Обобщенный метод интерваловhot!

Обобщенный
метод интервалов
При решении многих задач, в том числе и задач Единого Государственного
экзамена (ЕГЭ) часто возникает необходимость либо непосредственно решить
неравенство, либо этот шаг – решение неравенства возникает как
вспомогательный этап при решении других, более сложных и объёмных задач.
Простейший случай неравенств – это линейные и квадратные
неравенства. Подобные задачи обычно встречаются довольно редко сами
по себе, но часто – в составе других.
Пример1 Найти наименьшее целое решение неравенства 5x  7  3x  20
5x  7  3x  20
5x  3x  20  7
2x  13
x  6,5
x 
x 7
Стоит обратить внимание на то, что подобная формулировка задачи «найти
наибольшее целое решение», «наименьшее целое решение», «количество
целых решений» и т.п. довольно часто встречается в вариантах ЕГЭ,
особенно в части В. Кроме этого, довольно распространённая ошибка –
«забывчивость» при умножении (делении) неравенства на отрицательное
число, поэтому, по возможности, стоит избегать этой операции – перенося
элементы неравенства в соответствующую сторону.
Пример 2.Найти количество целых решений неравенства
x 2  8x  20
x 2  8x  20  0
 x 10  x  2   0
x  10;2 
x 
x 2  8x  20
Количество целых решений 11.
Поскольку подобные задачи – в основном задачи части В – расстановку
знаков на числовой прямой можно строго не объяснять, чтобы избежать
потери времени. Однако, при этом надо довольно чётко представлять себе
«правило чередования знаков», а именно – если левая часть
неравенства приведена к стандартному виду , а в правой части
находится 0, то на крайнем правом участке будет знак «+», а далее –
при переходе через корень чётной кратности – знак сохраняется, при
переходе через корень нечётной кратности – знак изменяется.
Проиллюстрируем это на следующем примере.
Пример 3. Решить неравенство
2
3
4
x

1
x

2
x

3
x

4
        0
Отметим точки -2; 1; 3; 4 на числовой прямой и воспользуемся правилом
чередования знаков.
;   4
Тогда Ответ: x  2  13
 
Распространенной ошибкой является потеря изолированных точек,
на что стоит обратить особое внимание.
Пример 4. Решить неравенство




x2 17  4x2   4
1 способ(замена в неравенстве)
Пусть t  x2
Тогда неравенство примет вид t 17  4t   4




4t 2 17t  4  0 4  t  4   t  1   0
t   1;4 
4

 4


1
 2  x  
2 x   2; 1    1;2
1  x2  4 1  x  2 

1
4
2
2   2 
  x 2
 2
2 способ (обобщённый метод интервалов)
Данный способ наиболее универсален при решении неравенств
практически любого типа. Схема решения выглядит следующим
образом:
1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится
функция , а в правой 0.
2. Найти область определения функции 3. Найти нули функции , то
есть – решить уравнение (а решать уравнение обычно проще, чем
решать неравенство)
4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули
функции.
5. Определить знаки функции на полученных интервалах.
6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения
и записать ответ.
2 способ (обобщённый метод интервалов)
4x 4 17x 2  4  0
f  x   4x 4 17x 2  4
f x 0
 x  2


x   1

2


x  1

2

x  2

f 3  0
f 1  0
f 0  0
f  1  0




2 


Значит, x   2; 1    1;2
2




Ответ:  2; 1    1;2

2   2 
f  3   0
Подобный способ боле универсален и допускает, в некоторой
степени большую свободу действий при решении неравенств, в
чём и убедимся на следующих примерах.

