Элементы векторной алгебры

Элементы векторной
алгебры.
Лекции5-7
a
Вектором
отрезок.
называется
направленный
Обозначают векторы символами a
или AB , где А- начало, а B-конец
направленного отрезка .
В
А
a
Нулевым вектором (обозначается 0 )
называется вектор, начало и конец
которого совпадают.
Расстояние между началом и концом
вектора называется его длиной, или
модулем или абсолютной величиной.
Векторы называются коллинеарными,
если они расположены на одной прямой
или на параллельных прямых
Векторы называются
компланарными, если они параллельны
одной плоскости.
Векторы называются равными,
если они сонаправлены и имеют
равные длины.
Два вектора, имеющие равные длины,
коллинеарные и противоположно
направленные, наз. противоположными.
Вектор, длина которого равна 1,
называется единичным вектором или
ортом.
Ортом вектора a называется
сонаправленный ему вектор и
обозначается
a0
Линейные операции
над векторами
Линейными операциями называют
операции сложения и вычитания
векторов и умножения вектора на
число.
Сложение
векторов
c  ab
Правило треугольника.
c
a
b
Правило параллелограмма
a
c
b
Сумма нескольких векторов
b
c
a
a bcd
d
Вычитание векторов
Разностью векторов a и
называется вектор c  a
b c a
такой, что
c  a b
a
b
b
b
Свойства
abba
a0a
a  (b  c)  (a  b)  c
a  (a)  0
Умножение вектора на число
Произведением вектора a на
действительное число  называется
вектор b (обозначают b   a ),
определяемый следующими условиями:
1. b    a ,
2. b  a
 0 .
при   0 и b  a при
Умножение вектора на число
a
1
 b
2
3a
c
c
b
Свойства
( )a   (  a)   ( a)
(   )a   a   a
 ( a  b)   a   b
1 a  a
(1)  a  a
Отсюда вытекает условие
коллинеарности векторов: два
ненулевых вектора коллинеарны тогда и
только тогда, когда имеет место
равенство
b    a,   0.
Если a 0 орт вектора a , то
a  a  a0
и тогда
a0 
1
a
a
Пример
В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные
части точками M и N.
Пусть CA  a , CB  b, выразить вектор
CM
через
a
b.
и
1
AM  AB,
3
AB  b  a,
Решение
А
M
N
С
В
 
1
CM  CA  AM  a  b  a .
3
Угол между двумя
векторами
Углом между векторами называется
наименьший угол  0      , на который
надо повернуть один из векторов до его
совпадения со вторым.
Под углом между вектором и осью
понимают угол между этим вектором и
единичным вектором, расположенным на
оси
a

l0
l
Проекция вектора
на ось
B
A
l0
A1
)

B1
пр l AB  АВ cos(AB,l )
l
Линейная зависимость
векторов
Векторы a1 , a 2 ,..., a n наз-ся линейно
зависимыми, если существуют числа
1 ,  2 ,...,  n
,не все равные 0, для
которых имеет место равенство
1  a1  2  a2  ...   n  an  0
Векторы
a1 , a2 ,..., an
называются
линейно независимыми, если равенство
1  a1  2  a2  ...   n  an  0
выполняется только при
1   2  ...   n  0
Если векторы линейно зависимы, то
один из них можно выразить через
другие, представив его в виде линейной
комбинации этих векторов.
3
n
2
a 1   a2  a3  ...  an
1
1
1
a1   2 a2   3 a3  ...   n an
 2 a2  3 a3  ...   n an  линейная
комбинация векторов
Для того чтобы векторы были
линейно зависимы, необходимо и
достаточно, чтобы хотя бы один из этих
векторов можно было представить в
виде линейной комбинации остальных.
Всякие три вектора на плоскости
линейно зависимы.
Рассмотрим три вектора на плоскости.
Выразим через один из них другие :
C
B1
B
A
D
D1
AC  AB1  AD1
AB1  1  AB
AD1   2  AD
AC  1 AB  2  AD
Для того чтобы два вектора были
линейно независимы, необходимо и
достаточно, чтобы они были
неколлинеарны.
Для того чтобы три вектора в
пространстве были линейно
независимы, необходимо и достаточно,
чтобы они были некомпланарны.
Максимальное число линейно
независимых векторов на плоскости
равно двум.
Максимальное число линейно
независимых векторов в пространстве
равно трём.
Базис на плоскости и в
пространстве
Базисом на плоскости называют
два любых линейно независимых
вектора.
Т. Разложение любого вектора
на плоскости по базису b, c
является
единственным
a
Базисом в пространстве
называют три любых линейно
независимых вектора.
Т. Разложение любого вектора a
в пространстве по базису b, c, d
является единственным
Прямоугольный декартовый
базис
Z
i  j  k,
i  j  k  1.
i
k
Y
О
j
X
Прямоугольной декартовой системой
координат называется совокупность
точки О и прямоугольного единичного
базиса.
Прямые, проходящие в направлении
базисных векторов , называются осями
координат.
Z
A
k
X
O
a
i
j
Y
Z
D
A
k
X
B
O
a
i
j
Y
C
E
OA  OB  OD  OC
OB  прox a  i
прox a  a x
OC  прoy a  j
прoy a  a y
OD  прoz a  k
прoz a  a z
a  ax  i  a y  j  az  k
Линейные операции над
векторами в
координатной форме
Пусть
a  ax  i  a y  j  az  k
b  bx  i  by  j  bz  k
тогда:
1) a  b  (a x
2)
 bx )  i  (a y  by )  j  (az  bz )  k
a  a x  i  a y  j  a z  k
ax a y az

