"Подготовка к ГИА. (Теорема Пифагора)".

Открытый урок в 9 а классе
по геометрии.
Тема урока:
« Подготовка к ГИА.
(Теорема Пифагора)».
16.11.2013
Учитель : Кабанова В.И.
Провели ученики 10 В:
Плаксина Анастасия;
Баринова Алиса.
Этот урок был проведен в 9А
классе с помощью учащихся 10В
класса для успешной подготовки
к ГИА.в рамках Дня открытых
дверей.
Оборудование:
Проектор;
Задачи из сборника Ф.Ф.Лысенко.
Отгадав криптограмму*, вы узнаете
тему нашего урока.
Очень давно, еще до Иисуса,
Не распробовавший жизни вкуса,
Жил один мудрый грек,
Мыслить о жизни считал он не грех.
О математике и философии
Развивал демагогии.
Был он голодный волк,
Ища во всем верный толк.
Теорему одну он вывел однажды,
Толчок для мира это был очень важный,
В честь его ее все прозвали,
В школе ее мы не раз изучали.
Автор: Мишин Денис.
*ребус.
 Ответ: Пифагор.
Тема:
«Подготовка к ГИА.
(Теорема Пифагора.)»
Цель урока:
Повторить теорему Пифагора и удачно подготовиться к ГИА.
Ход урока:
1) Организационный момент.
2) Криптограмма.
3) Повторение теории.
4) Использование теоремы Пифагора в жизни.
5) Закрепление.
6)Самостоятельная работа по группам.
7)Д/з.
8) Рефлексия.
9)Дополнительное задание( тест, кроссворд).
10)Подведение итогов.
Теория.
Определения:
Гипотенуза.
 Треугольник, у которого один
из углов – прямой, называется
прямоугольным.
 Сторона прямоугольного
треугольника, лежащая
против прямого угла,
называется гипотенузой.
 Сторона прямоугольного
треугольника, образующая
прямой угол, называется
катетом.
Катеты.
Источники:
Геометрия. 7-9 классы, Л.С. Атанасян;
ГИА-2012, Ф.Ф. Лысенко
http://th-pif.narod.ru/
Различные способы
доказательства
теоремы Пифагора:
 Доказательство Эйнштейна.
Оно основано на разложении
квадрата, построенного на
гипотенузе, на 8 треугольников.
Доказательство
Бхаскари-Ачарна.
На рисунке изображен квадрат с
выделенными на нем четырьмя
равными прямоугольными
треугольниками.
Именно из такого рисунка исходил в
своем доказательстве в XII веке
индийский математик БхаскариАчарна.
Одно из современных доказательств
теоремы Пифагора.
Формулировка:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.
Q
Дано:
М
К
∆ АВС – прямоугольный,
AB– гипотенуза,
AC и BC – катеты.
A
Доказать:
с² = а² + b²,
где с – гипотенуза,
а и b - катеты.
N
С
B
F
Доказательство:
Q
M
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
По условию теоремы дан ∆ АВС –
прямоугольный.
Достроим ∆ АВС до квадрата CMKF со
стороной (а+b).
Тогда SCMKF = (a+b)² (по третьему
свойству площадей)
Но этот квадрат составлен из четырех
равных прямоугольных треугольников
(треугольники равны, как
прямоугольные по двум катетам) и
квадрата со стороной с.
Тогда S∆ABC = S ∆ AMQ = S ∆ QKN = S ∆
NFB
(по первому свойству площадей).
Но S∆ABC = ab (по теореме о площади
треугольника)
И S∆BAQN = c². (По третьему свойству
площадей)
K
A
N
C
B
F
8.
Значит, SCMKF = 4 * ab + c² (по
второму свойству площадей)
= 2ab + c², т. е. SCMKF = 2ab + c².
9. Но по доказанному из пункта 3, SCMKF
= (a+b)².
10. Значит, (a+b)² = 2ab + c². (по
доказанному из пунктов 8 и 9)
11. Следовательно,
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
(по формуле квадрата суммы)
a² + b² = c²
12. Но с – гипотенуза, а и b – катеты. (по
условию)
13. Следовательно, в прямоугольном
треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов.
Ч. Т. Д.
Q
M
K
A
N
C
B
F
Использование теоремы Пифагора
в жизни.
Теорема Пифагора используется в:
 строительстве
 архитектуре
 при построении молниеотводов
 в мобильных связях
 в литературе.
Использование теоремы Пифагора в
жизни.
Часто возникают задачи пересчета объема в площадь или в
длину и обратная задача - пересчет площади в объем.
Например, доски продаются кубами (кубометрами), а нам
требуется рассчитать, какую площадь стены можно обшить
досками содержащимися в определенном объеме.
Или, известны размеры стены, надо рассчитать число кирпичей.
Устные задачи.
Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его
катеты равны 3 и 4.
Решение:
3² + 4² = 9 + 16 = 25;
√25 = 5.
Как, не выполняя вычислений, найти гипотенузу этого
треугольника?
Как называется такой треугольник?

