48-54 Решение неравенств методом интервалов
реклама
Применение метода
интервалов для
решения неравенств
Суть метода
Пусть функция задана формулой вида
f ( x) x x1 x x2 ... x xn
х переменная,
х1 , х2 ... хn не равные друг другу числа.
х1 , х2 ... хn нули функции.
у
+
+
х1
y f ( х)
х2
0
-
х
х3
В каждом промежутке знак функции сохраняется
При переходе через нуль знак функции меняется
Функция
f (x )
Свойство непрерывной функции.
Функция f ( x) непрерывна на области
определения и имеет различные
нули. Нули функции разбивают
область определения на промежутки
знакопостоянства, при переходе
через нуль знак функции меняется.
План применения метода интервалов
!
• Разложить многочлен на простые
множители;
• найти корни многочлена;
• изобразить их на числовой прямой;
• разбить числовую прямую на интервалы;
• определить знаки множителей на
интервалах знакопостоянства;
• выбрать промежутки нужного знака;
• записать ответ (с помощью скобок или
знаков неравенства).
Решить неравенство
х 2 х 5 х 4 0
х1 2, х2 5, х3 4
нули функции
f ( x) х 2 х 5 х 4 .
-
+?
-6
0
-5
+
-
2
3
4
5
(3)
40
ffх
f((0)
(5)
6)
622
2305
30
5
44
48 80
630
56
4;
0355;
№
325а)б)
Решить неравенство
х3 7 х 2 6 х 0
Решение.
х 7х 6х 0
3
2
х х2 7 х 6 0
х х 1 х 6 0
0
х1 0, х2 1, х3 6
нули функции
f ( x) х 7 х 6 х.
3
Ответ:
?
+
-
+
1
6
х ;0 1;6
2
№ 327
Домашнее задание:
•№ 326
•№ 328
1
№ 330в)
№ 331г)
5
№ 330г)
Решить неравенство
2
x
3x 4 x 0
x 2 3x 4 0
D 9 16 25
x 1 x 4 x 0
x 1 x 4 x 0 0
–
–
+
-1
0
35
x1
1
2
35
x2
4
2
+
4
x
Ответ: ( - 1; 0)(4;+ ∞ )
Домашнее задание:
• № 330а)б)
• № 331а)б)
•№ 329в)
•№ 339
Решить неравенство
х3 3х 2 х 3
х3 3х 2 х 3 0
х 3 х х 3
3
х 3 х 1 х 1 0
2
х2 х 3 х 3
х 3 х 1
2
х 3 х 1 х 1
+
+
–
-1
1 –
3
x
Ответ: (- ∞ ; - 1][1;3]
Самостоятельная работа
Вариант 1.
Вариант 2.
№1. Решите методом интервалов неравенства:
а) (2 x 5)( x 3) 0;
а) (5 x 2)( x 4) 0;
б) 4 x 2 4 x 3 0.
б) 9 x 2 3x 2 0.
№2. Найдите область определения функции:
y 6 x x 2 3 3 2 x 5.
!
y 2 7 x x 2 5 5 3x 4.
Проверь своё решение
Вариант 1.
Вариант 2.
№1. Решите методом интервалов неравенства:
а) (2 x 5)( x 3) 0
а) (5 x 2)( x 4) 0
2 x 2,5 x 3 0 2
x 2,5 x 3 0
–
+
-3
Ответ:
x 0, 4 x 4 0
+
2,5
5 x 0, 4 x 4 0 5
–
+
x
; 3 2,5; .
-4
Ответ:
+
0,4
4;0,4
x
Проверь своё решение
Вариант 1.
Вариант 2.
№1. Решите методом интервалов неравенства:
б) 4 x 2 4 x 3 0
б)
3
1
4 x x 0 4
2
2
3
1
x x 0
2
2
–
+
-3/2
+
1/2
3 1
Ответ: ;
2 2
9 x 2 3x 2 0.
2
1
9 x x 0 9
3
3
2
1
x x 0
3
3
–
+
x
-2/3
+
1/3
2
Ответ: ;
3
x
1
;
.
3
Проверь своё решение
Вариант 1.
Вариант 2.
№2. Найдите область определения функции:
y 6 x x2 3 3 2 x 5
Решение.
y 2 7 x x 2 5 5 3x 4
Решение.
6 x x 0 1
7 x x 0 1
x2 6x 0
x 7x 0
x( x 6) 0
x( x 7) 0
2
2
2
–
+
0
Ответ:
+
6
0; 6
–
+
x
0
Ответ:
0; 7
+
7
x
Оценка самостоятельной работы
!
За каждый верно выполненный
пример – поставьте 1 балл.
0 баллов – плохо, «2».
1 балл – удовлетворительно, «3».
2 балла – хорошо, «4».
№ 332а)
3 балла – отлично, «5».
Домашнее задание:
•№ 333
•№ 386
Решение рациональных неравенств
P x
0.