 
3) a || b 
bx by bz
4)
a  a a a
2
x
2
y
2
z
Вычисление координат вектора
Пусть даны точки
A x1 ; y1 ; z1 
В
А
и
B x2 ; y 2 ; z 2 
Тогда координаты вектора равны
разности координат его конца и начала:
AB   x2  x1 i   y 2  y1  j   z 2  z1 k
Длину вектора вычисляют по формуле
AB 
x
 x1    y 2  y1    z 2  z1 
2
2
2
2
Направляющие
косинусы
Z
M


))
O
X

Y
Пусть дан вектор
a  ax  i  a y  j  az  k
a x  прox a  a cos
a y  прoy a  a cos 
a z  прoz a  a cos
ax
cos 
a
cos  
ay
a
az
cos 
a
2
2
2
cos   cos   cos   1
Координаты единичного
вектора
a0  cos , cos , cos ,
Пример
Найти косинусы углов, которые, вектор AB
составляет с осями координат, если А (1,2,3)
и В (2,4,5).
Решение.
AB  2  1;4  2;5  3  1;2;2,
AB 
12  2 2  2 2  3,
тогда
1
2
2
cos   , cos   , cos  
3
3
3
Деление отрезка в данном
отношении
Пусть точка М делит отрезок АВ в
некотором отношении.
A2  x2 ; y 2 ; z 2 
M  x; y; z 
A1  x1 ; y1 ; z1 
Тогда
A1 M

MA2
x1   x 2
x
1 
y1   y 2
y
1 
z1   z 2
z
1 
Деление отрезка пополам
Если   1 , то A1 M  MA2 , т. е.
точка М –середина отрезка, имеем
x
1  x2
x
2
y
z
1  z2
z
2
y1  y2
2
Скалярное произведение
векторов
Скалярным произведением векторов
называется
произведение
их
модулей на косинус угла между
ними.
a  b  a  b  cos
a  b  a  прa b
a  b  b  прb a
Проекция вектора на вектор
прb a 
a b
b
Физический смысл скалярного
произведения
Работа постоянной силы на
прямолинейном участке пути равна
скалярному произведению вектора
силы на вектор перемещения.
F

A  F e
Геометрические свойства
скалярного произведения
Если векторы взаимно
перпендикулярны, то их скалярное
произведение равно нулю, и если
скалярное произведение ненулевых
векторов равно нулю, то эти векторы
взаимно перпендикулярны.
a  b  ab cos   ab cos

2
 0.
Свойства скалярного
произведения (продолжение)
Скалярный квадрат вектора равен
квадрату его длины
2
a  a
a 
2
a
2
Свойства скалярного
произведения
ab  ba
(a  b)  ( a)  b  a  (b)
Скалярные произведения
базисных векторов
2
2
i i  i  i 1
2
2
2
2
j  j  j  j 1
k  k  k  k 1
i j 0
jk  0
ik  0
Скалярное произведение в
координатной форме.
Если
a  x1  i  y1  j  z1  k , b  x2  i  y2  j  z2  k ,
то
a  b  x1  x2  y1  y2  z1  z2.
Пример
Дан вектор

угол
c  2a  3b , причем
между векторами
a
a 4
b
и
равен
,
b 5
600.
c.
Найти модуль вектора
Решение
с 
Так как
с
2
2
2a  3b 
2

2

a  a  4  16
2
4a
и
2
2
2
 12 a  b  9b .
2
b  b  52  25,
a  b  a b cos  4  5 cos 60 0  10,
то
c 
4 16  12 10  9  25 
409 .
,
Пример
Найти величину угла при вершине А
треугольника с вершинами
A 1,2,4, B 4,2,0, C 3,2,1.
Решение
Изобразим треугольник ABC
AB  AC
cos A 
.
AB  AC
В
AB   4  1;2  2;0  4   3;0;4,
С
А
cos A 
AC  3  1;2  2;1  4  4;0;3.
3  4  0   4    3
9  16  16  9
 0, A 

2
.
Векторное
произведение векторов
Понятие «правой» тройки
векторов
a, b , c
Тройку векторов
называют правой, если
направление вектора c таково, что, смотря из его конца
вдоль вектора, кратчайший поворот от вектора
a
к вектору b будет виден против движения часовой
стрелки.
с
a, b , с
b
- правая тройка
a
Векторным произведением вектора a
на вектор b наз. вектор c  a  b,
удовлетворяющий следующим условиям:
1)
2)
c  a  b  sin 
c
a
c
b
3)векторы образуют правую тройку
Обозначение векторного
произведения векторов
c
c  ab
b

a
Физический смысл векторного
произведения
Если F – сила, приложенная к точке М,
то момент этой силы относительно точки
О равен векторному произведению
векторов F и OM . F
O
M
Векторные произведения
координатных векторов
k
j
i
i  j  k,
j  i  k ,
k  i  j,
i  k   j,
j  k  i.
k  j  i.
Векторное произведение в
координатной форме
i
j
a b  ax ay
bx b y
k
az
bz
Площадь параллелограмма
С помощью векторного произведения
можно вычислить площадь
параллелограмма, построенного на a
и b как на сторонах:
S  a b
Площадь треугольника
1
S  a  b
2
Геометрические свойства
векторного произведения
Если поменять местами сомножители,
то тройка векторов станет левой и тогда
a  b  b  a
Векторное произведение ненулевых
векторов равно нулю тогда и только
тогда, когда векторы коллинеарны.
ab  0  a b
Алгебраические свойства векторного
произведения
Векторное произведение удовлетворяет
( a  b)  c  a  c  b  c
 (a  b)  ( a)  b  a  ( b)
Пример
Найти
2a  3b a  2b,
если
a  2, b  1,   900.
Решение
2a  3b a  2b 
 2a  a   3b  a   4a  b  6b  b  
 7 b  a  7 b  a sin  
 7 1  2  sin 90  14 .
0
Пример
Найти площадь треугольника ABC ,
если известны координаты его вершин:
A 2, 4,6, B0, 2,4, C  5, 8 ,6 .
:
Смешанное произведение
Смешанным произведением трёх
векторов называется произведение
вида :
( a  b)  c
Смешанное произведение
вычисляют по формуле
ax ay az
a bc  b x b y b z
cx cy cz
Известно, что три вектора называются
компланарными, если они лежат в
одной или параллельных плоскостях.
p
a b
n

c
a, b, c  компланарн ы,

m
m, n, p  некомпланарны.
Условие компланарности трёх
векторов
Если
a , b, c
компланарны, то
ax
bx
cx
ay
by
cy
az
bz  0.
cz
Элементами определителя являются координаты
векторов
a , b, c
Объём параллелепипеда
Если параллелепипед построен на трех
векторах как на сторонах , то его объем
равен модулю смешанного
произведения этих векторов:
V  abc
Объём тетраэдра
Тетраэдр, т.е. пирамида , составляет
одну шестую часть параллелепипеда и
поэтому
Vтет
1
 abc
6