Графический метод решения.

Графический метод
решения.
Изучение многих физических процессов и
геометрических закономерностей часто приводит к
решению задач с параметрами. Некоторые Вузы
также включают в экзаменационные билеты
уравнения, неравенства и их системы, которые
часто бывают весьма сложными и требующими
нестандартного подхода к решению. В школе же
этот один из наиболее трудных разделов
школьного курса математики рассматривается
только на немногочисленных факультативных
занятиях.
Готовя данную работу, я ставила цель более
глубокого изучения этой темы, выявления
наиболее рационального решения, быстро
приводящего к ответу. На мой взгляд графический
метод является удобным и быстрым способом
решения уравнений и неравенств с параметрами.
Рассмотрим уравнение:
f( a, b, c…k, x)=φ(a, b, c… k, x), где a, b, c…k, x –
переменные величины. Любая система значений
переменных, при которой и левая, и правая части
этого уравнения принимают действительные
значения, называется системой значений
переменных.
Переменные а, b, c…k, которые при решении
уравнения считаются постоянными,
называются параметрами, а само уравнение
– уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами
латинского алфавита(a, b, c, d…).
Пусть А – множество всех допустимых
значений а, B – множество всех допустимых
значений b, и т.д., Х – множество всех
допустимых значений х, т.е. а Є А, b Є B, …, x
Є X. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K
выбрать и зафиксировать соответственно по
одному значению a, b, c, …, k и подставить их
в первоначальное уравнение, то получим
уравнение относительно x, т.е. уравнение с
одним неизвестным.
Алгоритм решения уравнений с параметрами
графическим способом:
1. Находим область определения уравнения.
2. Выражаем a как функцию от х.
3. В системе координат XОA строим графики
функции а = f(х) для тех значений х, которые
входят в область определения данного
уравнения.
Находим точки пересечения прямой а = с, где
с Є (-∞;+∞) с графиком функции а =
f(х).Если прямая а = с пересекает график а
= f (х), то определяем абсциссы точек
пересечения. Для этого достаточно решить
уравнение а = f(х) относительно х.
4. Записываем ответ.
Примеры:
1. Сколько корней имеет уравнение |x2-2x-3|=a
в зависимости от значения параметра a?
Построим график функции y=x2- 2x-3=x22x+1-4 =(x-1)2-4. Значит, график этой функции
получается путем смещения графика
функции y=x2 на единицу вправо и на 4 вниз.
Теперь, для того, чтобы построить график
функции y=|x2-2x-3|, необходимо часть
графика, находящуюся в верхней
полуплоскости, сохранить, а часть графика,
находящуюся в нижней полуплоскости,
симметрично отразить в верхнюю
полуплоскость.
Для того, чтобы построить график функции y=|f(X)|,
находящуюся в верхней полуплоскости, сохранить, а
часть графика, находящуюся в нижней полуплоскости,
симметрично отобразить в верхнюю полуплоскость
6
5
4
3
2
-4
-2
1
y=|x2-2x-3|
0
Ряд2
-1 0
-2
-3
-4
-5
2
4
6
Ответ:
в уравнении |x2-2x-3|=a, если:
1) а=0, то уравнение имеет два корня
2) а Є (0;4), то уравнение имеет
четыре корня
3) а=4, то уравнение имеет три корня
4) а Є (4;+∞), то уравнение имеет
два корня
5) а Є (-∞;0), то корней нет.
А теперь решим данное уравнение
аналитическим способом.
|x2-2x-3|=a
1) Сразу скажем, что при а<0 данное
неравенство решений не имеет, т.к. область
определения функции y=|f (x)|:x Є [0;+∞).
2) I случай:
x2-2x-3=a
→ x2-2x-3-a=0
D=4+4(3+a)=16+4a
a) при 16+4а=0
а =-4(не удовлетворяет условию а Є[0;+∞]
Значит корней нет.
б) 16+4а>0
а>-4. С учетом ОДЗ а Є [0;+∞). Значит
уравнение в этом случае имеет 2 корня.
в) 16+4а<0
а<-4, чего не может быть по ОДЗ.
Значит в данном случае уравнение корней не
имеет.
II случай.
-x2+2x+3=a
-x2+2x+3-a=0
D=4+4(3-a)=16-4a
a) 16-4а=0
а=4. Значит в этом случае уравнение
имеет один корень
б) 16-4a>0
a<4 Значит при а Є[0;4) данное
уравнение имеет 2 корня.
в) 16-4а<0
a>4. В этом случае уравнение корней не
имеет.
Определив все решения при различных
значениях а мы можем сделать следующие
выводы:
в уравнении |x2-2x-3|=a, если:
1) а=0, то уравнение имеет два корня
2) а Є (0;4), то уравнение имеет
четыре корня
3) а=4, то уравнение имеет три корня
4) а Є (4;+∞), то уравнение имеет
два корня
5) а Є (-∞;0), то корней нет
Итак, я считаю, что метод решения данных
уравнений графическим способом наиболее
действенный и легкий. А свой доклад я бы
хотела закончить словами А.Н.Колмогорова:
«В основе большинства математических
открытий лежит какая-либо простая идея:
наглядное геометрическое построение, новое
элементарное неравенство и т.п. Нужно
только надлежащим образом применить эту
простую идею к решению задачи, которая с
первого взгляда кажется недоступной.»