Q x
Умножим обе части такого неравенства на многочлен Q
Знак исходного неравенства не меняется, (т.к Q
2
2
x .
x 0 ).
Получаем неравенство P( x) Q( x) 0 , равносильное
данному неравенству, которое решаем методом интервалов.
Итак:
Решение рациональных неравенств
равносильно решению системы:
!
P( x) Q( x) 0,
P( x)
0
Q( x)
Q( x) 0.
x 7 x 2 0 1
x 7 x 2 0
2
7
4
x 8,5 x 4 0
x 4
8,5
2 x 8,5 x 4 0 2
x 8,5 x 4 0
Решить неравенство
Решение.
12 x x 2
0 1
x
x 2 x 12 0
x х 12
0
x
2
x 3 x 4 0
x
D 1 48 49
1 7
x1
3
2
1 7
x2
4
2
x 3 x 4 x 0
x 0
–
–
+
-3
0
+
4
Ответ: [-3;0) [4;+∞)
х
Решение задач:
• В классе: № 334
• Дома: № 335, 336
Самостоятельная работа
Решите неравенства:
Уровень А
1. x 3 0
x6
2. 3 x 0
x4
3.
x 6,8
0
7 x x 4
Уровень В
2
1. x 5 x
x
2
16 0
2
x
6x 7
2.
0
2
x 25
3. Найдите область
определения функции
16 24 x 9 x 2
y
x2
!
Домашнее задание:
•№ 337
•№ 338
Решить неравенство 4 7 x x 2
2
x 3 x 2
Решение.
0
Так как х2 + 2 > 0 при любых х, то перейдем к равносильному
неравенству
4 7x
x 3 x 2
0
4
7 x
7 0
7
x 3 x 2
4
x
7 0
4
x x 3 x 2 0
x 3 x 2
7
–
+
–
-2
4/7
+
3
х
Ответ: (- ∞; - 2)(4/7;3) .
x 1 x 3 x 1
2
Решим неравенство
5x x x 2
2
x 1 x 3 x 1
2
0 1
x 1 x 3 x 1 0
0;
x2 5х x 2
х x 5 x 2
x 12 x 3 x 1 х x 5 x 2 0
х x 5 x 2 0
2
+
–
-2
+
+
-1 – 0
Ответ: x ; 2
1
+
3 –
1;0 1 3;5.
5
x
х 1
х 3
х 1
х 0
х 5
х 2
( x 2) 4 ( x 5)
0
3
(x 1)
Решить неравенство
Решение.
4
3
(x 2) (x 5)(x 1) 0
3
(x
1)
0
+
+
+
-2
1
–
5
Ответ: (1;5]{- 2}
х 2
х5
х 1
х
(3x 2) 5 ( x 5)
0
6
(x 3)
Решить неравенство
Решение.
5
2
3 x x 5
3
0
6
(x 3)
5
2
х
3
х 5
3
5
5
2
x x 5
3
0
6
(x 3)
х 3
+
+
-5
–
–
- 3 - 2/3
х
Ответ: [- 5; - 3)(- 3;- 2/3]
Решить неравенство (x3 + 64)(x – 4)4 0 .
Решение.
(х3 + 64)(x – 4)4 = 0
(x + 4)(х2 – 4x +16)(x – 4)4 = 0
(x + 4) (x2 – 4x +16) (x – 4)4 0
(x + 4)(x2 – 4x +16(x
) – 4)4 0
+
+
–
-4
4
х2 – 4x +16 = 0
D = 16 – 64 < 0
+
х
Ответ: (- ∞; - 4]{4} .
x
Решить неравенство
x
Решение.
2x 3 x 2 16
0
2
2
x 1 x 9
2
x 1 х 3 x 4 х 4
x 1 х 1 x 3 х 3
0
В числителе и
(х + 3)(х – 1)(х + 4)(х – 4)
знаменателе
0
2
2
есть
(х + 1)(х
(х –– 1)
1)(х
(х++3)
3) (х – 3)
одинаковые
2
2
множители x 1 х 3 x 4 х 4 x 1 х 3 0
2
2
x
1
х
1
x
3
х 3 0
+
-4 –-3 – -1
+
+
+
1
3
–
4
Ответ: (- ∞ ; - 4](- 1; 1) (1;3) [4;+∞)
х
х
х
х
х
х
1
3
4
4
1
3
х
21
4
x 1
Решить неравенство
Решение.
Все члены неравенства перенесем в одну сторону и приведем к
общему знаменателю, который отбрасывать нельзя
21
4 0,
x 1
21 4(x 1)
0
x 1
25 4x
x 1
25
-4 x
4
0
x 1
0
x 6, 25
0
x 1
21 4x 4
x 1
4
+
+
1
0,
– 6,25
х
Ответ: (1; 6,25) .
Домашнее задание:
• № 355
• № 361а)б)
• № 391
• № 393а)б)
