Презентация №7

ЕГЭ 2015

В треугольнике ABC
высоту AH.
,
. Найдите
∆АВС - равнобедренный
С
Следовательно:
Sin BAC = sin ABC = 0.25 = ¼
Найти АН можно из прямоугольного ∆ АВН
4 15
15 ;
4 15
В этом треугольнике известно, что sinАВС = ¼
H.
A
B
Р
15
30
АН 1
sinАВС = ─ = ─
АВ 4
Найдем ½ АВ из прямоугольного ∆ АСР, где СР -высота.
СР
1
=
─
Sin BAC = ─ = ─
4
АС 4√15
По теореме Пифагора найдем АР:
АР2 = 152;
АР = 15; АВ = 30;
АН 1
=─
АН =7,5
4
30
─
СР
═> СР = √15
АР2 = АС2 – СР2,
АР2 =(4√15)2 – (√15)2,
Ответ: 7,5
2
В треугольнике ABC АС=ВС=27, AH — высота, sin BAC 
3
Найдите BH.
1 способ решения:
C
sin BAC  sin ABC 
2
т .к.ВАС  АВС , ∆ АВС - равнобедренный
3
СР – высота в равнобедренном треугольнике.
27
27
18
Н
ВСР : sin АВС 
СР СР 2 х


 3 х  27  х  9  СР  18
СВ 27 3 х
Используем теорему Пифагора для прямоугольного ∆СРВ :
A
Р
B
РВ  27 2  18 2  ( 27  18)( 27  18)  9  45  9 5  АВ  18 5
АВН : sin АВС 
18√5
По теореме
Пифагора:
ВН 
АН
АН
2х


 х  6 5  АН  12 5
АВ 18 5 3 х
АВ 2  АН 2  (18 5 ) 2  (12 5 ) 2 
 (6 2  3 2  5)  (6 2  2 2  5)  (6 2  5)  (9  4)  30
СВ˂НВ ═> ∆АВС - тупоугольный
Смотри 2 способ решения:
Ответ: 30
В треугольнике АВС СD — медиана, угол АСВ равен 90о , угол В
равен 58о. Найдите угол АСD. Ответ дайте в градусах.
СD = DB
32?о
∆ BСD - равнобедренный
58о
∟АСD = 90о – 58о
∟АСD = 32о
58о
Ответ: 32
Два угла треугольника равны 58о и 72о . Найдите тупой угол,
который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин
этих углов. Ответ дайте в градусах.
В ∆ АВD => ∟DАВ = 90о – 72о = 18о
В ∆ АВЕ => ∟ЕВА = 90о – 58о = 32о
В ∆ АОВ: ∟ОАВ =18о и ∟ОВА =32о
оо
5818
32о
72о
Следовательно ∟АОВ = 180о – 18о – 32о = 130о
Ответ: 130
Два угла треугольника равны 107о и 60о . Найдите тупой угол,
который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин
этих углов. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим ∆АВС
<АСВ = 180о - 107о – 60о = 13о
В прямоугольном ∆ СВЕ : <СВЕ = 90о - 13о = 77о
C
∆ СВЕ ≈ ∆ ОВD
13о
D
107о
А
O
13о
167о
В прямоугольном ∆ ОВD : <DОВ = 90о - 77о = 13о
60оо
77
B
E
Искомый угол: 180о – 13о = 167о
Ответ: 167
Острый угол прямоугольного треугольника равен 32о . Найдите
острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого
углов треугольника. Ответ дайте в градусах.
АD – биссектриса угла САВ
СЕ – биссектриса прямого угла АСВ
В ∆ АОС: ∟АОС = 180о – 16о – 45о = 119о
45о
16о
32о
16о
45о
∟АОЕ = 180о – 119о = 61о
61о
Ответ: 61
В треугольнике ABC CH — высота, AD — биссектриса, O— точка
пересечения прямых CH и AD , угол BAD равен 26o. Найдите
угол AOC. Ответ дайте в градусах.
2 способ решения:
1 способ решения:
38о
?
о
26o 52
∆ АОН - прямоугольный
∟ АОН = 90о – 26о = 64о ;
∟СОН = 180о - развернутый
∟АОС = 180о – 64о = 116о
В ∆АОС:
AD – биссектриса.
∟ А = 2∙26о = 52о
∟С = 90о – 52о = 38о
∟АОС = 180о – 26о – 38о = 116о
64о
26o
Ответ:116
В треугольнике ABC угол A равен 44o, угол C равен 62o. На
продолжении стороны AB отложен отрезок BD = BC. Найдите
угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.
В ∆ ABC угол AВС равен
180o – 62o – 44o = 74o
По условию ∆ BCD равнобедренный
62o х
44o
74o
Внешний угол треугольника равен сумме
двух внутренних углов, не смежных с ним
хo
37
∟АВС = ∟ВСD + ∟CDB
74o = х + х
74o = 2х
х = 37o
Ответ: 37
•
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и
биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен
21о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в
градусах.
1 способ решения.
CD - биссектриса
∟ACD = ∟BCD = 90о : 2 = 45о ,
В прямоугольном ∆ АСН: ∟АСН = 45о + 21о = 66о
45о
66о
∟ACB = 90o
СН - высота
21о
45о
Искомый угол: ∟А = 90о – 66о = 24о
24о
?
66о
2 способ решения.
В прямоугольном ∆ ВСН:
∟ВСН = 45о – 21о = 24о
∟СВН = 90о – 24о = 66о
В прямоугольном ∆ АВС:
Искомый угол: ∟А = 90о – 66о = 24о
66о ˃ 24о
Ответ: 24