Найдите один из катетов прямоугольного треугольника, если его
гипотенуза равна 13, а катет 12.
Решение:
13² – 12² = 169 – 144 = 25;
√25 = 5.
Образцы решения задач
(ГИА, Ф. Ф. Лысенко)
№17, стр. 54.
Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
В
Дано:
ABCD – трапеция,
СК – высота,
ВС = 8;
CD = 5;
DK = 3;
АК = 17.
Найти:
S ABCD - ?
А
С
K
D
Решение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
По условию задачи дана трапеция ABCD, где СК - высота.
Рассмотрим ∆CDK – прямоугольный (по определению
прямоугольного треугольника)
А в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов (по теореме Пифагора), т.е. CD²=KD²+CK²
Но KD = 3, CD = 5. (по условию)
Тогда СК²=CD²-KD²=5²-3²=16, CK = 4.
И AD=AK+KD=17+3=20. (по аксиоме измерения отрезков)
7) И площадь трапеции равна произведению полусуммы
ее оснований на высоту, т.е. SABCD=
= (AD+BC)CK. (по теореме о площади трапеции)
8) Тогда SABCD = *(20+8) * 4= 56.
Ответ: 56.
Задачи для самостоятельного
решения
(ГИА, ф. ф. Лысенко)
№16, стр. 121.
Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.
Дано:
ABCD – трапеция, где
АВ=CD=5,
BC=6,
AD=14.
Найти:
SABCD - ?
В
А
С
D
№16, стр. 126.
Найдите площадь ромба, изображенного на рисунке.
В
Дано:
ABCD – ромб, где
AC и BD – диагонали,
О – точка пересечения.
AB=BC=CD=AD=5,
BO = 4,
OC = 3.
Найти:
SABCD - ?
O
А
D
С
Аналогичные задачам из
сборника ГИА, Ф. Ф. Лысенко.
(Составлены ученицей 10В
класса Плаксиной Анастасией)
Дано:
ABCD – трапеция, где
СМ – высота,
ВС = 30,
АМ = 24,
МD = 16,
СD = 20.
Найти:
SABCD - ?
В
А
С
M
D











Решение:
1) По условию задачи дана ABCD – трапеция, где CM – высота.
2) А по аксиоме измерения отрезков AD=AM+MD=24+16=40.
3) Но по теореме Пифагора:
CM=√CD² - MD²
CM=√20²-16²
CM=12
4) И площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту
(по теореме о площади трапеции), т.е.
Sabcd = ½(BC+AD)CM
5) Но BC=30, AM=24, MD=16, CD=20 (по условию)
6) Тогда Sabcd=1/2(BC+AD)CM=70*6=420.
Ответ: Sabcd = 420
Дано:
ABCD – ромб, где
AC и BD – диагонали,
О – точка пересечения.
AB=BC=CD=AD=24,
BO = OD = 7.
В
А
O
Найти:
SABCD - ?
D
С
Решение:
 1) По условию задачи ABCD – ромб, где АС и ВD – диагонали, О –





точка пересечения.
2) А диагонали в ромбе точкой пересечения делятся пополам ( по
свойству диагоналей ромба)
3) Рассмотрим ∆АОВ – прямоугольный (по определению
прямоугольного треугольника)
4) И площадь ромба равна половине произведения его диагоналей
(по теореме о площади ромба), т.е.
Sabcd=AO*OB=7√576=√7²*24²=7*24=168
Ответ: 168
Д/з:
Решите дома задачи, аналогичные устным.
Подготовила ученица 9В класса Зайцева
Анастасия.



