На страницу PowerPoint

Прибытие этого учёного
в 1727 году в Петербург определило
будущее российской математики.
ВОПРОС 5-1
Как звали этого человека?
ВОПРОС 5-2
Откуда он прибыл?
ВОПРОС 5-3
а) В царствование какой императрицы
этот учёный впервые прибыл
в Петербург?
б) Какая императрица вступила на
российский трон в тот год, когда
он покинул Петербург?
в) В царствование какой императрицы
он вернулся в Петербург?
Вернуться к оглавлению
Хорошо известна задача Эйлера о мостах.
ВОПРОС 5-4
На рисунке изображена воображаемая река, через
которую переброшено произвольное число мостов.
Рассмотрим всевозможные маршруты, проходящие
ровно по одному разу по каждому из мостов (такие
маршруты называются эйлеровыми).
В каком городе и на какой реке эти мосты
находились?
Вернуться к оглавлению
ВОПРОС 5-5
а) Каким образом, используя буквы на рисунке, можно
однозначно закодировать эйлеров маршрут? (Именно
так решал эти задачи Эйлер).
б) В чём различие между кодами, составленными для
разного числа мостов?
в) Решите аналогичную задачу для
следующей конфигурации
рукавов реки и мостов (число
мостов на каждом из трёх рукавов
реки произвольно).
г) При каком числе мостов на каждом
из рукавов реки возможен эйлеров
маршрут? Обратите внимание на
начало и конец маршрута.
Вернуться к оглавлению
Суммы бесконечных рядов
Нахождению сумм бесконечных рядов уделялось
много внимания в математике, начиная с древней Греции.
Греки знали только убывающую геометрическую прогрессию.
Нахождение сумм других бесконечных рядов
появляется лишь в схоластической литературе.
ВОПРОС 5-6
Найдите сумму бесконечного ряда
1
2
7
 24  83  164  325  646  128
...
(Эту задачу поставил и решил в 1350 г. английский
учёный Ричард Суайнсхед).
Вернуться к оглавлению
В XVIII веке с развитием математического анализа
ряды стали одним из мощнейших средств этой науки.
ВОПРОС 5-7
Вам известно, каким образом вычисляются суммы
арифметической и геометрической прогрессий.
Попробуйте объяснить, почему при помощи
аналогичных методов невозможно найти
сумму бесконечного гармонического ряда.
Вернуться к оглавлению
Леонард Эйлер виртуозно работал с рядами и бесконечными
произведениями. Он рассматривал бесконечные ряды
как многочлены бесконечной степени.
ВОПРОС 5-8
Попробуйте, используя разложение в ряд
sin x
x2 x4
1

 ...
x
3! 5!
и формулу разложения многочлена n-й степени
p( x )  a0  a1 x  ...a n x n
с n корнями x1, x2, … xn на множители

x 
x 
x
p( x )  a0 1  1  ...1  
x1 
x2  
xn 

доказать, что
1
1
2
1  2  ...  2  ... 
2
n
6 .
Вернуться к оглавлению
ВОПРОС 5-9
Проверьте численно, используя компьютерную технику,
приближённые равенства:
1 1
1 2
 2  ...  2 
,
2
1 2
n
6
1 1
1 4
 4  ...  4 
,
4
1 2
n
90
1 1
1
6
 6  ...  6 
6
1 2
n
945
С помощью численных экспериментов (их результаты
тем точнее, чем больше n) угадайте продолжения этих
равенств; при этом будет продолжен ряд рациональных
чисел
1 1 1
, ,
,...
6 90 945
.
Вернуться к оглавлению
Обстоятельства не позволили
этому учёному
стать великим математиком.
ВОПРОС 5-10
а) Кто этот учёный?
б) Что помешало ему стать математиком?
в) Что наполняло его душу благоговением?
ВОПРОС 5-11
Текст с ошибками (←гиперссылка)
(найдите ошибке в следующем тексте)
Вернуться к оглавлению