямоугольный С '  900 ;
A1C1  AC, B1C1  BC ,


A1 B12  A1C12  B1C12 ,=>A1 B12  AC 2  BC 2 , =>
AC 2  BC 2  AB 2=> A1 B12  AB 2 => A1 B1  AB
ABC  A1B1C1 =>
=>
С  90
0
1 Пифагор родился на
острове:
а).Родос
б)Крит
в)Мадагаскар
г)Самос
Ответ: г
3. Выберите верное равенство
для данного треугольника:
а)a2+ c2 = b2
ТЕСТ
2. Теорема Пифагора гласит:
a)В треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату
катетов.
б)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна
сумме катетов.
в)В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов.
г)В прямоугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.
Ответ: в
б)a2 + b2 = c
в)b2 + c2 = a2
г)a2 + b2 = c2
Ответ: г
4. Выберите тройку
пифагоровых
чисел:
а)2, 3 и 5
б)4, 5 и 8
в)5, 12 и 13
г)9, 11 и 14
Ответ: в
Пифагоровы тройки
Изучение свойств натуральных чисел
привело пифагорейцев к ещё одной
«вечной»
проблеме
теоретической
арифметики (теории чисел) — проблеме,
ростки которой пробивались задолго до
Пифагора в Древнем Египте и Древнем
Вавилоне, а общее решение не найдено и
поныне. Начнем с задачи, которую в
современных
терминах
можно
сформулировать
так:
решить
в
натуральных
числах
неопределенное
уравнение
а2+b2=c2.
21
Сегодня эта задача именуется задачей
Пифагора, а её решения — тройки
натуральных чисел, удовлетворяющих
уравнению (а2+b2=c2)— называются
пифагоровыми тройками. В силу
очевидной связи теоремы Пифагора с
задачей Пифагора последней можно дать
геометрическую формулировку: найти все
прямоугольные треугольники с
целочисленными катетами а, b и
целочисленной гипотенузой c.
22
Эти тройки можно найти по формулам:
b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2.
а
3
5
6
7
9
11
13
15
17
19
21
39
b
4
12
8
24
40
60
84
112
144
180
20
80
c
5
13
10
25
41
61
85
113
145
181
29
89
Пифагоровы
числа
обладают
рядом
интересных
особенностей,
которые
мы
перечислим без доказательств:
Один
из
«катетов»
должен
быть
кратным трём.
Один
из
«катетов»
должен
быть
кратным четырём.
Одно из пифагоровых чисел должно
23
быть кратно пяти.
х
4
3
5
х
3
• Землемеры и строители Древнего
Египта размечали прямые углы с
помощью веревки, разделенной
узлами на 12 равных кусков.
Посмотри!
• Теорема не теряет
смысла, если
квадраты заменить
любыми другими
правильными
многоугольниками
или полукругами.
• Если на сторонах
треугольника
построены полукруги
по одну сторону
гипотенузы, то
площадь полученных
луночек равна
площади данного
треугольника.
S  S1  S2
Построение отрезка, длина которого есть
иррациональное число.
Улитка Архимеда.
«Смотри чертёж».
Догадайтесь сами,
как построены
отрезки с такими
длинами.
30
Диагональ d квадрата со стороной
а можно рассматривать как
гипотенузу прямоугольного
равнобедренного треугольника с
катетом а. Таким образом:
d2=2a², d= 2 a.
31
Диагональ d
прямоугольника со
сторонами а и b
вычисляется
подобно тому, как
вычисляется
гипотенуза
прямоугольного
треугольника с
катетами a и b. Мы
имеем d²=a²+b² .
d= а 2  b 2
32
На рисунке изображен куб, внутри
которого проведена диагональ
d, являющаяся одновременно
гипотенузой прямоугольного
треугольника, заштрихованного
на рисунке. Катетами
треугольника служат ребро
куба и диагональ квадрата,
лежащего в основании (как
указывалось ранее,
длина
2
диагонали равна2 а). Отсюда
имеем d2 = a2+(
а)2, d2=3a2,
3
d= a.
