Всероссийский фестиваль педагогического творчества (2014 - 2015 уч. год) Номинация: Проектная и творческая деятельность учащихся (математика и физика) Название работы: Новые выявленные признаки равенства треугольников Автор: Ситников Андрей Александрович, 7 класс. Руководитель: Симакова Татьяна Александровна Автор: Ситников Андрей, ученик 7 класса «З» ГБОУ Школа №1794. Руководитель: Симакова Т.А., учитель математики ГБОУ Школа №1794. ВВЕДЕНИЕ Великий учёный Михаил Ломоносов призывал: « Старайся дать уму как можно больше пищи…». К этому сегодня стремиться каждый, кто хочет быть полезным обществу. Желание найти новые признаки равенства треугольников, научиться решать и доказывать более сложные задания, предлагаемые нашим учителем, побудило меня искать ответы на вопросы. И вот получилась работа, которую я предлагаю вашему вниманию и надеюсь будет полезна всем, кто интересуется вопросами математики. В учебнике геометрии 7 - 9 класса (авт. Л.С. Атанасян и др.) представлено три признака равенства треугольников. На уроке геометрии мы доказали 6 признаков равенства треугольников с использованием основных отрезков в треугольнике (медиана, биссектриса, высота). Меня заинтересовала эта тема, и я решил расширить теоретическую базу и выявил новые признаки равенства треугольников. В данной работе формулируются и доказываются 17 утверждений, которые можно рассматривать как новые признаки равенства треугольников. Новые признаки равенства треугольников с использованием : биссектрисы - 3, медианы - 5, высоты - 9. ПРОБЛЕМА Учащиеся испытывают сложности при изучении темы «Признаки треугольников» в курсе геометрии. АКТУАЛЬНОСТЬ Применение новых выявленных признаков треугольников при решении задач. ЦЕЛЬ Сформулировать и доказать новые признаки равенства треугольников, используя понятия: биссектрисы, медианы и высоты. ОБЪЕКТ Треугольники. ПРЕДМЕТ Признаки треугольников. ГИПОТЕЗА При применении новых выявленных признаков треугольников возникают расширенные возможности для решения геометрических задач по улучшению усвоения данной темы. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ В результате выполнения исследовательской работы были выявлены и доказаны 17 признаков равенства треугольников Расширить круг интересов к исследовательской деятельности; Научиться искать пути решения; Приобрести опыт работы с научноисследовательскими методами; Формировать навыки самостоятельной работы; Воспитать культуру исследовательской деятельности. Для достижения цели, поставленной в работе были выбраны средства и методы исследования: Общенаучный (теоретический); Метод сравнения; Статистический метод; Графический метод; Технологический метод (ИКТ). Признаки равенства треугольников Выявленные признаки равенства треугольников Новые выявленные признаки равенства треугольников 1 По двум сторонам и углу между ними; 2 По стороне и двум углам прилежащим к ней; 3 По трем сторонам; 1 По двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них; 2 По стороне, медиане, проведенной к другой стороне, и углу между стороной и медианой; 3 4 5 6 По стороне, прилежащему углу и его биссектрисе; По стороне, прилежащему углу и высоте, проведенной к данной стороне; По двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне; По стороне, прилежащему и противолежащему углам; С использованием медианы С использованием высоты С использованием биссектрисы 1 По двум сторонам и медиане, проведенной из конца одной стороны к другой стороне; 2 По медиане, стороне и углу между медианой и стороной с вершиной в середине этой стороны; 3 По медиане, стороне и углу между ними; 4 По медиане и двум углам, образованных двумя сторонами и этой медианой; 5 По трем медианам; 1 По стороне, прилежащему углу и высоте, проведенной из вершины этого угла; 2 По углу, высоте, проведённой из вершины этого угла, и проекции стороны, прилежащей к этому углу; 3 По двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла; 4 По двум углам и высоте, проведенной из вершины одного из них; 5 По высоте и двум острым