Натуральные числа П « Трансцендентность и
advertisement
Натуральные числа «П» и «е» Трансцендентность и иррациональность Система счисления Оценка числа пи Двоичная 11,00100100001111110 110… Десятичная 3,141592653589793238 4626433832795… Шестнадцатеричная 3,243F6A8885A308D31 319… Евклидова геометрия радиан = 180° История — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональнос ть числа была впервые доказана Иоганном Ламбертомв 1761 году году путём разложения числа в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандрпривёл более строгое доказательство иррациональнос ти чисел пи и пи^2 История — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Транcцендентность числа была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году. История Поскольку в евклидовой геометрии площадь круг а и длина окружности яв ляются функциями числа , то доказательство трансцендентности пол ожило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет. История В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа . В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что для любого натурального n числа и алгебраически независимы, откуда, в частности, следует трансцендентность чисел. История Пи является элементом кольца периодов (а значит, вычислимым и арифм етическим числом). Но неизвестно, принадлежит ли 1/пи к кольцу периодов. История Впервые обозначением этого числа греческой буквой пи воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр. История История числа пи шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров. Геометрический период • Чжан Хэн во II веке уточнил значение числа , предложив два его эквивалента: 1) 92/29 ≈ 3,1724…; 2)корень из 10 ≈ 3,1622. • В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416. Варахамихира в 6 веке пользуется в «Панчасиддхантике» приближением корня из 10. • Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм (англ. Liu Hui's π algorithm) для вычисления с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для по следующему принципу: Геометрический период • • То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнег реческим геометрам. Самое раннее из известных приближений датируется 1900 годом до н. э.; это 25/8(Вавилон) и 256/81 (Египет), оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведический текст «Шатапатха-брахмана» даёт как 339/108 ≈ 3,139. Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления . Для этого он вписывал вокружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку и предположил, что примерно равняется 22/7 ≈ 3,142857142857143. Мнемонические правила • Стихотворение для затвердевания в памяти 8-11 знаков числ π: • Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один Дополнительные факты Древние египтяне и Архимед принимали величину от 3 до 3,160, арабские математики считали число пи =3,162 Дополнительные факты Неофициальный праздник «День числа пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа пи. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из СанФранциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159. Дополнительные факты В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль (см.: en:Indiana Pi Bill), законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора университета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона. Дополнительные факты «Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска. По состоянию на 2010 год вычислено 5 триллионов знаков после запятой По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после запятой