Острые углы прямоугольного треугольника равны 24о и 66о.
Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из
вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
66о
42о
24о
СМ - медиана
24о
АМ = СМ => ∟А = ∟АСМ = 24о
66о
66о
24о
∆ АСН - прямоугольный
∟АСН = 90о – 24о = 66о
Искомый угол : ∟МСН = 66о – 24о = 42о
ИЛИ
СМ = ВМ => ∟В = ∟ВСМ = 66о
∆ ВСН - прямоугольный
∟ВСН = 90о – 66о = 24о
Искомый угол : ∟МСН = 66о – 24о = 42о
Ответ: 42
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и
медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен
40о. Найдите больший из острых углов этого треугольника.
Ответ дайте в градусах.
∟СМН = 90о – 40о = 50о
∆ МСН - прямоугольный
АМ = СМ
=>
∆ АСМ - равнобедренный
∟АМС = 180о – 50о = 130о
40о
25о
130о
В ∆ АМС:
∟А = (180о – 130о ):2 = 25о
∆ АВС - прямоугольный.
50о
65о
ИЛИ
ВМ = СМ
∟МВС = ∟ВСМ = (180о – 50о ):2 = 65о
Внешний угол треугольника равен сумме
двух внутренних углов, не смежных с ним
Искомый угол равен: 130о : 2 = 65о
∟В = 90о – 25о = 65о
∆ ВСМ - равнобедренный
ИЛИ
∟АМС =130о - внешний угол
Ответ: 65
Острые углы прямоугольного треугольника равны 24о и 66о.
Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными
из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
СМ – медиана треугольника АВС
∆ АСМ – равнобедренный. ∟АСМ = ∟МАС = 24о
СD – биссектриса прямого угла.
∟АСD = 45о
45о – 24о = 21о – искомый угол
ИЛИ
24о 66о
45о
24о
∆ МСВ - равнобедренный
45о
66о
∟В = ∟ВСМ = 66о
66о – 45о = 21о – искомый угол
Ответ: 21
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного
треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен
14о. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в
градусах.
СD
В ∆ МВС: ∟MCB =14о + 45о = 59о
∆ МВС – равнобедренный.
∟МВС = 59о
∆ АВС – прямоугольный
59о
45о
31о
∟ВАС = 90о – 59о = 31о
59о
31о ˂ 59о
Ответ: 31
В треугольнике АВС угол В равен 45о, угол С равен 85о, АD —
биссектриса, E — такая точка на АВ, что АЕ =АС. Найдите угол
ВDЕ . Ответ дайте в градусах.
АD — биссектриса, следовательно
∟САD = ∟ЕАD
АС = АЕ (по условию)
АD общая сторона
85о
40о
85о 95 о 45о
∆ АСD = ∆ АЕD
По двум сторонам и
углу между ними
∟АЕD = ∟АСD =85о
∟DЕВ = 180о - 85о = 95о
∟ВDЕ =180о – 95о – 45о = 40о
Ответ: 40
В треугольнике АВС угол А равен 30о, угол В равен 86о, CD —
биссектриса внешнего угла при вершине C , причем точка D
лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C
выбрана такая точка E, что CE = CB . Найдите угол BDE. Ответ
дайте в градусах.
∟ВСЕ – внешний угол ∆ АВС при вершине С
94о
2
116о
1
30о
Внешний угол ВСЕ треугольника АВС
равен сумме внутренних, с ним не
смежных (∟А + ∟В)
∟ВСЕ = 30о + 86о = 116о
