Лекция 16. Косвенные доказательства 2008 г.

реклама
Дискретная математика.
Математическая логика
2008 г.
Лекция 16.
Косвенные
доказательства
Проф., д.т.н. Гусева А.И. ,
доцент Порешин П.П.,
аспирант Цыплаков А.C.
Использование антитезиса
.
В косвенных доказательствах
строят антитезис
Убеждаются, что антитезис
ведет к противоречиям, и стало
быть является ложным
Тогда из факта ложности
антитезиса делают вывод об
истинности тезиса (на
основании закона
исключенного третьего)
Косвенные доказательства
• доказательство от противного
(( A  B) & B)  A
A A
• доказательство
контрпример
через
Доказательсво от
противного
1. Принимают предположение,
что утверждение A неверно
2. Доказывают, что при таком
предположении было бы верно
некоторое
утверждение
B,
которое заведомо неверно.
3.
Полученное
противоречие
показывает,
что
исходное
предположение было неверным,
и поэтому верно утверждение A
Пример 1
Доказать равносильность
формул
xP( x) & xQ( x)  x( P( x) & Q( x))
Доказательство от противного
1.Предположим, что это не так,
что формулы не равносильны
Пример 1 (продолжение)
2.Тогда, должно найтись P(x) и
Q(x) такие, что равносильность
не выполняется
3.Возможны три варианта
P(x) и Q(x) оба тождественно
истинные,
P(x) –тождественно истинная,
а Q(x) - нет,
P(x) и Q(x) оба не тождественно
истинные.
Пример 1 (продолжение)
4. Во всех трех случаях, обе
формулы принимают
одинаковые значения при
одинаковых условиях,
следовательно, наше
предположение о
неравносильных формулах было
неверным
5. Следовательно, указанные
формулы равносильны
Ч.т.д.
Доказательство через
контрпример
1. Принимают предположение, что
утверждение A верно, а затем
рассматриваетсяA особый случай –
контрпример, при котором данное
утверждение А неверно
2.Полученное
противоречие
показывает,
что
исходное
предположение было неверным, и
поэтому верно утверждение
A
Пример 2
Исследовать, является
общезначимой
ли
формула
xP( x)  xQ( x)  x( P( x)  Q( x))
Решение
1.
Предположим,
что
формула
общезначима, тогда она тождественно
истинная для любой области
Пример 2 (продолжение)
2. Приведем контрпример. Положим,
Q( x)  P( x)
3. Тогда,
x( P ( x)  P ( x))  x1  1
xP( x)  x P ( x)  0  0  0
Пример 2 (продолжение)
4. Правая и левая части формулы не
равны между собой. Это означает, что
мы получили противоречие и на
данном контрпримере рассматриваемая
формула ложна
5. Следовательно, наше
предположение об общезначимости
было неверным
6. Значит, рассматриваемая формула
не является общезначимой
Скачать