1 Диагонали прямоугольника KMNP пересекаются в точке С.Найдите угол MNC, если угол MCN равен 460 . Решение: В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит NC=CM, то есть треугольник MCNравнобедренный. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно углы MNC и NMC равны. А так как сумма углов треугольника равна 1800, то: 1800 460 1340 0 MNC NMC 67 2 2 Ответ: 670 2 • Через точку А окружности с центром О проведена касательная АВ. Найдите радиус окружности, если ОВ=8,угол АОВ равен 600 . 300 0 0 0 Решение: B 90 60 30 -так как сумма острых углов треугольника равна 900 . BD 8 R 4 2 2 -так как катет, лежащий напротив угла в 300 равен половине гипотенузы. Ответ: 4 • Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 1400. Найдите угол между боковыми сторонами этого треугольника. 3 400 400 Решение: Углы BCA и BCD-смежные, а сумма смежных углов равна 1800. 0 0 0 BCA 180 140 40 BAC BCA 40 0 -как углы при основании равнобедренного треугольника. B 1800 400 400 1000 -так как сумма углов треугольника равна 1800. Ответ: 1000 4 9 12 Используя данные, указанные на рисунке, найдите высоту CH. Решение: 1).Из ABC, ACB 900 , по теореме Пифагора: AB AC 2 BC 2 92 122 81 144 225 15 -в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2). S ABC 1 1 AC BC AB CH | AC BC AB CH | 2 2 AC BC 9 12 36 CH 7,2 AB 15 5 Ответ:7,2 5 Длина окружности равна 29.Найдите радиус этой окружности. Решение. C 2R C 29 | 2R 29 2 R 29 29 R ; 2 Ответ:14,5 | R 14,5 6 Используя данные, указанные на рисунке, найдите АС, если известно, что АВ||CD. Решение. ABOCDO -по двум углам, (A C , B D - как накрест лежащие, при параллельных прямых АВ и CD и секущих AC и BD). Из подобия следует: AB AO CD AO | CO ; CD CO AB 9 10 CO 15 ; АС=АО+ОС=10+15=25 6 Ответ:25 Найдите боковую сторону равнобедренной 7 трапеции, если её основания равны 9 и 19,а высота равна 12. Решение. 1). Построим высоты BH и BN, получим прямоугольник HBCN. В нём HN=BC=9. 2). ABH DCN - по гипотенузе и острому углу. (19 9) 5 Из равенства следует: AH DN 2 0 ABH 3).Из , H 90 , по теореме Пифагора: AB 2 AH 2 HB 2 AB AH 2 HB 2 52 12 2 169 13 5 9 5 Ответ:13 В параллелограмме ABCD на стороне ВС отмечена точка К так, что ВК=АВ. НайдитеBCD , если KAD 200. Решение. | 1 2, 1). В ABK АВ=ВК , как углы при основании равнобедренного треугольника. 2). 1 3 200 , -как накрестлежащие, при параллельных 8 прямых AD и ВС и секущей АК. 1 2, 0 | 3 2 200 , BAD 2 3 400 1 3 20 , 0 -так как в BAD BCD 40 3). 200 200 200 параллелограмме противоположные углы равны. Ответ: 400 9 Сторона равностороннего треугольника MLN равна 6см. Найдите скалярное произведение векторов LM и LN . Решение. В равностороннем треугольнике все углы по 600. LM LN | LM | | LN | cos L 1 LM LN 6 cos 60 36 18 2 2 0 Ответ: 18 10 Радиус окружности ,описанной около правильного двенадцатиугольника А1А2А3А4А5А6А7А8А9А10А11А12 равен 5 3 . Найдите длину диагонали A1A5. Решение. А1А5-сторона правильного треугольника, вписанного в окружность. Найдем её по формуле: a R 3 | A A a 5 3 3 15 1 5 R5 3 Ответ: 15 11 Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого соответственно равны 10дм и 5дм.Из него, как показано на рисунке, вырезаны две одинаковые части в форме равнобедренных треугольников. Сколько кг краски потребуется , чтобы покрасить получившуюся фигуру, если длина отрезка АВ =6дм, а на 1дм2 поверхности расходуется 0,012 кг краски? С D А D1 В С1 Решение. 1). Площадь фигуры равна сумме площадей двух равных трапеций ABCD и ABC1D1.. Высота каждой трапеции h=5:2=2,5.. (6 10) ( AB CD) 2,5 8 2,5 20 h, S ABCD 2). S ABCD 2 2 3). Sфигуры=20+20=40(дм2) 4). 40 0,012 0,48 (кг)-потребуется краски. Ответ:0,48кг D 10 5 6 D1 А С В С 12 Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. Все углы ромба -острые. 2).Все высоты ромба равны. 3).Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 4). Радиус окружности, вписанной в ромб, равен стороне этого ромба. 