Лекция 16. Косвенные доказательства 2008 г.
advertisement
Дискретная математика. Математическая логика 2008 г. Лекция 16. Косвенные доказательства Проф., д.т.н. Гусева А.И. , доцент Порешин П.П., аспирант Цыплаков А.C. Использование антитезиса . В косвенных доказательствах строят антитезис Убеждаются, что антитезис ведет к противоречиям, и стало быть является ложным Тогда из факта ложности антитезиса делают вывод об истинности тезиса (на основании закона исключенного третьего) Косвенные доказательства • доказательство от противного (( A B) & B) A A A • доказательство контрпример через Доказательсво от противного 1. Принимают предположение, что утверждение A неверно 2. Доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение B, которое заведомо неверно. 3. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение A Пример 1 Доказать равносильность формул xP( x) & xQ( x) x( P( x) & Q( x)) Доказательство от противного 1.Предположим, что это не так, что формулы не равносильны Пример 1 (продолжение) 2.Тогда, должно найтись P(x) и Q(x) такие, что равносильность не выполняется 3.Возможны три варианта P(x) и Q(x) оба тождественно истинные, P(x) –тождественно истинная, а Q(x) - нет, P(x) и Q(x) оба не тождественно истинные. Пример 1 (продолжение) 4. Во всех трех случаях, обе формулы принимают одинаковые значения при одинаковых условиях, следовательно, наше предположение о неравносильных формулах было неверным 5. Следовательно, указанные формулы равносильны Ч.т.д. Доказательство через контрпример 1. Принимают предположение, что утверждение A верно, а затем рассматриваетсяA особый случай – контрпример, при котором данное утверждение А неверно 2.Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение A Пример 2 Исследовать, является общезначимой ли формула xP( x) xQ( x) x( P( x) Q( x)) Решение 1. Предположим, что формула общезначима, тогда она тождественно истинная для любой области Пример 2 (продолжение) 2. Приведем контрпример. Положим, Q( x) P( x) 3. Тогда, x( P ( x) P ( x)) x1 1 xP( x) x P ( x) 0 0 0 Пример 2 (продолжение) 4. Правая и левая части формулы не равны между собой. Это означает, что мы получили противоречие и на данном контрпримере рассматриваемая формула ложна 5. Следовательно, наше предположение об общезначимости было неверным 6. Значит, рассматриваемая формула не является общезначимой
