На страницу PowerPoint

В VI-V веках до н.э.
в трёх великих цивилизациях древности
практически одновременно
возникли философские школы.
Вернуться к оглавлению
ВОПРОС 3-1
Какие философские школы
были основаны в Китае в это время?
ВОПРОС 3-2
Конфуций говорил, что в пятнадцать лет он обратил
свои помыслы к учёбе, а в сорок – освободился от
сомнений.
В каком возрасте Конфуций, по его словам, научился
отличать правду от лжи?
ВОПРОС 3-3
Какие философские учения возникли в это время в
Индии?
Вернуться к оглавлению
Греческая цивилизация была единственной,
в которой математика возникла как наука.
ВОПРОС 3-4
Какие философские школы возникли в Греции?
Назовите их основателей.
Вернуться к оглавлению
Приступая к рассмотрению вопроса о корнях
геометрии как теоретической дисциплины,
вспомним о том:
ВОПРОС 3-5
а) Что древние греки называли теорией?
б) Что древние греки называли теоремой?
в) Что древние греки называли леммой?
Вернуться к оглавлению
В геометрии VI-V веков еще не было сложившейся системы аксиом.
Некоторые факты
изначально представлялись
очевидными, например:
Некоторые становились
очевидными после дополнительных
построений, например:
равенство углов при основании
равнобедренного треугольника.
сумма углов треугольника
равна двум прямым.
Такие же факты, как
несоизмеримость диагонали
соприкосновение окружности
и
и стороны квадрата
с прямой ровно в одной точке,
очевидными считаться никак не могли.
Вернуться к оглавлению
ВОПРОС 3-6
Окружность и прямая имеют единственную общую
точку. Это утверждение казалось ложным некоторым
древнегреческим философам.
а) Согласно школе Пифагора, имеется десять
начал всего существующего: нечётное и
чётное, квадратное и продолговатое и т.д.
Как на основе этой таблицы противоположностей
пифагорейцы могли обосновывать (или
опровергать) данное утверждение?
б) Протагор отождествлял знание с ощущением.
Свидетельствует ли подобное воззрение в
пользу касания окружности и прямой в одной
точке?
в) Демокрит утверждал, что всё состоит из атомов.
Что мог он написать по вопросу касания круга и
прямой?
Вернуться к оглавлению
ВОПРОС 3-7
Это – портрет учёного, полагавшего,
что всё состоит из воды.
а) Как его звали?
б) Укажите примерные годы его жизни.
в) Из какого города он был родом?
г) Почему греческий учёный жил в Малой Азии?
д) Что известно о жизни этого учёного?
е) Какие политические события происходили в Аттике
(и/или ещё где-нибудь) при его жизни?
Вернуться к оглавлению
В VI-V веках до нашей эры
ещё не было аксиом,
описывающих прямую и плоскость.
Геометрия развивалась
на реальных поверхностях,
на которых могли быть неровности.
ВОПРОС 3-8
а) Какими методами мог пользоваться Фалес
для доказательства равенства углов при
основании равнобедренного треугольника
и второго признака равенства треугольников?
б) Почему он не мог бы доказать первый признак
равенства треугольников?
Вернуться к оглавлению
ВОПРОС 3-9
Учёному, изображённому на этом портрете,
приписывают слова: «Всё есть число».
а) Как его звали?
б) Укажите примерные годы его жизни.
в) Какие драматические события происходили
в жизни самого учёного?
Почему ему пришлось покинуть Самос?
г) Какие политические события происходили
во время жизни этого учёного?
Вернуться к оглавлению
Вероятнее всего, этот учёный был причастен
к созданию:
• теории пропорций;
• учения о чётных и нечётных числах;
• теоремы о соотношении сторон
в прямоугольном треугольнике;
• метода определения числовых троек;
• теории фигурных чисел.
ВОПРОС 3-10
Как доказать теорему о соотношении сторон
прямоугольного треугольника, исходя из его теории
пропорций?
ВОПРОС 3-11
Какие числа назывались треугольными?
Какие – прямоугольными?
ВОПРОС 3-12
Докажите, что прямоугольное число равно
удвоенному треугольному.
Вернуться к оглавлению
Со времён Аристотеля
в логике применяется
закон исключённого третьего,
на основании которого строится
доказательство от противного.
Некоторые современные
математики и философы
находят его недопустимым.
Можно ли без него обойтись
при решении следующей задачи?
Вернуться к оглавлению
Из пифагорейской арифметики
ВОПРОС 3-13
Рассмотрим произвольное число, равное
произведению двух последовательных натуральных
чисел, т.е. число вида n∙(n+1).
Как, используя геометрическое представление числа
n∙(n+1) счётными камешками, показать, что оно
является чётным, т.е. что соответствующая
конфигурация камешков всегда делится на две
равные части?
Следует искать такой способ деления числа n∙(n+1) на
две равные части, который был бы универсальным,
т.е. не зависящим от чётности или нечётности числа n
(предположение о чётности либо нечётности числа n
равносильно применению закона исключённого
третьего).
Вернуться к оглавлению
В «Началах» Евклид систематизировал
основные факты, известные
к этому времени математической науке.
ВОПРОС 3-14
Сравните аксиомы и постулаты Евклида
с аксиомами в современных учебниках
геометрии.
ВОПРОС 3-15
Найдите три теоремы, которые доказываются так же,
как и в современных учебниках.
ВОПРОС 3-16
Попробуйте найти постулаты или аксиомы, не
соответствующие современным математически
представлениям.
Вернуться к оглавлению
Задача на экстремум из VI книги «Начал» Евклида
Из всех параллелограммов,
вписанных в данный треугольник,
наибольшую площадь имеет тот,
основание которого равно
половине основания треугольника.
ВОПРОС 3-17
Как решить её без помощи производной?
Вернуться к оглавлению
ВОПРОС 3-18
Назовите сочинение Архимеда, в котором
он пытался подсчитать число песчинок,
которое потребовалось бы для заполнения
Вселенной.
ВОПРОС 3-19
Как ему это удалось, если принять во
внимание, что буквенная нумерация
греков давала возможность записи чисел
только до 106?
ВОПРОС 3-20
Известно, что Архимед вычислял значение числа 
вписывая в окружность и описывая около неё
правильные 6-, 12-, 24-, 48- и 96-угольники.
Попробуйте повторить вычисления Архимеда,
пользуясь современной компьютерной техникой.
Вычислите как можно больше десятичных знаков ?
Вернуться к оглавлению
Конические сечения были открыты
древнегреческим математиком
Менехмом и исследованы
Аполлонием Пергским.
В своей книге «Конические сечения»
он рассматривал сечения конуса
произвольными плоскостями
и сформулировал теоремы,
определяющие, в каком случае
сечение будет эллипсом,
гиперболой или параболой.
Изящное доказательство этих теорем
было предложено в 1822 году
французским инженером Данделеном.
Идею этого доказательства
можно понять из рисунка.
Вернуться к оглавлению
ВОПРОС 3-21
Попробуйте закончить доказательство.
ВОПРОС 3-22
Две окружности одинакового радиуса касаются друг
друга. Вокруг этих окружностей описан эллипс, при этом
окружности касаются эллипса в концах его большой оси,
а эллипс имеет наименьшую малую ось, такую что
окружности целиком лежат внутри него.
Вернуться к оглавлению
Найдите отношение квадратов большой и малой осей
эллипса.
(Эта задача была вырезана на деревянной доске, подаренной
неизвестным японским автором в синтоистский храм
в префектуре Мияги в 1843 г.)
Попробуйте решить её чисто геометрически, не прибегая
к сложным алгебраическим вычислениям.