углам, прилежащих к ней; 6 По стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной не из вершины этого угла; 7 6 По углу и двум высотам; 8 По стороне и двум высотам; 9 По стороне, высоте и углу между высотой и другой стороной; 1 По стороне, прилежащему углу и биссектрисе , выходящей из этого угла; 2 По углу, выходящей из этого угла биссектрисе и углу между этой биссектрисой и стороной; 3 По двум углам и биссектрисе, выходящей из вершины одного из них; 1 Если в треугольнике две стороны и медиана, проведенная из конца одной стороны к другой стороне, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной из конца одной стороны к другой стороне в другом треугольнике, то такие треугольники равны. А A1 B1 B F C F1 C1 Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AC = A1C1 AF=A1F1 – медианы BC=B1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1 Доказательство: 1. ∆AFC = ∆A1F1C1 (по трем сторонам) Из равенства треугольников AСB=A1С1B1 2. ∆ABC = ∆ A1B1C1 по двум сторонам и углу между ними 2 Если в треугольнике медиана, сторона и угол между этой медианой и стороной с вершиной в середине этой стороны, соответственно равны медиане, стороне и углу между этой медианой и стороной с вершиной в середине этой стороны в другом треугольнике, то такие треугольники равны. А A1 B1 B F C F1 C1 Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AF=A1F1 – медианы AFC = A1F1C1 BC=B1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1 Доказательство: 1. ∆AFC = ∆A1F1C1 (по двум сторонам и углу между ними) 2. Из равенства треугольников AC =А1C1 и С=С1, 3. ∆ABC=∆A1B1C1(по двум сторонам углу между ними) Если в треугольнике медиана, сторона и угол между ними, соответственно равны медиане, стороне и углу ними другого треугольника, то такие треугольники равны. А Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 A1 AF=A1F1 – медианы 1 FAС = F1A1C1 2 AC=A1C1 B1 5 3 В 6 4 Доказать: F F1 С C1 ∆ABC = ∆A1B1C1 3 Доказательство: ∆AFC = ∆A1F1C1 (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников: C = C1, 3 = 4, FC=F1C1 => 5 = 6, BF=B1F1, BC=B1C1. ∆ABC=∆A1B1C1(по двум сторонам углу между ними) Если в треугольнике медиана и два угла, образованные двумя сторонами и этой медианой, соответственно равны медиане и двум углам, образованные двумя сторонами и этой медианой, то треугольники равны. 4 A A1 2 1 B 3 • B1 F F1 C 5 6 K K1 Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AF=A1F1 – медианы ВAF = B1A1F1 FAC = F1A1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1 4 Доказательство: Проведем AF = FK, A1F1 = F1K1 ∆BFA = ∆FKC (по стороне и прилежащим углам) =>AB=CK, 1= 5 ∆B1F1A1 = ∆F1K1C1 (по стороне и прилежащим углам) =>A1B1=C1K1, 3=6 C1 ∆ACK = ∆A1C1K1 (AK=A1K1, 5=6, 2=4, по стороне и прилежащим углам) =>CK=C1K1, AC=A1C1. ∆AFC= ∆A1F1C1 (по двум сторонам и углу между ними) => C = C1. ∆ABC=∆A1B1C1(по двум сторонам и углу между ними). Если три медианы одного треугольника, соответственно равны трем медианам другого треугольника, то такие треугольники равны. 5 А N O B F A1 M N1 B1 C O1 M 1 F1 C1 Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AF = A1F1 BM=B1M1 – медианы CN=C1N1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1 Доказательство: 1. ∆BOC = ∆B1O1C1 2. ∆COA = ∆C1O1A1 3. ∆BOA = ∆B1O1A1 (по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне) ∆ABC и ∆ A1B1C1 по трем сторонам 1 Если сторона, прилежащий угол и высота, проведённая из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему углу и высоте, проведённой из вершины этого угла, другого треугольника, то такие треугольники равны. A 1 A1 2 3 4 Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 AB=A1B1 ; А=А1; AF=A1F1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1 B B1 F C F1 C1 Доказательство: 1) Рассмотрим ΔABF и ΔA1B1F1 AB=A1B1 (по усл.), AF = A1F1 (по усл.), F=F1=900 (по усл.) =>ΔABF=ΔA1B1F1 (по гипотенузе и катету ) =>1=3 2) A=A1 (по усл.), 1=3 (п.1) =>2=4 3) Рассмотрим ΔAFC и ΔA1F1C1: AF=A1F1 (по усл.)2=4 (п.2) =>ΔAFC=ΔA1H1C1 (по катету