Обобщенный метод
интервалов для
иррациональных неравенств
2х 2 3х 5  x 1
Пример 5. Решите неравенство
1.Найдемобластьопределения.
Выражение под знаком корня не может быть отрицательным
2 х2  3х  5  0
2 х2  3х  5  0
3  9  4 2 5  3  7  2,5
х 


1,2
2 2
4
 1
Начертим числовую прямую, нанесем полученные корни. Точки на
числовой прямой закрашенные, так как знак неравенства не строгий
-1
2,5
х(;1][2,5; )
2.Заменим знак неравенства знаком равенства и решим
полученное уравнение.
2х 2 3х 5  х 1
возведем обе части в квадрат
2х 2  3х  5   х 1
2
2х 2  3 х  5  х 2  2х  1
перенесем все в одну сторону ,
х2  х  6  0
х1  2 х2  3
3. Начертим числовую прямую, нанесем на неё область определения и
получившие корни уравнения. Определим знак выражения на каждом из
получившихся промежутков.
-2
-1
х   2,5;3 
2,5 3
х 4
242 34 5  4 1 15  3  0,9  0
следовательно крайний правый интервал имеет знак " "
х  2,6
22,62 32,6 5  2,6 1 0,72 1,6  0,8  0
следовательно интервал 2,5;3  имеет знак " "
х  11
,
2(11
, )2 3(11
, )5  (11
, ) 1 0,72  2,1 2,9  0
следовательно интервал  2;1 имеет знак " "
х  3
2(3)2 3(3)5  (3) 1 22  4  8,7  0
следовательно интервал  ;2  имеет знак " "
Пример 6. Решите неравенство
x 2 3x 3  2 x 1
1.Найдемобластьопределения.
Выражениепод знаком корня не может быть отрицательным
х2  3х  3  0
х2  3х  3  0
х  3  9  43 
1,2
2 2
Д  3  0  уравнение решений не имеет  вся парабола
расположена выше оси Ох  х2  3х  3  0 всегда  х R
2.Заменим знак неравенства знаком равенства и решим полученное уравнение.
х 2  3 х  3  2х  1
возведем обе части в квадрат
х 2  3х  3   2х 1
2
х 2  3х  3  4х 2  4х  1
перенесем все в одну сторону ,
3х 2  х  2  0
2
х1  1 х2 
3
Начертим числовую прямую и отметим полученные точки. Определим
знак выражения на каждом из полученных промежутков.
х 1
12  31 3  2 11 7  3  0,4  0
следовательно крайний правый интервал имеет знак " "
х 0
02  30  3  2 0 1 3 1 0,7  0
2
следовательно интервал  1;  имеет знак " "

3
х  2
(2)2  3(2) 3  2 (2) 1 1  3  4  0
следовательно интервал  ;1 имеет знак " "
-1
2
3


x  2; 
3

Пример 7. Решите неравенство




25x2 15x  2  8x2  6x 1  0


Рассмотрим функциюf  x   25x2 15x  2  8x2  6x 1
Область


определения
25x2 15x  2  0 25x2 15x  2  0
 x  0,4  x  0,2  0
2
Нули функции 8x  6x 1 0




D  f   0,2;0,4 
x  0,5
x  0,25
Учитывая область определения, получаем, что нули функции
x  0,2;x  0,25;x  0,4
Определим знаки функции на образовавшихся промежутках (это задача С –
необходимо обосновывать!) Знаки, принимаемые функцией , определяются
значением второго множителя, так как корень неотрицателен на области
определения. Так как второй множитель – квадратный трехчлен, графиком
является парабола, ветви которой направлены вверх, то при
x  0,2;0,25  f  x  0
Ответ
,а

при x  0,25;0,4

x  0,2;0,25  0,4
f  x  0
Из приведённого примера виден один из недостатков метода – может
быть затруднено определение знаков на полученных интервалах,
особенно, если точки расположены довольно близко друг к другу и/или
когда значения нулей или границ области определения – «плохие».
В тоже время, обобщённый метод интервалов во многих случаях
представляет собой хорошую альтернативу традиционным схемам
решения иррациональных неравенств вида
f x gx
f x gx
Решите неравенства:
8) x  3  4 x  9
9) x  5  x  5
10) 3x  x 2  4  x
11) x 2  3x  4  x 1
12) x 2  6x  5  1 x 2  2x  4
Ответы:
8)  5;3 
9)x  5
10) 0;3 
1
11)  4;3    3; 
2

