§13. Прямая в пространстве

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Тема:
Прямая в пространстве
Лектор Ефремова О.Н.
2011 г.
§ 3. Прямая в пространстве
1. Уравнения прямой в пространстве
Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения
любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ℓ .
Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют
одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями
системы уравнений
 A 1x  B 1 y  C 1z  D 1  0 ,
(1)
A x  B y  C z  D  0.
2
2
2
 2
Систему (1) называют общими
пространстве.
уравнениями
прямой
в
Другие формы записи уравнений прямой в пространстве –
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения.
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве,
проходящей через точку M0(x0;y0;z0) параллельно вектору
  {m; n; p}
Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют
направляющим вектором этой прямой.
z
M0
r0
O
x

r
M
y
Уравнение
и систему уравнений
r  r0  t 
(2*)
 x  x0  t  m ,

 y  y0  t  n ,
 z  z0  t  p .
(2)
называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).
Пусть в задаче 1 вектор  не параллелен ни одной из
координатных осей (т.е. m  0, n  0 и p 0).
Уравнения
x  x0 y  y0 z  z0


m
n
p
называют
каноническими
пространстве.
уравнениями
(3)
прямой
в
Частным
случаем
канонических уравнений
являются
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ
ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ.
Пусть прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .
M1
M2
x  x1
y  y1
z  z1


Уравнения
(4)
x 2  x 1 y 2  y1 z2  z1
называют уравнениями прямой, проходящей через две точки
M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .
2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим
Пусть прямая ℓ задана общими уравнениями:
 A 1x  B 1 y  C 1z  D 1  0 ,
(1)
A x  B y  C z  D  0.
2
2
2
 2
Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения
этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и
координаты какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой.
а) Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1).
б) Направляющий вектор   [N1, N2 ],
где N̄1 = {A1; B1; C1} и N̄2 = {A2; B2; C2} – нормальные
векторы к плоскостям 1 и 2 , уравнения которых входят в
общие уравнения прямой.
N1

1
3. Взаимное расположение прямых в пространстве
В пространстве две прямые могут:
а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться.
Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы каноническими уравнениями
x  x 1 y  y1 z  z1
x  x 2 y  y2 z  z2




1 :
, 2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
1) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны.
1
1
2
2
Получаем: прямые параллельны  их направляющие векторы 1  {m1; n1; p1} и 2  {m2 ; n2 ; p2} коллинеарные, т.е.
выполняется условие:
m1 n 1 p 1
  .
m2 n2 p2
2) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются.
1
2
1
M1
M2
2
Получили: прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются  они не
параллельны и для них выполняется
M 1условие
M 2 ,  1, 2  0 ,
(7*)
или, в координатной форме,
x 1  x 2 y 1  y2 z 1  z2
m1
n1
p1  0 .
(7)
m2
n2
p2


3) Если для прямых ℓ1 и ℓ2 не выполняется условие (6) и (7)
((7*)), то прямые скрещиваются.
4. Задачи, связанные с возможным взаимным
расположением прямых
Возможное расположение прямых в пространстве приводит к
следующим задачам:
1) параллельные прямые

расстояние между прямыми
(т.е. расстояние от точки до прямой)?
2) пересекающиеся прямые  а) угол между прямыми?
б) точка пересечения прямых?
3) скрещивающиеся прямые  а) угол между прямыми?
б) расстояние между прямыми?
Пусть даны 2 прямые
x  x1 y  y1 z  z1
1 :


m1
n1
p1
и
x  x2 y  y2 z  z2
2 :


m2
n2
p2
i  {m i ; n i ; p i } – направляющий вектор прямой ℓi ,
Mi(xi;yi;zi) ℓi (i = 1,2).
ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися
прямыми ℓ1 и ℓ2 называется угол между прямой ℓ1 и
проекцией прямой ℓ2 на любую плоскость, проходящую через
прямую ℓ1 .
2
2
1
2
1
1
2
Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между
двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.
Получаем
m1m 2  n1n 2  p1 p 2
( 1, 2 )
cos1, 2  

,
1  2
m12  n12  p12  m22  n 22  p 22
где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для
тупого.
x  x0 y  y0 z  z0
Пусть дана прямая  :


,
m
n
p
M1(x1;y1;z1) – точка, не принадлежащая ℓ .
ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.
Обозначим
  {m; n; p} – направляющий вектор прямой ℓ ,
M0(x0;y0;z0) – точка на прямой ℓ ,
d – расстояние от точки M1 до ℓ .
M1
d
M0
Получаем


d
, M M 
0

1
.
Пусть даны две скрещивающиеся прямые
x  x2 y  y2 z  z2
x  x1 y  y1 z  z1 и
2 :


,
1 :


m2
n2
p2
m1
n1
p1
i  {m i ; n i ; p i } – направляющий вектор прямой ℓi ,
Mi(xi;yi;zi) ℓi (i = 1,2) .
ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между ℓ1 и ℓ2 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися
прямыми называется длина их общего перпендикуляра.
M2
d

2
d
M1
1
1
2
Получаем
Ax 2  By 2  Cz 2  D
,
d
A2  B 2  C 2
где Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости λ ,
M2(x2; y2; z2) – любая точка на прямой ℓ2 .
M2
2

d
1
1
M1
2
Тогда d – высота пирамиды, опущенная из точки M2.
Следовательно,
d
3  Vпир
Sосн

 

1
3   1, 2 , M1M 2
1, 2 , M1M 2
6


.
1
1, 2 
 1, 2 
2
Пусть даны две пересекающиеся прямые
x  x1 y  y1 z  z1
x  x2
y  y 2 z  z2
1 :




и 2 :
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.
Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения прямых.
Тогда (x0;y0;z0) – решение системы уравнений
 x  x1 y  y1 z  z1
 m  n  p ,
1
1
1
x  x
y  y2 z  z 2
2



,
 m2
n2
p2
или
 x  x1  t  m1 ,
 y  y1  t  n1 ,

 z  z1  t  p1 ,
x  x    m ,
2
2

 y  y2    n2 ,
 z  z2    p2 .
5. Взаимное расположение прямой и
плоскости в пространстве
Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ . Они
могут 1) быть параллельны;
2) прямая может лежать в плоскости;
3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
x  x0 y  y0 z  z0
Пусть λ: Ax + By + Cz + D = 0 и  :


.
m
n
p
Тогда N̄ = {A; B; C} – нормальный вектор плоскости λ,
  {m; n; p} – направляющий вектор прямой ℓ .

N
N
N


а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит
плоскости, то
N ,    0
(10)
или в координатной форме
Am + Bn + Cp = 0 .
(11)
Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то прямая и
плоскость пересекаются в одной точке.
б) Если прямая принадлежит плоскости, то координаты любой
ее точки удовлетворяют уравнению плоскости, и,
следовательно, кроме условия (10) ((11)) выполняется условие
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ,
где M0(x0;y0;z0) – любая точка прямой.
Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной
точке является перпендикулярность прямой и плоскости.

N
A B C
В этом случае N  , т.е.
  .
m n p
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой ℓ и плоскостью λ
называется угол φ между прямой ℓ и ее проекцией на
плоскость λ .
Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью
всегда острый.
1
N




M0

Следовательно,
sin   cos 
N, 
N  
.