и острому углу)=>AC=A1C1 4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1 (по усл.) AC=A1C1 (п.3) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между A=A1 (по усл.) ними) 2 Если угол, высота, проведённая из вершины этого угла, и проекция стороны, прилежащей к этому углу одного треугольника, соответственно равны углу, высоте, проведённой из вершины этого угла, и проекции стороны прилежащей к этому углу другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 A BF=B1F1 ; А=А1; A1 1 2 AF=A1F1 (высота) 3 B B1 F C F1 4 Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1 C1 Доказательство: 1) Рассмотрим ΔABF и ΔA1B1F1: AF = A1F1 (по усл.), F=F1=900 (по усл.), BF=B1F1 =>ΔABF = ΔA1B1F1 (по двум катетам) => AB=A1B1; 1=3 2) Рассмотрим ΔAFC и ΔA1F1C1: AF=A1F1 (по усл), 1=3 (п.1), 2=4 => ΔAFC=ΔA1F1C1 (по катету и острому углу) =>AC=A1C1; 3) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1 (п.1) AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) A=A1 (по усл) 3 Если два угла и высота, проведённая из вершины третьего угла, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла, другого треугольника, то такие треугольники равны. A A1 1 2 3 B B1 F C F1 4 Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 B=B1; C=C1; AF=A1F1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1 Доказательство: C1 Рассмотрим ΔABF и ΔA1B1F1: B=B1 (по усл.), AF =A1F1 =>ΔABF=ΔA1B1F1 (по катету и острому углу)=>AB=A1B1; 1=3 2) Рассмотрим ΔAFC и ΔA1F1C1: AF=A1F1 (по усл.), C=C1 (по усл.)=>ΔAFC=ΔA1F1C1 (по катету и острому углу)=>AC=A1C1; 2=4 4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1 (п.1) AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) A=A 1) 4 Если два угла и высота, проведённая из вершины одного из них, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, проведённой из вершины одного из них, другого треугольника, то такие треугольники равны. A Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 A1 1 C=C1; А=А1; AF=A1F1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1 2 3 B 4 B1 F C F1 Доказательство: C1 1) Рассмотрим ΔABF и ΔA1B1F1 : B=B1 (по усл.) =>ΔABF=ΔA1B1F1 (по катету и острому углу) =>AB=A1B1; 1=3, 2=4 2) Рассмотрим ΔAFC и ΔA1F1C1,, AF=A1F1(по усл.), 2=4 (по п.1) =>ΔAFC=ΔA1F1C1(по катету и острому углу)=>AC=A1C1 3) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1(п.1) AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) A=A1 (по усл.) 5 Если высота и два прилежащих к ней острых угла одного треугольника соответственно равны высоте и двум прилежащим к ней острым углам другого треугольника, то такие треугольники равны. A A1 1 2 3 B F B1 C F1 4 Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 1=3; 2=3; AF=A1F1 (высота) Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1 Доказательство: C1 1) Рассмотрим ΔABF и ΔA1B1F1: 1=3 (по усл.), AF=A1F1 (по усл.)=>ΔABF=ΔA1B1F1 (по катету и острому углу)=>AB=A1B1 2) Рассмотрим ΔAFC и ΔA1F1C1: AF=A1F1 (по усл.) 2=4 (по усл.) =>ΔAFC=ΔA1F1C1 (по катету и острому углу)=>AC=A1C1 3) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1 (п.1) AC=A1C1 (п.2) =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) A=A1 (п.1) 6 Если сторона, противолежащий угол и высота, проведённая не из вершины данного угла, одного треугольника соответственно равны стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой не из вершины данного угла, то такие треугольники равны. A A1 1 2 3 B B1 F C F1 4 Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 B=В1; AF=A1F1 (высота); AC=A1C1 Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1 Доказательство: C1 1) Рассмотрим ΔABF и ΔA1B1F1: B=B1 (по усл.), AF=A1F1 (по усл.) =>ΔABF=ΔA1B1F1 (по катету и острому углу)=>1=3, AB=A1B1 2) Рассмотрим ΔAFC и ΔA1F1C1: AF=A1F1 (по усл.), AC=A1C1 =>ΔAFC=ΔA1F1C1 (по катету и гипотенузе)=> 2=4 3) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1: AB=A1B1 AC=A1C1 =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними ) A=A 7 Если две высоты и угол одного треугольника, соответственно