а +в

Слайд-роман
Прямоугольный треугольник,
или
Мои геометрические страдания
• Цель: Изучить прямоугольный треугольник
• Проблема: Недостаточный объем
информации о прямоугольном треугольнике
в учебнике А.В.Погорелова «Геометрия»
• Задачи:
- обобщить знания о прямоугольном
треугольнике на основе изученного
материала;
- найти дополнительный материал о
прямоугольном треугольнике.
Автор:
Ковалева Екатерина,
ученица 8Г класса
гимназии № 1 им.А.А.Иноземцева
Вопросы
•Определение прямоугольного
треугольника, его элементов
•Свойства прямоугольного треугольника
•Признаки равенства прямоугольных
треугольников
•Свойства катета, лежащего против
угла в 30°
•Прямоугольный треугольник –
треугольник, у которого один угол
прямой (90°).
•Гипотенуза – сторона прямоугольного треугольника,
противолежащая прямому углу.
•Катеты – стороны прямоугольного
треугольника, прилежащие к
прямому углу.
Свойства прямоугольного
треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна
90°
Дано:
А
С
В
Треугольник АВС,
∟С = 90°
Доказать:
∟А + ∟ В = 90°
Доказательство:
Сумма углов треугольника равна 180°
∟С = 90°
Треугольник АВС –∟С = ∟А + ∟ В
180° - 90° = 90°
Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°, что и требовалось
доказать
2. Если катет прямоугольного треугольника равен
половине гипотенузы, то угол против этого
катета равен 30° Дано: ∆ АВС – прямоугольный, АС = 1/2
АВ
Доказать: ∟АВС = 30°
В
А
С
Д
Доказательство: ∆ АВС- прямоугольный,
катет АС = ½ гипотенузы ВС.
Построим ∆ ДВС. Получим
равносторонний ∆ АВД, углы
которого равны друг другу и каждый =
60°. Но ∟ АВД = 2АВС.
Следовательно, ∟АВС = 30°, что и
требовалось доказать.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий
против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
В
А
С
Д
Дано:
Треугольник АВС – прямоугольный
∟С = 90°
∟В = 30°
Доказать:
АС = 1/2 АВ
Доказательство:
Построим треугольник ДВС = треугольнику
АВС, как показано на рисунке.
У треугольника АВД все углы равны (60°),
поэтому он равносторонний. Т.к АС = 1/2
АД, а АД = АВ, то АС = 1/2 АВ, что и
требовалось доказать.
4. Высота, опущенная из вершины прямого угла на
гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на
два подобных треугольника, каждый из которых подобен
данному треугольнику (рис.а)
С
А
Д
Рис.а
С
А
Д
Рис.б
5. Высота СД, опущенная из
вершины прямоугольного
равнобедренного треугольника,
является медианой и
В
биссектрисой и делит этот
треугольник на два
прямоугольных равных
равнобедренных треугольника
(док-во – по 2 признаку
В
равенства треугольников) (рис.б)
6. Гипотенуза прямоугольного треугольника является
диаметром описанной около этого треугольника
окружности, центр этой окружности лежит на середине
гипотенузы.
Треугольник АВС –
прямоугольный, О – центр
описанной около треугольника
АВС окружности
7. Теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов
прямоугольного треугольника равна квадрату его
гипотенузы а² + в² = с² (рис.1) , или Во всяком
прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на
гипотенузе, равен по площади сумме квадратов,
построенных на катетах («Пифагоровы штаны во все
стороны равны», рис.2).
А
c
в
С
a
В
Рис.1
Рис.2
Дано: ∆ АВС – прямоугольный; а, в – катеты; с – гипотенуза.
Доказать: с²= а² + в²
Док-во:
если достроить ∆ АВС до квадрата со сторонами а + в, то S этого
квадрата = (а +в)².
в
а
с
а с
в
с а
в с
а
в
С другой стороны, этот квадрат
составлен из 4 равных
прямоугольных треугольников с S
каждого из них = ½ ав и квадрата со
стороной с, поэтому
S = 4 * 1/2ав + с² = 2ав +с²
Таким образом, (а + в)² = 2ав + с²,
откуда с² = а² + в²,
что и требовалось доказать
Признаки равенства
прямоугольных треугольников
1.
Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя
катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то
из первого признака равенства треугольников следует,
что:
если катеты одного прямоугольного треугольника
соответственно равны катетам другого прямоугольного
треугольника, то такие треугольники равны.