Смежный ∟СВD = 180о – 86о = 94о
Сумма внутренних углов
во всяком выпуклом
четырехугольнике (ВСЕD)
равна 360о
86о 94о
CD-биссектриса угла ВСЕ: ∟1 = ∟2
ВС=ЕС – по условию
СD-общая
∟ВDЕ = 360о – (94о ٠ 2+ 116о) = 56о
∆ ВСD = ∆ ECD по двум сторонам и углу между ними
Ответ: 56
В треугольнике ABC угол A равен 60о, угол B равен 82о . AD, BE
и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол
AOF. Ответ дайте в градусах.
∟АСВ = 180о – 60о - 82о = 38о
AD, BE и CF — биссектрисы, то
19о 19о
∟АСF = ∟BCF = 38о : 2 = 19о
∟САО = ∟ВАО = 60о : 2 = 30о
∟АВО = ∟СВО = 82о : 2 = 41о
30о
60о30о
49о
41о
о
41о 82
1 способ: как дополнительный угол для ∟АОС
∆ АОС: ∟АОС = 180о – 30о – 19о = 131о
∟AOF = 180о – 131о = 49о
∟AOF можно найти: 1) как дополнительный угол для угла АОС
2) Из треугольника АОF
3) Внешний угол ∆ АОС равен сумме
двух внутренних углов, не смежных с ним
Ответ: 49
В треугольнике ABC угол A равен 60о, угол B равен 82о. AD, BE и
CF — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF.
Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим прямоугольный ∆ АDB
∟DАВ = 90о – 82о = 8о
Рассмотрим прямоугольный ∆ АОF
∟АОF = 90о – 8о = 82о
Если заметить, что прямоугольные ∆ АDB и ∆ АОF
подобны по острому углу ∟DАВ, то можно сразу
ответить на вопрос задачи: ∟АОF = 82о
60о 8о
82о
Ответ: 82
На рисунке угол 1 равен 46о, угол 2 равен 30о, угол 3 равен 44о.
Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим первый треугольник.
180о – 46о - 44о = 90о
Рассмотрим второй треугольник.
30о
180о – 46о - 30о = 104о
Рассмотрим четырехугольник.
90о
46о
Сумма внутренних углов во всяком выпуклом
Четырехугольнике равна 360о
104о
44о
360о – 104о – 90о – 46о = 120о
∟4 = 120о
Ответ: 120

АС и BD— диаметры окружности с центром О. Угол АСВ
равен 38о. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
∆ ВОС равнобедренный. ОС = ОВ = R,
следовательно…
∟ВСО = ∟СВО = 38о
∆ ОСВ : ∟СОВ + ∟ОСВ + ∟СВО = 180о
38
о
∟СОВ = 180о – 38о - 38 о
∟СОВ = 104о
∟AOD = ∟COB - как вертикальные
Ответ: 104
∟AOD =104о
Центральный угол на 36о больше острого вписанного угла,
опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный
угол. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол АСВ составляет половину
центрального АОВ, опирающегося на туже дугу
АВ
Пусть ∟АСВ = х
х
Тогда ∟АОВ = х + 36о
Так как ∟АОВ = 2∟АСВ, то
х + 36о =
2х
х = 36о
Ответ: 36
Найдите хорду, на которую опирается угол 30о , вписанный в
окружность радиуса 28.
Вписанный угол АВС составляет половину
центрального АОС, опирающегося на туже дугу АС
Дуга АС =2·30о =
60о
∟АОС = 60о. Следовательно ∆АОС равносторонний
30о
R
R
R
Хорда АС = R = 28
Ответ: 28