точка касания О - s3.amazonaws.com
реклама
Урок – изучение нового материала Александрова Ирина Михайловна МБОУ "Починковская основная общеобразовательная школа" http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/prezentatsiya-k-uroku-geometrii-v-8-klasse-po-teme-kasatelnaya-k-okruzhnos Взаимное расположение прямой и окружности Возможны три случая 1. Имеют две общие точки ( d<r) р р 2. Имеют одну общую точку (d=r) р 3. Не имеют общих точек (d>r) r – радиус окружности, d – расстояние от центра окружности до прямой с Прямая и окружность имеют две общие точки d r OA Н А В p d 2 (r 2 d 2 ) r ОВ d<r О ОН 2 НА 2 ОН 2 НВ 2 d 2 (r 2 d 2 ) r Точки А и В лежат на окружности, являются общими точками прямой р и окружности Прямая и окружность имеют одну общую точку р Н d=r О М d=r OH=r Точка Н лежит на окружности и является общей точкой прямой и окружности Прямая и окружность не имеют общих точек М Н d>r О р d>r OH>r, OM ≥ OH > r Прямая и окружность не имеют общих точек КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ Определение. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности. р А - точка касания О А Это интересно! . На рисунке точки А, В, С лежат на одной прямой. А В С (О свойстве касательной) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания . р – касательная к Дано: окр(О,ОА), окружности, А – точка касания. О Доказать: р ОА А р 1.Пусть р Доказательство: ОА, тогда ОА – наклонная к прямой р. 2. Так как перпендикуляр , проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. 3. Из пп. 1 и 2 следует прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит условию ( прямая р – касательная ). Поэтому р ОА. Теорема доказана. (Признак касательной) Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна к нему, то она является касательной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому S от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана. Свойство отрезков касательных Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО А 3 В 1 4 2 О По теореме о свойстве касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, т.к. имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ=АС и угол 3= углу 4, что и требовалось доказать. С Каким может быть взаимное расположение прямой и окружности? Как называется прямая, которая имеет с окружностью две общих точки? Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания прямой и окружности? Сформулируйте теорему о свойстве касательной ( к следующему уроку попробуй выучить доказательство). Предлагаем ответить на вопросы теста по изученной теме 1) На рисунке прямая по отношению к окружности А секущая 2) Б касательная С нет правильного ответа Прямая – касательная по отношению к окружности. Она образует с радиусом, проведенным в точку касания угол А острый Б прямой С тупой № 631 а) d < r, прямая и окружность имеют две общие точки, б) d > r, прямая и окружность не имеют общих точек, д) d = r, прямая и окружность имеют одну общую точку Решите задачу. В С М Дано: Окр(О; r), ВМ – касательная, С – точка касания. О 5см Найти: расстояние от точки О до прямой ВМ. Ответ. 5см. Решите задачу А 2см В Дано: Окр(O; r ), АВ – касательная, С В – точка касания, 3см СО=3см, СА=2см. О Найти: АВ ? Решение. 1) ОС=ОВ=3см (радиусы одной окружности). 2) По теореме о свойстве касательной ОВ, По теореме Пифагора найдём АВ, АВ=4см. Ответ. 4см. АОВ – равнобедренный. Дано: Окр (о; r), р – касательная, № 635 АВ – хорда, АВ = r. В О Найти: В ? А ВАО ? Решение. ВАО, ОА=ОВ=АВ=r. Поэтому ренный, и р Ответ. ВАО – равнобед- ВАО=60 ВАО=60