а) сумме;
б) произведению;
в) разности.



а) равнобедренном;
б) прямоугольном;
в) остроугольном.



а) 10, 20, 30
б) 3, 4, 5
в) 7, 8, 10
 а) острого угла;
 б) прямого угла;
 в) тупого угла.
 а) 2; 5; 4
 б) 10; 10; 10
 в) 12; 9; 15
 а) 64;
 б) 100;
 в) 10.



а) 32;
б) 16;
в)4 .



а)3 ;
б) 27;
в) 12.



а) 13;
б) 169;
в) 149.
Кроссворд
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
№1.
Площадь … равна произведению его смежных сторон.
Кроссворд.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
П Р Я М
О У
Г
О Л
Ь Н И К
№2.
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против угла в
90°.
Кроссворд.
П Р Я М
Г И П О Т
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
О У Г
Е Н У
О Л Ь Н И К
З А
№3.
Наружный очерк предмета, внешнее очертанье, вид, образ,
стать называется …
Кроссворд.
П Р Я М
Г И П О Т
3) Ф И Г
У
1)
2)
4)
5)
6)
7)
О У Г
Е Н У
Р А
О Л Ь Н И К
З А
№4.
Сторона прямоугольного треугольника, образующая прямой
угол.
Кроссворд.
П
Г И
3) Ф
К А
1)
2)
4)
5)
6)
7)
Р
П
И
Т
Я
О
Г
Е
М
Т
У
Т
О У Г
Е Н У
Р А
О Л Ь Н И К
З А
№5.
Он может быть тупым, прямым, острым или развернутым.
Кроссворд.
П
Г И
3) Ф
К А
У Г
1)
2)
4)
5)
6)
7)
Р
П
И
Т
О
Я
О
Г
Е
Л
М
Т
У
Т
О У Г
Е Н У
Р А
О Л Ь Н И К
З А
№6.
… - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Кроссворд.
1)
2)
Г
3)
4)
5)
6)
К
У
К
7)
П
И
Ф
А
Г
О
Р
П
И
Т
О
С
Я
О
Г
Е
Л
И
М
Т
У
Т
О У Г
Е Н У
Р А
Н У
С
О Л Ь Н И К
З А
№7.
… - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Кроссворд.
1)
2)
Г
3)
4)
5)
6)
К
У
К
7)
П
И
Ф
А
Г
О
Р
Р
П
И
Т
О
С
О
Я
О
Г
Е
Л
И
М
М
Т
У
Т
О У Г
Е Н У
Р А
Н У
Б
С
О Л Ь Н И К
З А
РЕФЛЕКСИЯ:
Вам предлагается оценить свою работу на уроке по 10 балльной
системе, последовательно отвечая на вопросы:
1.Как я усвоил материал?
•получил прочные знания (9 – 10 баллов);
•усвоил новый материал частично (7—8 баллов);
•мало понял, необходимо еще поработать (4—6 баллов).
2.Как я работал?
•работал хорошо (9 – 10 баллов);
•допустил ошибки (7 – 8 баллов);
•не справился со многими заданиями (указать какими) (4 – 6 баллов).
3.Как работала учебная группа?
•дружно все (9 – 10 баллов);
•не все активны (7—8 баллов);
•работа вялая, много ошибок (4 – 6 баллов).
Желаем удачи в сдаче ГИА!
P.S. Предлагаемая разработка
урока может быть использована
не только при изучении теоремы
Пифагора, но и проведении
уроков зачета, смотров знаний,
обобщающего и
интегрированного уроков.