Document 4762578

Приглашение
на вернисаж:
«Многогранники
вокруг нас или этот
многогранный мир»
Бертран Рассел (английский
математик, философ,
общественный деятель).
«Математика владеет не только
истиной, но и высшей красотой красотой отточенной и строгой,
возвышенно чистой и стремящейся
к подлинному совершенству,
которое свойственно лишь
величайшим образцам искусства»
ГЕОМЕТРИЯ
Зал № 1. «Многогранники.
Выпуклые многогранники»
Многогранники
выпуклые
правильные
невыпуклые
полуправильные
простейшие
призма
звездчатые
пирамида
Выпуклый многогранник
называется правильным, если
его грани являются
правильными
многоугольниками с одним и
тем же числом сторон и в
каждой вершине
многогранника сходится одно
и то же число рёбер.
Зал № 2 «Правильные
выпуклые многогранники»
В правильном n-угольнике при
n≥6 угол не меньше 120°. С
другой стороны, при каждой
вершине многогранника должно
быть не менее 3 плоских углов.
Поэтому если бы существовал
правильный многогранник, у
которого грани – правильные nугольники при n≥6, то сумма
плоских углов при каждой
вершине такого многогранника
была бы не меньше чем
120°·3=360º . Но это невозможно,
так как сумма всех плоских углов
при каждой вершине выпуклого
многогранника меньше 360º.
Тетраэдр - правильный
четырехгранник. Он ограничен
четырьмя равносторонними
треугольниками.
ЧИСЛО ГРАНЕЙ – 4
ЧИСЛО РЁБЕР – 6
ЧИСЛО ВЕРШИН – 4
На рис. показано, как получить
тетраэдр, перегибая бумажную
ленту по сторонам расчерченных
на ней равносторонних
треугольников.
сумма плоских углов
при каждой вершине
180°
Гексаэдр - правильный
шестигранник. Это куб
состоящий из шести равных
квадратов, соединенных по
три около каждой вершины.
число граней – 6
число рёбер – 12
число вершин – 8
сумма плоских
углов при каждой
вершине 270°
Грани куба выстраиваются в цепочку, а
чтобы изменить направление ленты
для завершения формообразования,
достаточно перегнуть ее по диагонали
квадрата.
Октаэдр - правильный
восьмигранник. Он состоит
из восьми равносторонних и
равных между собой
треугольников,
соединенных по четыре у
каждой вершины.
число граней – 8
число рёбер – 12
число вершин – 6
Построение октаэдра осуществляется на
основе узора из правильных треугольников.
Свернув кольцо из шести треугольников,
перегибаем ленту в обратную сторону и
продолжаем сворачивать такие же кольца.
сумма плоских
углов при каждой
вершине 240°
назад
Додекаэдр - правильный
двенадцатигранник, состоит из
двенадцати правильных и
равных пятиугольников,
соединенных по три около
каждой вершины.
число граней – 12
число рёбер – 30
число вершин – 20
Сумма плоских углов
при каждой вершине
равна 324°
Икосаэдр - состоит из
20 равносторонних и
равных треугольников,
соединенных по пять
около каждой вершины.
число граней – 20
Построение икосаэдра осуществляется
на основе узора из правильных
треугольников. Свернув кольцо из
число вершин – 12
десяти треугольников, перегибаем
сумма плоских углов ленту в обратную сторону и
при каждой вершине продолжаем сворачивать такие же
кольца.
300°
число рёбер – 30
Правильных многогранников вызывающе
мало, но этот весьма скромный по
численности отряд сумел пробраться в
самые глубины различных наук.
Л. Керролл
Правильные
многогранники иногда
называют Платоновыми
телами, поскольку они
занимают видное место
в философской картине
мира, разработанной
великим мыслителем
Древней Греции
Платоном (ок. 428 – ок.
348 до н.э.).
Зал № 3. «Теорема ДекартаЭйлера»
Правильный Число
многогранник граней
(Г)
тетраэдр
Куб(гексаэд
р)
октаэдр
додекаэдр
икосаэдр
Число
Число
вершин рёбер
(В)
(Р)
Число
граней и
вершин
(Г+В)
Эйлерова
характерис
тика (Г+ВР)
«Сумма числа граней и
вершин равна числу рёбер,
увеличенному на 2», т.е.
Г + В = Р + 2. Эту формулу
называют
Эйлерова
характеристика.
1640 г. формула
подмечена Р. Декартом.
1752 г. вновь открыта
Эйлером, с тех пор и
носит его имя.
Зал № 4. «Правильные
многогранники в живой природе»
Скелет одноклеточного организма
феодарии (Circogonia icosahedra)
по форме напоминает икосаэдр.
Большинство феодарий живут на
морской глубине и служат добычей
коралловых рыбок. Но простейшее
животное пытается себя защитить:
из 12 вершин скелета выходят 12
полых игл. На концах игл
находятся зубцы, делающие иглу
еще более эффективной при
защите.
Икосаэдр оказался в центре внимания биологов,
в их спорах относительно формы вирусов.
вирус
полиомиелита
Вирус не может быть
совершенно круглым, как
считалось ранее. Чтобы
установить его форму, брали
различные многогранники,
направляли на них свет под
теми же углами, что и поток
атомов на вирус. Оказалось,
что только один многогранник
дает точно такую же тень икосаэдр.
Зал № 5. «Многогранники
и кристаллы»
Правильные многогранники - самые выгодные
фигуры. И природа этим широко пользуется.
Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют
форму правильных многогранников:
фосфорноват
истая кислота
(Н3РО2)
кристаллы
поваренной
соли NaCl
Зал № 6. «Многогранники
в искусстве»
В эпоху Возрождения
большой интерес к
формам правильных
многогранников проявили
скульпторы. Знаменитый
художник, увлекавшийся
геометрией Альбрехт
Дюрер (1471- 1528) , в
известной гравюре
''Меланхолия '‘ на
переднем плане изобразил
додекаэдр.
Великий ученый и
изобретатель эпохи
Возрождения
Леонардо да Винчи
(1452 – 1519),
неоднократно на своих
полотнах изображал
многогранники и
другие
симметричные
фигуры.
Изображения Леонардо да
Винчи додекаэдра методом
жестких ребер и сплошных
граней
В список крупнейших
мастеров эпохи
Возрождения, часто
изображавших и
глубоко изучивших
геометрию
многогранников
кроме Леонардо да
Винчи можно по праву
внести:
Альбрехта Дюрера
(1471 – 1528)
Пьеро де ла Франческа
(около 1420 – 1492)
Многогранник
Альбрехта Дюрера
(1471 – 1528)
Картина Сальвадора Дали
(1904 – 1989)
«Тайная вечеря». XX век.
Зал № 7. Реставрационная
мастерская
Задача: Определите
количество граней,
вершин и рёбер
многогранника,
изображенного на
рисунке. Проверьте
выполнимость
формулы Эйлера для
данного многогранника
В своих философских
теориях
правильные многогранники
использовали:
Кеплер
Архимед
Евклид
Пифагор
Платон
ролик
Домашнее задание:
Однажды обыкновенный английский мальчик
Джеймс, увлекшись изготовлением моделей
многогранников, написал в письме к отцу: «…я
сделал тетраэдр, додекаэдр и ещё два эдра, для
которых не знаю правильного названия». Эти
слова ознаменовали рождение в пока ничем не
примечательном мальчике великого физика
Джеймса Кларка Максвелла. Думаю, что и вас, и
ваших родных увлечёт изготовление моделей
геометрических тел. Изготовьте модель
пчелиной ячейки.