Чевианы треуг 97

Три пути ведут к знанию:
путь размышлений –
самый благодарный,
путь подражания – самый легкий
и путь опыта – это путь самый
горький.
Конфуций
• Треугольник – это фигура, состоящая из трех
точек.
• Треугольник – это фигура, состоящая из трех
отрезков.
• Треугольник – это фигура, состоящая из трех
углов.
• Треугольник – это фигура, состоящая из трех
точек и трех отрезков, соединяющих эти
точки.
• Треугольник – это фигура, состоящая из трех точек, не
лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих
эти точки.
Игра «Банкиры»
•
•
•
•
Условия игры:
В ходе игры участвуют две команды, каждая из которых представляет
правление банка. Игроки выбирают президента банка. Президент от имени
правления отвечает на предложенные в ходе игры задания (либо
посоветовавшись с правлением, либо самостоятельно).
Банки – конкурирующие организации. У банков общая денежная единица 1 «ум». У каждого банка – начальный стартовый капитал – 5 «умов».
Командам предлагаются по очереди задания различной стоимости. Если
команда дает правильный ответ, то ее стартовый капитал увеличивается на
стоимость задания. В противном случае – капитал уменьшается на
стоимость задания, если на предложенный вопрос ответила другая
команда и на половину стоимости задания, если на предложенный вопрос
никто не ответил.
Отборочный тур
В
В треугольнике АВС
АВ = ВС, АD = DС.
Назовите не менее
пяти терминов,
характеризующих ВD.
А
D
C
1. Задание стоимостью в 1 ум
Исключи лишнее слово в
классификации треугольников
А. Остроугольные
Б. Равнобедренные
В. Прямоугольные
Г. Тупоугольные
2. Задание стоимостью в 1 ум
Отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противолежащей
стороны А.
высота
Б.
биссектриса
В.
средняя линия
Г.
медиана
3. Задание стоимостью в 2 ума
Какой треугольник с данными
сторонами не существует ?
А.
3см, 4см, 5см
Б.
3см, 4см, 7см
В.
2см, 4см, 5см
Г.
3см, 5см, 5см
4. Задание стоимостью в 2 ума
Какие числа соответствуют сторонам
египетского треугольника?
А.
10, 15, 20
Б.
7, 8, 9
В.
1, 2, 3
Г.
3, 4, 5
5. Задание стоимостью в 3 ума
Для треугольника АВС справедливо
равенство:
А.
ВС 2  АВ 2  АС 2  2 АВ  АС  cos A
Б.
ВС  АВ  АС  2 АВ  АС  cos В
В.
Г.
2
2
2
ВС  АВ  АС  2 АВ  АС  cos А
2
2
2
ВС  АВ  АС  2 АВ  АС  cos С
2
2
2
6. Задание стоимостью в 3 ума
По теореме синусов
А.
стороны треугольника обратно пропорциональны
синусам противолежащих углов
Б.
стороны треугольника пропорциональны синусам
прилежащих углов
В.
стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов
Г.
стороны треугольника обратно пропорциональны
синусам прилежащих углов
7. Задание стоимостью в 3 ума
Какая из приведенных ниже формул не
является формулой для нахождения площади
треугольника?
А.
В.
S  ab sin C
abc
S
4R
Б.
Г.
S  p( p  a)( p  b)( p  c)
aha
S
2
8. Задание стоимостью в 3 ума
Центр окружности, описанной
около треугольника – это точка
пересечения
А. биссектрис
Б. медиан
В. высот
Г. серединных
перпендикуляров
9. Задание стоимостью в 4 ума
Кто открыл формулу
Герона?
А. Герон
Г.
Б.
Архимед
В.
Пифагор
Евклид
10.
8. Задание
Заданиестоимостью
стоимостьювв34ума
ума
Кто автор изречения: «Природа говорит языком
математики, буквы этого языка – круги,
треугольники и иные математические фигуры» ?
А. С.Ковалевская
Г.
Б.
М.В.Ломоносов
В.
И.Ньютон
Г.Галилей
Свойства медианы треугольника
А
с
ma
1. Медиана меньше
полусуммы
прилегающих сторон.
b
ma 
В
a
2
A1
a
2
C
ma
b
c
D
1
b  c 
2
2. Медиана рассекает
треугольник на два
равновеликих
треугольника
S BAA1  SCAA1
ПРИЕМ: «Медиана любит, чтобы ее продлевали до параллелограмма»
Свойства медианы треугольника
3. Три медианы
пересекаются в одной точке
(центроид) и делятся в ней в
отношении 2 : 1 , начиная
от вершины.
АМ : МА1 = 2 : 1
ВМ : МВ1 = 2 : 1
СМ : МС1 = 2 : 1
А
1
2
С1
В1
М
6
3
5
В
a
2
4
А1
a
2
С
4. Три медианы
рассекают треугольник на
6 равновеликих частей
S1 = S2 = S 3 = S4 = S5 = S6
Длина медианы треугольника
Задача 1.
Дан треугольник АВC
со сторонами
ВС = а, АС = b, АВ = c.
Найти медиану,
проведенную к стороне ВС
А
с
В
ma
a
2
A1
b
a
2
C
ma
b
c
D
Свойство параллелограмма:
«Сумма квадратов
диагоналей
параллелограмма равна
удвоенной сумме квадратов
его сторон»
Задача 2.
Дан треугольник АВC со
сторонами ВС = 9,
АС = 7, АВ = 8. Найти
медиану, проведенную к
стороне АВ
Решение задач
.
A
6
C1
B1
5
Задача 3.
Медианы треугольника
равны 9, 12 и 15. Найдите
площадь треугольника.
4
M
8
10
3
A1
B
D
∆ BMD: ВМ =8, МD = 6, ВD = 10
SBMD=24, SBMA1 = 12, SABC = 72
C
Свойства биссектрисы треугольника
В
с=8
а=6
4
А
Биссектриса треугольника
делит противоположную
сторону на части,
пропорциональные
прилежащим к ней сторонам
3
Е
b=7
С
Задача 5.
Найти отрезки, на которые биссектриса
угла В треугольника АВС делит сторону
АС, если а = 6, b = 7, c= 8
82  7 2  6 2
11
cos A 

