Математические модели реальных процессов в природе и

Математические модели реальных
процессов в природе и обществе
Управление запасамимодель Вильсона
Автор проекта: Потапов Сергей,
ученик 11 класса МОУ «Георгиевская СОШ»
Руководитель: Зырянова Людмила Кузьминична
учитель математики и информатики
МОУ «Георгиевская СОШ»
Адрес: 646974 Омская область, Кормиловский
район, с. Георгиевка
ул. Ленина 9, МОУ «Георгиевская СОШ»,
телефон: 8-38170-35165
Адрес электронной почты:
[email protected]
2009 г.
В 2010 году моей школе исполняется
20 лет. Наш класс принял решение
создать живой уголок природы. Это
будет подарок от выпускников. Мы
решили
подарить
аквариум
с
рыбками.
Описание проблемы
Известно, что по разным причинам
рыбки часто погибают и их необходимо
периодически покупать. Каким же
образом осуществлять покупку
аквариума и рыбок? Как часто и сколько
покупать рыбок, чтобы ежедневные
издержки оказались минимальными?
Для решения этой проблемы мы решили
использовать элементарную теорию
управления запасами.
Описание проблемы
Объект исследования: аквариумные рыбки,
их содержание и покупка.
Методы исследования: используется метод
теоретического
исследованияанализ,
сравнение, обобщение.
Результат:
на
основе
теоретического
исследования
элементарной
теории
управления запасами (самая простая
модель-модель
Вильсона) рационально
спланировать
содержание и покупку
аквариумных рыбок. А также показать
практическое применение этой теории.
Цель проекта: рассмотреть возможности применения
модели Вильсона для управления запасами на основе
математических моделей, адаптированных к
социально-экономическим реалиям жизни.
Задачи:
1. Изучить научно-теоретическую и методическую
литературу по элементарной теории управления
запасами (модель Вильсона).
2. Обработать и обобщить информацию, полученную в
результате самостоятельного исследования.
3. Решить реальную задачу оптимизации, связанную с
правильным планированием приобретения покупки.
4. Найти практическое применение этой теории.
Об управлении запасами
Математика может помочь планировать работу
складов и магазинов. На складах и в кладовых
хранятся самые разнообразные запасы: продукты
питания, книги, одежда, строительные материалы и
многое другое. Слишком много запасов - плохо,
материалы лежат зря, а продукты могут испортиться.
Слишком мало - может не хватить на всех, и слишком
часто придётся привозить новые партии, гонять
транспорт. Значит, надо рассчитать и использовать
оптимальный размер запаса. Для этого необходимо
построить соответствующую математическую модель.
Эту задачу можно решить с помощью теории
управления запасами.
Математическая теория
управления запасами
Теория
управления
запасами
является
крупной областью экономико-математических
исследований, получившей свое развитие
с
пятидесятых годов. Классическая модель теории
управления запасами Ф. Харрисома, называемая
также моделью Вильсона (в связи с тем, что
получила известность после публикации работы
Р.Г.Вильсона в 1934 г.), несмотря на простоту,
широко применяется и приносит большую пользу
в экономической области.
Оптимальный план
Для управления запасами необходимо
составить оптимальный план, где все
размеры партий равны и интервалы
между поставками равны. Возьмём
какой-нибудь план и попробуем его
улучшить.
Q0 Q1 Q2 …- количество продукции в партии
t0 t1 t2…- время поставок
y- запас продукции
r- наклон звеньев, равный ежедневному спросу.
Оптимальный план
Не выгодно иметь запас, когда приходит
очередная
партия.
Если первый зубец
опустить до оси t, чтобы величина запаса в
момент прихода поставки Q1 = 0, то затраты
уменьшатся. Аналогично можно поступить с
остальными зубцами.
Q0 Q1 Q2 …- количество продукции
в партии
t0 t1 t2…- время поставок
y- запас продукции
r- наклон звеньев, равный
ежедневному спросу.
Оптимальный план
Оптимальный план следует искать среди тех планов,
у которых все зубцы доходят до оси абсцисс, имеют
одинаковую высоту и интервалы между поставками
равны.