5). В ромбе с углом 600 одна из диагоналей равна его стороне. 1). 1). «Все углы ромба - острые» -не верно. Доказательство. 1 2 180 А 0 В С D как1 и 2 односторонние при AD||BC и секущей АВ. Если угол 2острый, то угол 1 будет тупой. - так 3). «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» - верно, по свойству диагоналей ромба. А D AC BD В С 2). «Все высоты ромба равны»- верно. Доказательство. ABH CBN -по гипотенузе и острому углу (АВ=ВС, т.к. в ромбе все стороны равны, A C , т.к. в ромбе противоположные углы равны.) Из равенства треугольников следует, что ВН=ВN,так как они лежат напротив равных углов А и С. 4). «Радиус окружности, вписанной в ромб, равен стороне этого ромба»– не верно. Доказательство. • Центр окружности, вписанной в ромб, лежит в точке пересечения диагоналей. Из точки О построим перпендикуляр ОК к стороне АD. ОКрадиус вписанной в ромб окружности. • ОК<OD,так как перпендикуляр-это кратчайшее расстояние от точки до прямой. • OD<AD , так как в прямоугольном треугольнике катет всегда меньше гипотенузы. ( AOD) • Следовательно ОК<AD. 5). «В ромбе с углом 600 одна из диагоналей равна его стороне» - (верно) Доказательство. B Сумма углов треугольника равна 1800 градусов, значит: 600 1 2 1800 600 1200 АВ=ВС, значит: 1200 1 2 600 2 А 1 2 - так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В треугольнике АВС все углы по 600, значит он равносторонний и АС=АВ=СВ. D C 13 BPи DK- высоты параллелограмма ABCD, проведенные из вершины тупых углов, причем точка Р лежит между точками В и С. Отрезки ВР и DК пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники СКD и СРВ подобны, а углы КОВ и ВСD равны. CKDCPB -по двум углам, (по 1-му признаку подобия). C -общий, BPC DKC 90 , так как DK и BP-высоты. 0 OK CB, OB CD ,так как отрезки ОК и ОВ лежат на высотах DK и ВР KOB BCD ,так как , если стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы равны. 14 В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус этой окружности, если АМ=10 и ВМ=15. 10 10 15 15 15 15 Решение. 1). Пусть окружность касается сторон треугольника в точках М,Н и N, тогда АМ= АN=10, ВМ=ВН=15, как отрезки касательных, проведенных из одной точки. 10 10 15 2). АВ=АМ+ВМ=10+15=25 15 15 15 3).АС= АВ=25, как боковые стороны равнобедренного треугольника. 4). NС=АС-АN=25-10=15 5). НС=NС=15 -как отрезки касательных, проведенных из одной точки. 5).В ABH AHB 900 . По теореме Пифагора АВ2=АН2+ВН2 AH AB 2 BH 2 10 10 25 15 625 225 2 2 400 20 6).ВС=ВН+НС=15+15=30 1 7). S ABC BC AH 2 S ABC 1 30 20 300 2 8).Р=АВ+АС+ВС=25+25+30=80 15 15 15 15 1 S Pr 2 2S 2 300 r P 80 9). 60 15 7,5 8 2 10 10 15 15 15 15 Ответ: 7,5 15. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы – в точке М. Точка К – середина МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ=6,СН=3, ВАС=450. 6 3 Решение. 1).По условию, высоты ABC пересекаются, значит точка Н их пересечения расположена внутри этого треугольника. Доп. построение: Построим ММ1|| КК1||НН1. 2). 450 6 3 2 0 H 90 , ABH , В 1 1 A 450 | B 450 Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника треугольника равна 900. Значит: 450 3 2 AH1 BH 1 -так как напротив равных углов лежат равные стороны. BH 1 sin A | BH AB sin A 6 2 3 2 1 AB 2 Р 3). В APC P 900 , A 450 | C 450 4). В 450 3 450 450 3 2 3 2 2 (см. п.1) 0 CHH1 , H1 90 , C 450 | H 450 | CH1 HH 1 (см. п.1) и HH 1 sin C | CH 2 3 2 | HH CH 3 2 HH 1 CH sin C 3 1 1 2 2 2 5). 3 2 9 2 AC AH1 H1 C 3 2 . 2 2 6). AH1 BH 1 3 2 Рассмотрим: LBH 1 и LMM 1 . Они – прямоугольные (H1 M1 900 ) и имеют общий угол L, значит: k LBH 1 LMM 1 - по двум углам. По свойству медианы: 1 LB 3 LM LB | k 3 | 3 LM 1 1 3 2 MM 1 BH 1 2 3 3 Так как ММ1|| КК1||НН1 (по построению) и К – 7). середина МН, то К1- середина М1Н1 (по теореме Фалеса). Получили: КК1-средняя линия трапеции ММ1Н1Н AC MM 1 HH 1 KK1 2 3 2 2 5 2 2 2 4 9 2 . 2 8).S AKC 1 1 9 2 5 2 45 AC KK1 5,625 2 2 2 4 8 Ответ: 5,625