2 8 7
16
ВЕ 2  82  4 2  2  8  4 
ВЕ 2  36, ВЕ  6
11
16
Длина биссектрисы треугольника
В
с
АЕ  х, ЕС  b  x
c
a
cb

 x
x bx
ac
а
lb
А
Е
b2  c2  a 2
cos A 
2bc
С
b
cb
b2  c2  a2
 cb 
2
 c 

  2c
ac
2bc
ac
2
lb
2
2 acp ( p  b)
lb 
,
ac
abc
p
2
Длина биссектрисы треугольника
В
с
2 acp ( p  b)
lb 
,
ac
а
lb
m
А
n
Е
С
b
Задача 6. (МГУ, 2009г. Экон. фак.)
В треугольнике PQR длина биссектрисы
РО равна 6, отношение длин отрезков
QO и OR равно 3:4, периметр
треугольника PQR равен 21. Чему
равен косинус угла QPR?
abc
p
2
lb  ac  mn
Задача 7. стоимостью в 720 р.
(Интернет)
В треугольнике АВС длина стороны
АВ равна 18, длина биссектрисы АЕ
равна 4√15, а длина отрезка ЕС
равна 5. Определите периметр
треугольника АВС.
Задача 6. (МГУ, 2009г. Экон. фак.)
Q
Задача 6. (МГУ, 2009г. Экон. фак.)
3x
3y
В треугольнике PQR длина
биссектрисы РО равна 6, отношение
длин отрезков QO и OR равно 3:4,
периметр треугольника PQR равен 21.
Чему равен косинус угла QPR?
O
4x
P
4y
lb  ac  mn  12 у 2  12 х 2  6
7 х  7 у  21
12 у 2  12 х 2  36  х  1


у  2
х  у  3
R
QR  7 x  7, PQ  3 y  6, PR  4 y  8
PQ 2  PR 2  QR 2 36  64  49 51 17
cos QPR 



2 PQ  PR
2  6 8
96 32
ЧЕВИАНА – ЭТО …..
Путь подражания
Путь опыта
Путь размышления