5 25 16 9

Задача 1: У прямоугольного треугольника заданы
катеты a=3 и b=4 . Найдите гипотенузу.
Дано:
a, b – катеты
a=3, b=4
Найти:
с-гипотенузу
Решение:
По теорему пифагора:
a2  b2  c2
c  3  4  9  16  25  5
с5
2
2
2
2
Ответ: с=5
Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют
египетским треугольником
Задача 1: У прямоугольного треугольника задана
гипотенуза
с = 13 и катет a = 5 . Найдите второй катет.
Дано:
a, с
a= 5, с=13
Найти:
b-катет
Решение:
По теорему пифагора:
a b  c
2
2
2
b  c  a  13  5  169  25  144  12
b  12
2
2
Ответ: b=12
2
2
2
2
Задача 3:
У прямоугольного
треугольника заданы
катеты a=5 и b=6 .
Найдите гипотенузу.
РЕШЕНИЕ
Следующая
задача
Дано:
a, b – катеты
a=5, b=6
Найти:
с-гипотенузу
Решение:
По теорему пифагора:
a2  b2  c2
c  5  6  25  36  61 
2
2
2
с  61
Ответ:
с  61
 61
2
Задача 4:
Чему равна сторона CD?
РЕШЕНИЕ
Следующая
задача
Дано:
∆DCE, С  90
CE=3 - катет
DE=5 гипотенуза
Найти:
DC - катет
Решение:
По теорему пифагора:
DC 2  CE 2  DE 2
DC  DE  CE  5  3  25  9  16  4
DC  4
2
Ответ:
2
DC  4
2
2
2
2
Задача5:
Чему равна сторона AB?
РЕШЕНИЕ
Следующая
задача
Дано:
∆ABC, С  90
CB=6 - катет
AC=8 - катет
Найти:
AB - гипотенуза
Решение:
По теорему пифагора:
a2  b2  c2
c  6  8  36  64  100  10
с  10
2
2
Ответ: с = 10
2
2
Задача 6:
Является ли прямоугольным
треугольник со сторонами:
4; 5 и 6?
РЕШЕНИЕ
Следующая
задача
Дано:
∆, a=4, b=5, c=6
Решение:
Так как в прямоугольному треугольнике любой из катетов
меньше гипотенузы, тогда c=6 – гипотенуза, a и b -катеты;
По теореме пифагора должно выполняться равенство :
a2  b2  c2
Проверим будет ли оно выполнятся при наших значениях:
4 5  6
2
2
2
14  25  36
39  36
Получили неверное равенство. Делаем вывод, что наш
треугольник не является прямоугольным.
Ответ: треугольник не является прямоугольным.
Задача 7: При каких значениях x треугольник со
сторонами 7 см, 4 см и x см является прямоугольным.
Решение:
Так как в прямоугольному треугольнике любой из катетов меньше
гипотенузы, поэтому возможны два случая значения x :
1) Сторона 7 см – наибольшая в треугольнике (гипотенуза), тогда
стороны 4 см и x- катеты:
2
2
2
4

x

7
по теореме пифагора получим:
x 2  7 2  4 2  49  16  25  52
x5
2)Сторона x- гипотенуза, тогда стороны 7 см и 4 см –катеты.
По теореме пифагора:
42  7 2  x 2
x  4  7  16  49  65 
2
Ответ: x  65 и
2
x  65
x5
2
 65 
2
Задача 8: Высота, опущенная из вершины В Δ АВС, делит
сторону АС на отрезки, равные 16 см и 9 см. Найдите сторону
ВС, если сторона АВ равна 20 см.
Дано:
Δ АВС, BD – высота,
АВ = 20 см, AD = 16 см, DC = 9 см.
Найти: ВС.
Решение :
1) По условию задачи BD – высота, значит, Δ ABD и Δ CBD –
прямоугольные.
2) По теореме Пифагора для Δ ABD: АВ2 = AD2 + BD2, отсюда
BD2 = AB2 – AD2= 202 – 162= 400 – 256= 144,
BD = 12.
3) По теореме Пифагора для Δ СBD: ВС2 = ВD2 + DС2, отсюда
BC2 = 122 + 92= 144 + 81= 225,
BC = 15.
Ответ: сторона BC = 15 см.
Задача 9: Найти радиус описанной окружности KM.
Дано:
∆MKL, LM=12, KL=5
 (О, KO) - вписанная окружность
Найти: KM
Решение :
Δ KLM вписан в окружность и опирается на диаметр KM. Так как
вписанные углы, опирающиеся на диаметр, – прямые, то угол KLM –
прямой. Значит, Δ KLM – прямоугольный. По теореме Пифагора для
прямоугольного треугольника KLM с гипотенузой КМ:
KM2 = KL2 + KM2 = 52 + 122= 169,
KM = 13.
Ответ: KM = 13.
Дано: ∆ АВС,
Случися некоему
человеку
к стене лествицу
прибрати,
стены тоя же высота
есть 117 стоп. И обрете
лествицу
долготою 125 стоп. И
ведати хощет,
колико стоп сея
лествици нижний
конец
от стены отстояти
имать.
С  900 , AC=117стоп,
BC=125 стоп
Найти: ВС
Решение:
AC, CB- катет, AB- гипотенуза;
По теорему пифагора:
AC 2  CB 2  AB 2
CB 2  AB 2  AC 2 
 1252  117 2 
 15625  13689 
 1936  44 2
Ответ:
CB=44 стоп