Делимость чисел. Простые и составные числа. НОК и НОД чисел

6. Делимость чисел. Натуральные числа.
Простые и составные числа. НОК и НОД чисел.
Определения. Числа a, b, c,…, d называются взаимно простыми, если у них нет общих
делителей, отличных от 1. НОК двух или нескольких чисел называется наименьшее число,
делящееся на каждое из них. НОД двух или нескольких чисел называется наибольший из общих
делителей этих чисел.
И еще один очень важный факт, называемый основной теоремой
арифметики,  каждое натуральное число, за исключением 1, раскладывается в
произведение простых сомножителей, причем единственным образом.
Свойства делимости почти полностью определяются разложением числа
на простые множители.
Теоретические положения для этого занятия известны из школьного курса. Методические
замечания указаны в [10,c.27-30] там же можно найти дополнительные задачи. Ниже задачи 1 3
относятся к теме НОК и НОД, задачи 4  6 используют в решении алгебраические формулы,
задачи 7  10 на определение является ли число составным. Задачи взяты из [1], [5,с.147-149],
[10,с.30], [16], [26].
Литература
Задача 1. Может ли быть такое число, которое при делении на 3 дает в остатке
1, при делении на 4 дает в остатке 2, при делении на 5, дает в остатке 3
и при делении на 6 дает в остатке 4?
Решение. НОК нескольких чисел является произведение всех простых
множителей одного числа и недостающих множителей остальных чисел.
НОК(3, 4, 5, 6) = 3·2·5·2 = 60. Разность между делителем и остатком во всех
случаях равна 2. Следовательно, если от 60 отнять 2, то получим число 58,
удовлетворяющее условию.
Рассуждая далее, можно установить, что таких чисел бесчисленное множество.
Действительно, умножая НОК(3, 4, 5, 6) = 60 на любое число и, отнимая 2,
получим в результате число, удовлетворяющее условию 60n  2, например, 60·2
 2 = 118.
Задача 2. Если от задуманного мной трехзначного числа отнять 7, то оно
разделится на 7, а если отнять от него 8, то оно разделится на 8, если
отнять от него 9, то оно разделится на 9. Какое число я задумал?
Решение.
Задача 3. Докажите, что произведение любых трех последовательных
натуральных чисел делится на 6.
Указание. Среди этих трех чисел существует хотя бы одно четное и одно число, делящееся на 3.
Из алгебры известны следующие формулы:
(1) a n  b n  a  ba n1  a n2 b  a n3b  ... b n1  , где nN.


(2) а n  b n  a  b a n1  a n2 b  ...   1n1 b n1 , где nN.
Задача 4. Доказать, что 17 n  11 n делится на 6 при любом nN.
Решение. По формуле (1) имеем:


17 n 11n  17 11 17 n1  17 n2 11 ... 11n1 , т.к. один из множителей делится на 6,
значит и все произведение делится на 6.
Задача 5. Докажите, что 2  7 n  1 делится на 3 при любом nN.
Задача 6. Доказать, что 3 2n1  2 n 2 делится на 3 при любом nN.
Самый простой способ узнать является ли данное число составным  это
способ последовательного деления данного числа на все числа, меньшие его.
Для облегчения следует соблюдать правила:
1) делить только на простые делители;
2) каждое составное число N имеет делитель, больший 1 и такой, что квадрат
его не превосходит N;
3) использовать индивидуальные особенности.
Задача 7. Является ли число 257 составным.
Решение. 1)Так как 17 2  289  257 , то рассматривать будем числа меньшие 17. 2)
257 на 2 и 3 не делится, остается рассмотреть числа вида 6k+1 и 6k+5. Это числа
1; 5; 7; 11; 13. Но на эти числа 257 тоже не делится. Следовательно, 257 
простое число.
Задача 8. Является ли число 3599 составным.
Решение
Задача 9. 56·а = 65·b. Докажите, что а+b  составное число.
Решение
Задача 10. Разложить на множители число 2077.
Решение
Содержание