 1 13 
12) ;5    1;

3


Пример 8. Решите неравенство
 x 3  4 x  9
1.Найдемобластьопределения.
Выражение под знаком корня не может быть отрицательным
 x 30  x3

 x   9;3

x

9

0
x

9


2.Заменим знак неравенства знаком равенства и решим полученное уравнение.
-х-3  4 x  9
возведем обе части в четвертую
( х  3)2  х  9
х 2  6х  9  х  9
перенесем все в одну сторону ,
х 2  5х  0
х1  0 х2  5
степень
Начертим числовую прямую и отметим полученные точки. Определим знак
выражения на каждом из полученных промежутков.
-9
-5
Ответ:  5;3 
-3
0
Пример 9. Решите неравенство
x  5  x 5
1.Найдемобластьопределения.
Выражение под знаком корня не может быть отрицательным
 x 50  x5

 x  5; 

 x 50  x5
2.Заменим знак неравенства знаком равенства и решим полученное уравнение.
х+5  х-5
возведем обе части в квадрат
х 5  х 5
0  10
равенство не верное  х 
Учитываем область определения.
Ответ: х 5
Пример 10. Решите неравенство
3x  х 2  4  x
1.Найдемобластьопределения.
Выражениепод знаком корня не может быть отрицательным
3x  х2  0
Начертим числовую прямую, нанесем полученные
2
3x  х  0
корни. Точки на числовой прямой закрашенные, так
x  0 x  3 как знак неравенства не строгий
1
2
x  0;3 
0
3
2.Заменим знак неравенства знаком равенства и решим полученное уравнение.
3x-х 2  4  x
возведем обе части в квадрат
3x  х 2   4  x 
2
3x  х 2  16  8x  х 2
перенесем все в одну сторону ,
2х 2  5х  16  0
Д  0  уравнение не имеет действительных корней
Ответ: х  0;3 
Пример 11. Решите неравенство
 х 2 3х  4  x 1
1.Найдемобластьопределения.
Выражениепод знаком корня не может быть отрицательным
 х2  3x  4  0 Начертим числовую прямую, нанесем полученные
 х2  3x  4  0 корни. Точки на числовой прямой закрашенные, так
x 1 x  4 как знак неравенства не строгий
1
2
x   4;1
-4
1
2.Заменим знак неравенства знаком равенства и решим полученное уравнение.
-х 2 3x  4  x  1
возведем обе части в квадрат
 х 2  3x  4   x 1
2
 х 2  3 x  4  х 2  2x  1
перенесем все в одну сторону ,
2х 2  5 х  3  0
x  3 x  1
1
2 2
-4
-3
1
2
1


х


4
;

3


3
;




Ответ:
2 

1
Пример 12. Решите неравенство
х 2 6х 5 1 х 2  2 х  4
1.Найдемобластьопределения.
Выражениепод знаком корня не может быть отрицательным
 х 2  6 x 50  x ;5 1; 

 x   ; 5   1;  
 2
 х  2 x  40  xR
2.Заменим знак неравенства знаком равенства и решим полученное уравнение.
х 2  6x  5  1 х 2  2x  4
возведем обе части в квадрат
х 2  6x  5  1 2 x 2  2x  4  x 2  2x  4
4 x  2 x 2  2x  4
2x  x 2  2x  4
4 х 2  x 2  2x  4
3 x 2  2x  4  0
x  1 13 x  1 13
1
2
3
3
-5
1  13
3
1 1  13
3

1 13 

3 
х  ;5    1;
Ответ: 

Домашнее задание:
Решите неравенства :

1)
 х 2  2х  5
  х 2 3 х   0
3
4
 х  4 5  х 19
 x  3 2  x 2  x 1
2)
 4 x  x3
9
0
3) x 2  3x 10  8  x
4) x  4  x 2  x  6  0
5) 2x 2  x  3  2x 2  x 5  2
6)
1 x 7
2x  x  3
2
49  x 2
7)
1
3 x
0