33
Рассуждение, подобное этому, можно
провести и для прямоугольного
параллелепипеда с ребрами a, b, с и
получить для диагонали выражение
d = а 2  b2  c 2
34
В зданиях готического и романского стиля верхние
части окон расчленяются каменными ребрами, которые
не только играют роль орнамента, но и способствуют
прочности окон. На рисунке представлен простой
пример такого окна в готическом стиле. Способ
построения его очень прост: Из рисунка легко найти
центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны
1.ширине окна (b) для наружных дуг
2. половине ширины, (b/2) для внутренних дуг
Остается еще полная окружность, касающаяся
четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя
концентрическими окружностями, то ее диаметр равен
расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и,
следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится
ясным и положение ее центра.
В рассмотренном примере радиусы находились
без всяких затруднений. В других аналогичных примерах
могут потребоваться вычисления; покажем, как
применяется в таких задачах теорема Пифагора.
В романской архитектуре часто встречается мотив,
представленный на рисунке. Если b по-прежнему
обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей
будут равны R = b/2 и r= b/4. Радиус p внутренней
окружности можно вычислить из прямоугольного
треугольника, изображенного на рис. пунктиром.
Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку
касания окружностей, равна b/4 + p, один катет равен
b/4, а другой b/2 - p. По теореме Пифагора имеем:
(b/4 + p)² = (b/4)² + (b/2 - p)²
или
b²/16 + bp/2 + p² = b²/16 +b²/4 - bp + p²,
откуда
bp/2 = b²/4 - bp.
Разделив на b и приводя подобные члены,
получим:
(3/2)p = b/4, p = b/6
В конце девятнадцатого века
высказывались разнообразные
предположения о существовании
обитателей Марса подобных человеку,
это явилось следствием открытий
итальянского астронома Скиапарелли
(открыл на Марсе каналы которые
долгое время считались
исскуственными) и др.
Естественно, что вопрос о том,
можно ли с помощью световых
сигналов объясняться с этими
гипотетическими существами, вызвал
оживленную дискуссию. Парижской
академией наук была даже установлена
премия в 100000 франков тому, кто
первый установит связь с каким-нибудь
обитателем другого небесного тела; эта
премия все еще ждет счастливца. В
шутку, хотя и не совсем
безосновательно , было решено
передать обитателям Марса сигнал в
виде теоремы Пифагора.
Неизвестно, как это сделать; но
для всех очевидно, что математический
факт, выражаемый теоремой Пифагора
имеет место всюду и поэтому похожие
на нас обитатели другого мира должны
понять такой сигнал.
НАЗАД
37
И. Дырченко
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придем.
с
2
с
2
=a
b
2
+b
a
О теореме Пифагора
Пребудет вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь закрыв глаза дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.
A.Шамиссо
Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места,
где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь
глубока?”
40
Какова глубина в
современных единицах
длины (1 фут приближённо
равен 0,3 м) ?
Решение.
Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х,
тогда AD = AB = Х + 0,5 .
Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2,
(Х + 0,5)2 – Х2 = 22 ,
Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4,
Х = 3,75.
Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.
3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)
Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.
41
На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой с
теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река в
четыре лишь фута была широка. Верхушка
склонилась у края реки, осталось три фута
всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь
мне скажи: у тополя как велика высота?
42
Задача
Бхаскары
Решение.
Пусть CD – высота
ствола.
BD = АВ
По теореме Пифагора
имеем
АВ = 5 .
CD = CB + BD,
CD = 3 + 5 =8.
Ответ: 8 футов.
43
На
обоих
берегах
реки
растет по пальме, одна
против
другой.
Высота
одной 30 локтей, другой – 20
локтей. Расстояние между их
основаниями – 50 локтей. На
верхушке
каждой
пальмы
сидит птица. Внезапно обе
птицы
заметили
рыбу,
выплывшую к поверхности
воды между пальмами. Они
кинулись к ней разом и
достигли её одновременно.
На каком расстоянии от
основания
более
высокой
пальмы появилась рыба?
44
Решение
Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2
АВ2=302 +Х2
АВ2=900+Х2;
в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2
АС2=202+(50 – Х)2
АС2=400+2500 – 100Х+Х2
АС2=2900 – 100Х+Х2.
Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за
одинаковое время.
Поэтому АВ2 =АС2 ,
900+Х2 =2900 – 100Х+Х2,
100Х=2000,
Х=20,
АD=20.
Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.
Ответ: 20 локтей.
45
"Случися некому
человеку к стене
лестницу прибрати,
стены же тоя высота
есть 117 стоп. И
обреете лестницу
долготью 125 стоп. И
ведати хочет, колико
стоп сея лестницы
нижний конец от стены
отстояти имать."
46
"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи.
В центре его растет камыш, который
выступает над водой на 1 чи. Если потянуть
камыш к берегу, то он как раз коснётся его.
Спрашивается: какова глубина воды и
47
какова длина камыша? "
Д
Е
40 м
20 м
А
Х
К
100 м
В
Изречения Пифагора
Статуя формой своей хороша,
А человека украсят дела.
Шуткой беседу укрась, освети.
Шутка, что соль. Лишь не пересоли…
Лучше молчи, ну, а коль говоришь,
Пусть будет лучше, чем то, что молчишь.
Если ты в гневе, не смей говорить!
Действовать резко и злобу сорить.
Пред тем, как станешь говорить, пусть
мысль созреет
Под языком твоим. Созревшая - все смеет.
1) делай лишь то, что впоследствии не
омрачит тебя и не заставит раскаиваться;
2) не делай никогда того, чего не знаешь, но
научись всему, что нужно знать;
3) не пренебрегай здоровьем своего тела;
4) научись жить просто и без роскоши;
5) либо молчи, либо говори то, что ценнее
молчания;
6) не закрывай глаза, когда хочешь спать,
не разобравши всех своих поступков за
день.
• Пифагор первым определил и изучил
взаимосвязь музыки и математики.
• Пифагор рассматривал геометрию не как
практическую и прикладную дисциплину, а
как логическую науку.
• Система морально-этических правил,
завещанная Пифагором, была собрана в
своеобразный моральный кодекс
пифагорейцев «Золотые стихи».
• Во Франции и некоторых областях
Германии в Средневековье теорему
Пифагора называли «Мостом слов», а у
математиков арабского Востока –
«Теоремой невесты».
Память.
Памятник Пифагору
находится в порту
города Пифагория и
напоминает всем о
теореме Пифагора,
наиболее известном
его открытии. Катет,
лежащий в основании
треугольника мраморный ,
гипотенуза и фигура
самого Пифагора в
виде второго катета медные.
К
Найдите: КN
х
13 cм
N
Решение:
КМ2=КN2+NМ2
12 см
КN2=КМ2 – МN2
КN2=132-122=169-144=25
КN=5 cм
М
В
С
17
А
х
Найдите: АD
8
D
С
6 см
В
Дано: ∆АCF-
прямоугольный,
10 см
АВ=ВС, СD=DF,
ВD║АF
D
ВС=6 см, СD=10см.
А
F
Найдите: ВD,АF
Решение:
СВD=САF, т.к. соответственные при
ВD║АF , значит ∆BCD-прямоугольный
По теореме Пифагора ВD2=CD2-ВС2,
ВD2=102-62=64, ВD=8 см
АС=12 см, СF=20 см , по теореме Пифагора
АF2=CF2-АС2, АF2=202-122=256, АF=16 см
c2 = a2 + b2
4
5
21
12
5
3
40
13
20
29
15
41
24
25
17
8
9
7
Теорема
Пифагора
НЕИЗВЕСТНАЯ ГИПОТЕНУЗА:
c2 = a2 + b2
b
Примеры:
1)
2)
10 = 5  2
24 = 12  2
2,0 = 20 : 10
2,1 = 21 : 10
с
2,1 24
с = 13  2, c = 26
с = 2,9
2,0
а
10
Пифагоровы тройки можно увеличивать или уменьшать в
n – раз, где n > 0. Укажите к какому «семейству» относятся
новые примеры.
13
21
4
5
5
12
29
3
8
45
122
10,5
2,4
8
14,5
10
2,5
51
132
17
10
52
0,7
24
6
Новые примеры (5)
25
20
Найдите неизвестные стороны треугольников.
6
8
4
4 3
3 3
3
3
3 3
2
36
15
Проверить.
из 9
5
1,5