Линейные операции над векторами

Элементы векторной алгебры.
Векторы. Основные понятия.
♦ Отрезок [AB], у которого указаны его начальная точка A и конечная
точка B, называется направленным отрезком.
Вектором называется любой параллельный перенос в пространстве.
Определенный так вектор может быть задан с помощью направленного
отрезка [AB], где А – какая-либо точка пространства, а В – ее образ при
данном параллельном переносе.
Два направленных отрезка [АВ] и [CD] изображают один и тот же вектор,
если их длины равны, прямые (АВ) и (CD) параллельны (в т.ч.
совпадают), а направление от А к В одинаково с направлением от C к D.
Таким образом, направленных отрезков, изображающих один и тот же
вектор, бесконечное множество.
Обозначения:
,
,
означает, что направленные отрезки [AB] и [CD]
Равенство
=
определяют один и тот же вектор.
♦ Длиной (модулем) вектора
называется длина отрезка [AB].
Обозначения:
, AB
♦ Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым и обозначается .
♦ Вектор, длина которого равна единице, называется единичным (или ортом).
На чертежах вектор
и концом в точке В:
будем обозначать стрелкой с началом в точке А
B
A
♦ Два ненулевых вектора называются компланарными, если они
могут быть изображены направленными отрезками параллельных
прямых (в т.ч., одной и той же прямой).
♦ Три ненулевых вектора называются коллинеарными, если они
могут быть изображены направленными отрезками,
принадлежащими параллельным плоскостям (в том числе, одной и
той же).
Линейные операции над векторами
♦ Отложить вектор
от точки С – это значит построить направленный
отрезок [CD], изображающий вектор
♦ Суммой
вектора
+
двух векторов
в конец вектора
и
называется вектор, идущий из начала
, который откладывается из конца вектора
(правило треугольника).
♦ Правило параллелограмма: если векторы
и
отложены от общего начала
и на них построен параллелограмм, то сумма
+
есть вектор,
совпадающий с вектором-диагональю этого параллелограмма, идущей из
общего начала векторов
и
=
+
0
Отсюда следует, что
+
=
+
♦ Сложение многих векторов может производиться при помощи
последовательного применения правила треугольника.
Другое правило: сумма
+ + +…+
векторов
, , … строится так:
от произвольной точки 0 откладывают вектор
, затем от конца отложенного
вектора a откладывают вектор , затем от конца отложенного вектора
откладывают вектор
и т.д. При этом началом вектора суммы
+ + …
служит точка 0, а его концом – конец последнего отложенного вектора
+
+
+…+
♦ Преобразование, обратное по отношению к вектору
, называется
противоположным вектором (обозначается - ). Противоположный вектор
- имеет ту же длину, что и вектор
противоположную .
♦ Разностью
-
, но направлен в сторону,
называется такой вектор
, что
+
=
Легко видеть, что
- =
+ (- ).
Т.е. построение разности равносильно прибавлению к одному вектору вектора,
противоположного другому.
Свойства сложения векторов:
1.
+
=
+
2. ( + ) +
3.
+
4.
+ (-
=
=
)=
+(
+
)
Умножение вектора на число.
♦ Произведением ненулевого вектора
= λ , коллинеарный вектору
на число λ, называется вектор
, имеющий длину
=│λ│
и направленный в ту же сторону, что и вектор
, если λ>0,
и в противоположную, если λ<0 (отсюда: если
= λ , λ≠0 то
- коллинеарны)
Свойства умножения вектора на число:
1. (λM)
= λ(M
2. λ
+M
3. λ
+λ
4. 0 ∙
)
= (λ+M)
= λ( +
=λ∙0=0
)
и
-
Проекция вектора на ось.
Пусть даны ось L и вектор
=
. Обозначим через А’ и В’ соответственно
проекции точек А и В на ось L.
Проекцией вектора
равное длине вектора
на ось L (обозначение: ПрL
называется число,
, взятое со знаком «+», если направления вектора
и оси L совпадают, и со знаком «-» в противном случае.
Аналогично определяется проекция вектора на вектор.
Справедлива формула: ПрL
и осью L.
=
cosφ , где φ – угол между вектором
Метод координат.
(1) Координаты точек.
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат:
Ox - ось абсцисс
Oy - ось ординат
Oz - ось аппликат
Тройка единичных векторов
, , , направленных по координатным осям
Ox, Oy, Oz, называется координатным базисом, а сами векторы –
базисными ортами.
Пусть М – некоторая точка пространства, Мх – ее проекция на ось Ох.
Тогда абсциссой х точки М называется длина вектора
со знаком «+»,
если направления этого вектора и вектора
совпадают, и со знаком «-»
в противном случае. Аналогично определяются ордината у и аниликата z
точки M. Обозначение: М(x,y,z).
(2) Координаты вектора.
♦ Координатами ax, ay, az вектора
называются проекции этого вектора
на оси Ох, Оу, Оz. В этом случае пишут:
= { ax ; ay ; az }, или
♦ Любой вектор
=l
+m
= ( ax; ay; az ).
может быть представлен в виде линейной комбинации ортов:
+n
(l, m, n – действительные числа).
Эта комбинация единственна и называется разложением вектора
по базису , , . Оказывается, что коэффициенты этого разложения
l, m, n совпадают с координатами вектора
, т.е.
= аx
+ ay
+ az
.
♦ Пусть известны координаты точек A (xA; yA; zA) и B (xB; yB; zB).
Тогда координаты вектора
вычисляются по формуле:
= (xB - xA; yB - yA; zB - zA).
♦ Правила действий с векторами, заданными своими координатами.
Пусть даны векторы
1.
= ( ax; ay; az ) и
( ax± bx; ay± by; az± bz )
±
λ
2.
= ( bx; by; bz ) . Тогда:
=( λax; λay; λaz )
♦ Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов
= ( ax; ay; az ) и
ax
bx
= ( bx; by; bz ) :
=
ay
by
=
az
bz
=λ
=> = λ
или
=λ
♦ Длина вектора
= ( ax; ay; az ) вычисляется по формуле:
♦ Расстояние между двумя точками A (xA; yA; zA) и B (xB; yB; zB)
равно длине вектора
или
, и , следовательно, может быть
вычислено по формуле:
AB
( xB – xA )2 + ( yB – yA )2 + ( zB – zA )2
♦ Деление отрезка в данном отношении.
Если т. М (x, y, z) делит отрезок между точками A (xA; yA; zA) и B (xB; yB; zB) в
отношении λ, считая от первой точки А, то ее координаты находятся по
формулам:
xM =
xA+xB
1+ λ
yM =
yA+yB
1+ λ
zM =
zA+zB
1+ λ
В частности, при делении отрезка пополам λ = 1 и координаты середины будут:
x=
xA+xB
2
y=
yA+yB
2
z=
zA+zB
2
♦ Направляющие косинусы.
Если α, β, γ – углы, которые составляет вектор
с осями координат, то cos α,
cos β, cos γ называется направляющими косинусами вектора . Вспоминая
формулу для проекции вектора
на ось, получим:
ax =
cosα
ay =
cosβ
az =
Подставив эти формулы в формулу для длины вектора
cos2α + cos2β + cos2γ = 1
cosγ
, получим: