Неожиданный способ нахождения площади фигур Янушкевич

Неожиданный способ
нахождения площади фигур
Презентацию подготовили
Ученицы 9 – А класса
Средней школы №3
Посёлка Нахабино
Киструль Дарья
Янушкевич Валерия
Руководитель: Воронина Ирина
Владимировна
Меню
Цель работы
Невозможность
использования способа
разрезания фигур в
некоторых
случаях
Теорема Пика
Title
Add your text
Применение
на практике теоремы
Пика
Доказательство
теоремы Пика
Примеры задач
и их решение
Список
литературы
Цель работы:
1
2
Ознакомить учащихся с более удобным
в некоторых случаях способом
нахождения площади фигур.
Продемонстрировать практическое
использование теоремы Пика.
Меню
Многим известен способ нахождения площади фигур
путём разрезания их на части, площадь которых легко
найти. Но не во всех случаях этот способ удобен.
Возможны ситуации, когда правильные части фигур
выходят слишком маленькие, и их площадь невозможно
вычислить.
Меню
Оказывается, существует ещё одна теорема нахождения
площади фигур, получившая название теорема Пика.
Теорема: Площадь многоугольника, все вершины которого
расположены
в
точках
целочисленной
решетки,
выражаются числом (m +
- 1), где m – количество точек
решетки, находящихся внутри многоугольника, а n –
количество точек решетки, лежащих на его границе.
Меню
Доказательство
Пусть R – число (m +
- 1),
а S – площадь многоугольника.
Доказать: R = S.
Любой многоугольник можно
разрезать на 2, то R=
+
.
Докажем это утверждение.
Пусть (k+2) – точки лежащие на общей стороне
многоугольников, где k – количество внутренних точек
ломаной.
То внутри большого многоугольника будет
m=(
+
+k) точек решётки, где
- точки
лежащие внутри первого, а
- точки внутри второго
многоугольников (рис.1)
Меню
Итак, на границе первого многоугольника будет
(
- k - 2) точек,
а на границе второго многоугольника
(
- k – 2).
Таким образом,
n=2+(
R=m+
=(
- k - 2) + (
-1=(
+
- 1) + (
- k – 2) =
+
+k) + (
+
- 1) =
Меню
+
- 2k -2.
+
- k – 1) -1
+
.
Рассмотрим квадрат со стороной 1(рис.2) :
R=m+
-1
R=0+
- 1 = 1,
так как площадь этого
квадрата равна 1, имеем
R = S.
Теперь рассмотрим прямоугольник, состоящий из
квадратов со стороной 1, где N – их количество(рис. 3).
R = (1 + 1 + … + 1) = N, то R = S. Так как прямоугольник
можно разделить на два прямоугольных треугольника, а те
в свою очередь на любые треугольники, то данное
равенство будет верно для любых треугольников.
Меню
Воспользуемся методом математической индукции. Пусть для
(n – 1) – угольника теорема уже доказана. Докажем, что для nугольника она также верна. Пусть
- такой
n-угольник. Проведём в нём диагональ
(Рис. 4) , которая
может лежать вне многоугольника или в нём. Так как для
(n – 1)-угольника теорема уже доказана, то
R=S. Аналогично
формула верна для
треугольника
Так как
.
,
то R=S.
Теорема доказана.
Меню
Существует множество способов практического
применения теоремы Пика.
Мы рассмотрим лишь некоторые из них.
1
Вычисление площади земельных участков
Меню
Решение:
Воспользуемся теоремой Пика:
(m +
- 1), где m – количество
точек решетки, находящихся
внутри многоугольника, а n –
количество
лежащих
точек
решетки,
его
границе.
на
Подставим значения:
344 + 61 – 1 = 404
Чертёж участка, наложенный
Ответ: S = 404
на целочисленную решетку
Меню
2
Расчёты площадей при строительстве.
Рассчитать площадь крыши здания.
Чертёж крыши
Здание
Меню
Решение:
1) Воспользуемся теоремой Пика:
(m +
- 1), где m – количество
точек
решетки,
внутри
многоугольника,
количество
лежащих
находящихся
точек
на
его
а n
–
решетки,
границе.
Подставим значения:
Чертёж крыши, наложенный на
230 + 49,5 – 1 = 278,5 – площадь
целочисленную решётку
всей крыши.
2) Теперь рассчитаем площадь нужной части фигуры:
278,5 – 27 = 251,5
Ответ: S = 251,5
Меню
3
Решение геометрических задач.
Рассчитайте площадь данной фигуры
Решение
Воспользуемся теоремой Пика:
(m +
- 1), где m – количество точек
решетки, находящихся внутри
многоугольника, а n – количество
точек решетки, лежащих на его
границе.
Подставим значения:
29 + 12,5 – 1 = 40,5 (см2)
Ответ: S = 40,5 см2
Меню
Рассчитать площадь данной фигуры
Воспользуемся теоремой Пика:
(m +
точек
- 1), где m – количество
решетки,
находящихся
внутри многоугольника, а n –
количество
лежащих
точек
на
его
решетки,
границе.
Подставим значения:
37 + 8,5 – 1 = 44,5(см2)
Ответ: S = 44,5(см2)
Меню
Список использованной литературы
1
Геометрия. Дополнительные главы к
учебнику 8 класс
(Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б.
Кадомцев)
2
Демонстрационные работы ЕГЭ 2008-2010 гг
3
Сайт «Википедия» (http://ru.wikipedia.org/wiki)
4
Сайт «MAXimal»
(http://e-maxx.ru/algo/pick_grid_theorem)
Меню
Выход