Выполнила: ученица 9 М класса МОУСОШ №32 Киселёва Яна. Учитель: Стаханова Полина Александровна. Цель: исследование параллельного проектирования и его свойств , а также применение параллельного проектирования при решении задач. Методы исследования: 1) Изучение теории по параллельному проектированию. 2) Доказательство некоторых свойств параллельного проектирования. 3) Установление связи между параллельным проектированием и решением задач. 4) Выполнение практической части. ℓ π A ℓ π ℓ1 A A` A` A ℓ1\\ ℓ A Проекцией фигуры F называется множество проекций всех ее точек. F` F Фигура F' получена из фигуры F параллельным проектированием. π ℓ Cвойства параллельного проектирования: 1. Любая прямая, не параллельная направлению параллельного проектирования переходит в прямую ℓ a α 2. Параллельные прямые, не параллельные направлению параллельного проектирования переходят в параллельные прямые или в одну прямую 3. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, сохраняется. В частности, середина отрезка при параллельном проектировании переходит в середину соответствующего С отрезка. ℓ В С1 А В1 А1 4. При параллельном проектировании сохраняется отношение площадей двух любых фигур, если направление проектирования не параллельно плоскостям фигур. 5. При помощи параллельного проектирования можно перевести любой треугольник в правильный Дано: D АВС Задача 1 СD-медиана; СМ:СА=5:7; В СN:CB=1:3; Найти МЕ:МN. D E N А М С В Спроектируем треугольник АВС В равносторонний треугольник А1В1С1 С1 D E А М Е1 N N1 M1 С А1 D1 В1 Тогда точки М,N,E перейдут в точки М1,N1,E1 такие, что С1М1:С1А1=СМ:СА=5:7; С1N1:С1B1=СN:СB=1:3 и М1Е1:Е1N1= МЕ:ЕN Кроме того, медиана СD перейдет в С1 Медиану С1D1, которая является Также биссектрисой для треугольника А1В1С1 и треугольника М1С1N1. По теореме о биссектрисе угла треугольника: M1 М1Е1 = C1M1 * С1В1 = E1N1 C1А1 С1N1 А1 5 * 3 = 15 7 1 7 Т. К. М1Е1:Е1N1= МЕ:ЕN Ответ: МЕ:МN=15:22. N1 Е1 D1 МЕ:МN=15:22 В1 Задача №2. В 2y K 5y А 2x N 3x С Дано: треугольник АВС, АN : CN = 2 : 3, CK : KM = 5 : 2. Найти ВК: NK. K1N1 = z ВС = 7y` = 5 x` отсюда y` = 5 / 7 x`. 2y` = 10 / 7 x` 10 / 7 x` + z + 3 x` = 5 x` следовательно 10 / 7 x` + z = 2 x` следовательно z = 2 x` - 10 / 7 x` = 4 / 7 x` следовательно ВК / KN = 10 / 7 x` разделить на 4 / 7 x` = 5 / 2. Ответ: ВК : КN = 5 : 2. • Задача №3. На диагонали АС1 параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 взята точка М, а на прямой B1C – точка N так, что отрезки MN и DB параллельны. Найти их отношение. D1 C1 B1 А1 М N D C А B D1 C1 D1 C1 B1 А1 M M N A1=D D С=B1= N K C А B А В 1) Проектируем наш параллелепипед на плоскость D1C1ВА в направлении В1С проекция представляет собой два равных параллелограмма АВВ1А1 и DCC1D1 с общей стороной А1В1=DC, где MN // BD. 2) MN=DK Т.к. ∆A1KА = ∆С1МС по свойству (УСУ) 3) ВK=2MN Т.к. ∆КС1В подобен ∆МС1N BD=3MN. Выводы: 1) Анализ теоретического материала по параллельному проектированию позволил узнать свойства и область применения параллельного проектирования. 2) Решение практических задач показало, что многие задачи, даже очень сложные можно решить с помощью параллельного проектирования, сэкономив при этом и время, и силы. 3) Я узнала много нового и интересного, работая над данной темой. Многие задачи оказываются не такими трудными, как казалось бы. Это действительно занимательно и увлекательно. Так же эта прекрасная тема пригодится мне в будущем, при изучении стереометрии в старших классах. Заключение. Геометрия …, наравне со многими другими разделами математики, дает возможность почувствовать красоту математики вообще и может стать для кого-то началом пути в «большую науку». Кроме того, каждый любитель геометрии … имеет шанс открыть нечто новое и пополнить ее сокровищницу собственной драгоценной находкой, ибо геометрия поистине неисчерпаема! А. Г. Мякишев