Параллелограмм и его свойства

Параллелограмм
и его свойства
Матвеева Ольга, 8 класс
Определение
параллелограмма
Параллелограммом называется
четырехугольник, у которого
противолежащие стороны
попарно параллельны.
AB||CD
AD||BC
ABCD Парал
лелогр
амм
D
B
А
H
C
Высотой параллелограмма, проведенной к данной его
стороне, называется перпендикуляр, опущенный из
произвольной точки противолежащей стороны к прямой,
содержащей данную сторону (AH).




Рис. 1. Дано: <1 = <2, <3 = <4.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Рис. 2. Дано: <l = <2 = <3.
Доказать: ABCD - параллелограмм.
Рис. 3. Дано: MN||PQ, <M= <P.
Доказать: MNPQ - параллелограмм.
Рис. 4.Дано: a) <1 = 70°, <3 = 110°, <2 + <3 =
180°; б)<1 = <2, <2 и <4 не равны
Является ли ABCD - параллелограммом?
В учебнике по геометрии даны только
2 свойства параллелограмма:


Противоположные углы и стороны равны
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам
C
D
B
A
∠C =∠A
∠D =∠B
CB=DA CD=BA
CO=OA DO=OB
Свойства параллелограмма
Рассмотрите стороны, углы и диагонали
Теорема.
параллелограмма
и сформулируйте
его свойства.
В параллелограмме противоположные
стороны и противоположные
углы равны.
Что дано по условию теоремы?
Дано: ABCD- параллелограмм.
Что надо доказать?
Доказать: АВ=СD, AD=BC, <B=<D, <A=<C.
Доказательство:
Что помогает доказывать равенство отрезков,
равенство углов?
Как их получить?
1. Проведем диагональ АС. Какие фигуры
появились? Что о них можно сказать?
2. Треугольники ВАС = DCA, т.к.
АС - общая сторона
<1=<2 <3=<4 (как накрест лежащие при
параллельных прямых)
4. Т.к. треугольники ВАС и DCA равны,
то соответствующие стороны АВ=СD, AD=BC
и соответствующие углы <B=<D, <A=<C.
B
C
4
2
1
3
A
D
Свойства параллелограмма
Теорема. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Что дано по условию теоремы?
Дано: ABCD - параллелограмм, О - точка
пересечения АС и ВD.
Что надо доказать?
Доказать: АО=СО, ВО=ОD.
Доказательство:
Что помогает доказывать равенство
отрезков?
1. Треугольники АОВ = CОD, т.к.
АВ=СD (как противоположные стороны
параллелограмма),
<1=<2 <3=<4 (как накрест лежащие при
параллельных прямых)
4. Т.к. треугольники АОВ = CОD,
то соответствующие стороны АО=СО,
ВО=ОD.
B
C
3
1
A
2
О
4
D
Я предлагаю дополнительные свойства:
1. Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°
C
D
B
A
∠C
∠D
∠A
∠B
+∠D
+∠A
+∠B
+∠C
=180 °
= 180°
= 180 °
= 180 °
2. Биссектриса угла параллелограмма отсекает
от него равнобедренный треугольник
3. Биссектрисы противоположных углов
параллелограмма параллельны
4. Биссектрисы соседних углов
параллелограмма пересекаются под прямым
углом
C
N
B
Q
∠DOA=∠NOQ==90°
О
D
A
5. Расстояния от противоположных углов
параллелограмма до одной и той же его
диагонали равны.
C
B
W
CR=AW
R
D
A
Сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна удвоенной сумме
квадратов его смежных сторон.
B
C
D
A
2
2
2
2
AC +BD = 2(AB +BC )