2. Из второго признака равенства треугольников
следует, что:
если катет и прилежащий к нему острый угол одного
прямоугольного треугольника соответственно равны
катету и прилежащему к нему острому углу другого
прямоугольного треугольника, то такие треугольники
равны.
3. Если катет и противолежащий ему острый угол одного
прямоугольного треугольника соответственно равны
катету и противолежащему ему острому углу другого
треугольника, то такие треугольники равны
Дано:
∆ АВС и ∆ А¹В¹С¹, СВ = С¹В¹
∟ С = ∟С¹ = 90°, ∟ А = ∟ А¹
Доказать:
Треугольник АВС = треугольник А¹В¹С¹
Доказательство:
∟А + ∟В + ∟С = ∟А¹+∟В¹ +∟С¹ = 180° (из
теоремы о сумме углов) Следовательно, 180° - ∟А ∟С = ∟В = 180° - ∟С¹ - ∟А¹ = ∟В¹
Следовательно , треугольник АВС = треугольник
А¹В¹С¹ по 2 признаку равных треугольников.
4. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе и
острому углу другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны. Доказательство
аналогично предыдущему: из теоремы о сумме углов
треугольника следует, что в этих треугольниках два
других острых угла тоже равны, поэтому они равны
по 2 признаку равенства треугольников, т.е. по
стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам.
5. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного
треугольника равны гипотенузе и катету другого
прямоугольного треугольника, то такие
треугольники равны.
В
А
Д
С
В¹
А¹
С¹
Д¹
Дано:
∟С и ∟С1 – прямые, АВ = А¹В¹
Доказать:
∆ АВС = ∆А¹В¹С¹
Доказательство:
Пусть АВС и А¹ В¹С – данные треугольники.
Построим ∆ СВД, равный ∆ СВА. И ∆С¹В¹ Д¹ равный
∆ С1В1А1 ∆АВД и ∆А¹В¹Д¹ равны по третьему
признаку. У них АВ = А¹В¹ по условию задачи, АД =
А¹Д¹, т.к. АС = А¹С¹, ВД = В¹Д¹, т.к. ВД = АВ, В¹Д¹ =
А¹В¹. Из равенства ∆АВД и ∆ А¹В¹Д¹ следует : ∟А =
∟А¹. Т.к. по условию АВ = А¹В¹, АС = А¹С¹, а ∟ А =
∟ А¹ по доказанному, то ∆ АВС = ∆ А¹В¹С ¹ равны по
первому признаку.
Заключение
Первые геометрические сведения о треугольниках мы получили еще в
младших классах. Задачей данной работы было расширить и
углубить знания об одной из разновидностей этой геометрической
фигуры – прямоугольном треугольнике , его свойствах,
особенностях. В связи с недостаточностью в учебнике материала
по данной теме использовались различные источники
информации: дополнительная литература и Интернет. В
процессе работы выяснилось, что все известные нам сведения о
треугольнике применимы и к прямоугольному треугольнику, но
при этом он обладает своими «личными» свойствами и
признаками равенства прямоугольных треугольников.
Некоторые из особенностей прямоугольного треугольника не были
рассмотрены в данной работе в связи с тем, что их изучение
требует дополнительных знаний и будет изучаться в старших
классах.
Используемые источники:
1. Геометрия, 7-9: учеб.для общеобразоват.учреждений / Л.С.Атанасян,
В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.-15-е изд.- М.: Просвещение, 2005.-384 с.: ил.
2. Геометрия: учеб.для 7-9 кл.общеобразоват.учреждений / А.В.Погорелов.- 6-е изд.М.: Просвещение, 2005.-224 с.:ил.
3. Математика. Новейший справочник школьника / Г.М.Якушева.- М.: Филол.о-во
«Слово», Изд-во Эксмо, 2005. – 479 с.:ил.
4. Новый справочник школьника.5-11 класс. Универсальное пособие. Т.2. – СПб.:
ИД «ВЕСЬ», 2002.-704 с.:ил.
5. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П.Савин,
В.В.Станцо, А.Ю.Котова: Под общ.ред. О.Г.Хинн.- М.: АСТ, 1996.-480 с.
6. www.lex.ru
7. www.examens.ru
8. www.alexlarin.narod.ru
9. www.vladimirv.ru
10. www.edustrong.ru
11. www.neive.by.ru