равны двум высотам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. A Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 A1 M M1 B AF=A1F1 (высота) BM=B1M1 С=С1 Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1 B1 F C F1 C1 Доказательство: ΔBMС = ΔB1M1C1 (по катету и острому углу) =>BC=B1C1; ΔAFC = ΔA1F1C1,, (по катету и острому углу) =>AC=A1C1 ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) 8 Если сторона и две высоты, одна из которых проведена к данной стороне одного треугольника, соответственно равны стороне и двум высотам, одна из которых проведена к данной стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны. A A1 Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 AF=A1F1 (высота) BN=B1N1, AC=A1C1 N N1 Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1 B B1 F C F1 C1 Доказательство: ΔAFC=ΔA1F1C1 (по катету и гипотенузе) => С=С1 ΔBNC и ΔB1N1C1, (по катету и острому углу) =>BC=B1C1, ΔABC и ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) 9 Если сторона, высота и угол между этой высотой и другой стороной одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и углу между этой высотой и другой стороной другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1 A A1 AB=A1B1 1=2; AF=A1F1 (высота) 1 2 B Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1 B1 F C F1 C1 Доказательство: ΔABF=ΔA1B1F1 (по катету и гипотенузе) => BF=B1F1 ΔAFC=ΔA1F1C1(по катету и острому углу)=>AC=A1C1; CF=C1F1 => BC=B1C1 ΔABC=ΔA1B1C1 (по трем сторонам) 1 Если в одном треугольнике угол, прилежащая сторона и выходящая из него биссектриса соответственно равны углу, прилежащей стороне и выходящей из него биссектрисе в другом треугольнике, то треугольники равны. A Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 A1 B A=A1 AZ = A1Z1- биссектрисы AB=A1B1 Доказать: ∆ABC=∆A1B1C1 B1 Z C Z1 C Доказательство: 1 1.Рассмотрим ∆AZB и ∆A1Z1B1: AB=A1B1 (по условию) AZ=A1Z1 (по условию) =>∆AZB=∆A1Z1B1 (по двум сторонам BAZ=B1A1Z1 (по условию) углу между ними)=>СZA=С1Z1A1 2.Рассмотрим ∆AZC и ∆A1Z1С1: CAZ=C1A1Z1 (по условию) AZ=A1Z1 (по условию) =>∆AZС=∆A1Z1С1 (по стороне и двум CZA=С1Z1A1 (п.1) прилежащим углам) 3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1 A=A1 (по условию) AB=A1B1 (по условию) => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) AC= A1С1 (п.2) 2 Если в одном треугольнике угол, выходящая из него биссектриса и угол между биссектрисой и стороной соответственно равны углу, выходящей из него биссектрисе углу между биссектрисой и стороной в другом треугольнике, то треугольники равны. A1 A B B1 L C L1 Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 AL=A1L1 – биссектрисы A = A1 ALC = A1L1C1 Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1 C1 Доказательство: 1. Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1: AL=A1L1 (по условию) LAC = L1A1C1 (по усл) => ∆ALC=∆A1L1C1 (по двум сторонам и углу между ними) => ALC = A1L1C1 (по усл) ALB=A1L1B1 2. Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1 ALB=A1L1B1 BAL=B1A1L1 (по условию) => ∆ALB=∆A1L1B1 (по двум сторонам и углу между ними) AL=A1L1 (по условию) 3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1 A=A1 (по условию) AB=A1B1 (по условию) => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) AC= A1С1 (п.2) 3 Если два угла и биссектриса, выходящая из вершины одного из этих углов одного треугольника, соответственно равны двум углам и биссектрисе, выходящей из вершины одного из них этих углов другого треугольнике, то такие треугольники равны. A Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1 A1 B A=A1 B=B1 AZ и A1Z1- биссектрисы Доказать: ∆ABC=∆A1B1C1 B1 Z C Z1 C1 Доказательство: Рассмотрим ∆AZB и ∆A1Z1B1: AZ=A1Z1 (по условию) BAZ=B1A1Z1 (третий угол в треугольнике) ∆AZB=∆A1Z1B1 (по стороне и прилежащим углам) => AB=A1B1 ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними) Л.С. Атанасян, Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.; «Геометрия 7-9», учебник для образовательных учреждений;