План, в котором размеры всех партий одинаковы и
равны Qоптимальное ,будем называть планом Вильсона.
Мы можем определить величину поставок, зная
моменты их прихода, используя необходимые формулы.
Формула Вильсона
Для начала рассмотрим, как получена формула
Вильсона (EOQ - Economic order quantity). Со
стандартными условиями и ограничениями она
имеет следующий вид:
Обозначения: A - затраты на размещение и
выполнение заказа; S - годовая потребность в
ресурсах; q - размер единовременной поставки;
r - процентная ставка на хранение ресурсов
(ставка дисконтирования); p - цена единицы
закупаемых ресурсов.
Формула Вильсона
Определение экономического размера заказа на поставку товара
основано на минимизации общей стоимости двух видов затрат:
затрат на хранение запасов, прямо пропорциональных размеру
заказа и затрат на размещение заказа.
Обозначения следующие Собщ - суммарные затраты за
определённый период времени (для упрощения расчётов, период
времени обычно принимается равным одному году); Ср - затраты на
размещение заказа; Сх - затраты на хранение ресурсов.
Общие расходы на материальный поток определяются по
следующей известной формуле:
Обозначения следующие: Сз - затраты на закупку ресурсов. В
развернутом виде формула будет следующей:
Формула Вильсона
Оптимальный размер поставки может быть найден с помощью
метода исследования функции, поиска её экстремума. Если
указанную формулу суммарных затрат принять за функцию и
последовательно изменять размер поставки q, то оптимальный
размер поставки будет соответствовать минимальному значению
суммарных затрат.
С другой стороны, функция суммарных затрат является
непрерывной и дифференцируемой на интервале (0; inf). Задача
определения оптимального размера поставки, соответствующего
минимальным суммарным затратам, заключается в поиске
минимального значения функции путём исследования. Минимальное
значение находится в точке её экстремума. Исследуем функцию на
указанном интервале. Если продифференцировать её по q, то
производная функции будет следующей:
Формула Вильсона
Для
того
чтобы
утверждать
о
нахождении
экстремальной точки, первая производная функции
должна иметь решение, а точка, в которой первая
производная равна нулю, должна быть стационарной.
Формула имеет следующий вид:
Соответственно точка экстремума функции, минимум
затрат и оптимальный размер поставки будут находиться
в точке qопт. Решая уравнение относительно q, получим:
Это и есть формула оптимального размера заказа
(Economic order quantity) - формула Вильсона
Математический вывод формулы Вильсона важен для понимания
некоторых её возможностей и ограничений. А понимание нужно,
для того чтобы исключить ошибки, возможные при попытках
практического применения расширенных возможностей, которые
предоставляет эта формула.
Главный вывод, касающийся ограничений использования
формулы EOQ, заключён в том, что функция затрат должна быть
непрерывной и дифференцируемой на интервале (0; inf).
Соответственно задача нахождения оптимального размера
поставки будет решаться за один шаг. Изменение алгоритма
расчёта, например для анализа системы скидок, приводит к тому,
что в функции суммарных затрат появляются точки разрыва
первого рода. Формально такая функция не подлежит
дифференцированию. Решение задачи заключается в поиске
минимальных значений суммарных затрат на каждом из
интервалов между точками разрыва и в самих точках. Но этот
метод уже будет называться не исследованием функции, а
методом перебора значений. Вариантов же, которые нужно
посчитать и сравнить между собой, будет ровно столько, сколько
будет комбинаций самих параметров в формуле суммарных затрат.
Экспериментальная проверка
полученных результатов
Перейдём к описанию реальной ситуации, для принятия решения
которой, мы построим математическую модель.
В нашем аквариуме живёт 23 рыбки. Мы хотим, чтобы их число не падало
ниже 20. В месяц (30 дней) погибает 3 рыбки. Затраты на содержание
одной рыбки составляет примерно 1р. Для того чтоб купить рыбок нам
нужно потратить 22 рубля на проезд. Каким же образом осуществлять
покупку рыбок? Как часто и сколь покупать, чтобы ежедневные издержки
оказались минимальными