становление дифференциального исчисления, его приложения

СЕМЕЙСТВО БЕРНУЛЛИ
9 крупных математиков (из них
трое великих),
200 лет суммарного
профессорского стажа в Базеле,
105 лет заведования кафедрой
математики в Базельском
университете…
100 лет Бернулли занимали
кресло академика в Парижской АН
Пятеро были академиками
Петербурского АН,
Трое работали в Петербурге.
СЕМЕЙСТВО БЕРНУЛЛИ
Якоб I (1654 – 1705)
В должность профессора математики в
Базеле вступил в 1687г; в тот же год
заинтересовался «Новым методом»
Лейбница.
Научные
интересы
полностью
сосредоточились
на
развитии и приложении анализа:
 изучение ряда кривых и вывод
формулы радиуса кривизны плоской
кривой;
 основы вариационного исчисления;
 термин «интеграл»;
 расходимость гармонического
ряда;
Якоб I (1654 – 1705)
Учение о кометах
Физика
 Аналитическая геометрия, исследование свойств
кривых
Комбинаторика и теория вероятностей
Теория чисел
Иоганн I (1667 – 1748)
Его ум видел истину,
Его сердце познало справедливость.
Он — гордость Швейцарии
И всего человечества.
(Вольтер)
Иоганн I (1667 – 1748)
«Общий способ построения всех
дифференциальных уравнений первого
порядка»
Дифференциальная геометрия
Законы движения
Задача о колебании струны (Мерсенн,
Тейлор)
«Гидравлика, впервые открытая и
доказанная на чисто механических
основаниях»
«Вечный
двигатель»
СЕМЕЙСТВО БЕРНУЛЛИ
Иоганн II
(1710-1790)
Начал слушать лекции в
университете в 11 лет, степень
магистра философии получил в 14,
был профессором риторики, а затем
математики в Базельском
университете. 4-х кратный лауреат
премий Парижской Академии, член
нескольких академий, в т.ч.
Берлинской и Парижской.
Основные работы – в области
физики.
Николай II
(1695-1726)
К 16 годам уже владел двумя
специальностями – был юристом и
математиком.
1720 -1722 провел в в Венеции.
В 1725 году приехал в Петербург,
занял кафедру математики в
Петербургской Академии наук, но
через 8 месяцев умер от
лихорадки.
Основные работы – по теории
дифференциальных уравнений и
ее приложениям к механике
СЕМЕЙСТВО БЕРНУЛЛИ
«Математические упражнения» (1724)
1725-1733 - кафедра физиологии
Петербургской АН
 С 1733 – профессор физиологии, а затем
профессор математики в Базеле.
 1738 – «Гидродинамика»
Даниил I
(1700-1782)
Тематика исследований:
-метод численного решения алгебраических
уравнений;
- теория вероятностей и «моральное ожидание»;
- применение анализа бесконечно малых к решению
вероятностных проблем;
- исследование сходимости тригонометрических
рядов;
- дифференциальные уравнения;
-поперечные колебания упругих стержней;
- кинетическая теория газов
Даниил I (1700 – 1782)
Гийом Франсуа Лопиталь (1661-1704)
Учебники по дифференциальному и
интегральному исчислению
«Анализ бесконечно малых» (1696), Г.Лопиталь
Постулаты И .Бернулли
Величина, уменьшенная или увеличенная на бесконечно малую величину, не
уменьшается и не увеличивается.
Всякая кривая линия состоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно
малы.
Фигура, заключенная между двумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым
куском любой кривой, рассматривается как параллелограмм.
1700 – «Метод измерения поверхностей, размеров тел, их центров
тяжести, удара и качания посредством интегрального исчисления», Луис
Карре (1663-1711)
1708 – «Доказанный анализ или метод решения задач математики… с помощью
обыкновенного исчисления алгебры, дифференциального исчисления и
интегрального исчисления», Шарль-Рене Рейно (1656-1728).
1706 «Учение о флюксиях, содержащее первые начала,
действия и некоторые применения и приложения этого
замечательного метода», Гемфри Диттон (1675-1715)
Дифференциальные уравнения
Ньютон : по данному уравнению, содержащему флюксии, найти
соотношение между флюентами.
Лейбниц: проблема решения в квадратурах
Иоганн Бернулли
Лейбниц
dy
 y
 f 
dx
x
dy
 p( x) y  q( x)
dx
Якоб Бернулли
 a1 x  b1 y  c1 
dy

 f 
dx
 a2 x  b2 y  c2 
dy
 p( x) y  q ( x) y n
dx
Новые задачи:
- изыскание методов решения нелинейных уравнений в конечной форме
- приемы решения линейных уравнений
- численные методы приближенного интегрирования
- изучение особых решений
Дифференциальная геометрия
1684 – Лейбниц, «Новый метод для максимумов и минимумов…»
Якоб Бернулли
Иоганн Бернулли
Гийом Лопиталь
Николай II Бернулли
Леонард Эйлер
Леонард Эйлер
(1707-1783)
- магистр философии в 1723 г
- адъюнкт по высшей математике с 1727
- возглавил кафедру теоретической и
экспериментальной физики в 1730, через
2 года – кафедру высшей математики
- 1733 – брак с дочерью живописца
Гзелля, Екатериной (13 детей, зрелого
возраста достигли 5 – 3 сына, 2 дочери)
- в Берлинский период – успешная
научная работа и не встретившие
поддержки попытки активного участия в
делах берлинской АН
- после возвращения в Россию – потеря
зрения, пожар, унесший значительную
часть имущества
18.09.1783
Эйлер
занимался
математическими исследованиями, а за
ужином потерял сознание со словами «Я
умираю»
АЛГЕБРА,
КОМБИНАТОРИКА,
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
10%
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
13%
АНАЛИЗ,
ДИФ. ИСЧИСЛЕНИЕ
7%
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
ИНТ. ИСЧИСЛЕНИЕ
13%
20%
ДИФ. УРАВНЕНИЯ
13%
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
7%
ГЕОМЕТРИЯ
17%
Годы
Кол-во
работ
%
1725–1734
35
5
1735–1744
50
10
1745–1754
150
19
1755–1764
110
14
1765–1774
145
18
1775–1783
270
34
АЛГЕБРА, ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ, АНАЛИЗ
40%
МЕХАНИКА, ФИЗИКА
28%
ГЕОМЕТРИЯ, ТРИГОНОМЕТРИЯ
18%
АСТРОНОМИЯ
11%
ВОЕННЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ, АРХИТЕКТУРА
2%
ФИЛОСОФИЯ, ТЕОРИЯ МУЗЫКИ, ТЕОЛОГИЯ
И Т.Д.
1%
Леонард Эйлер и математический анализ
«речь должна была бы идти о множестве идей, методов, понятий и теорем,
которыми Эйлер обогатил дифференциальное и интегральное исчисление,
исчисление конечных разностей, теорию рядов, теорию дифференциальных
уравнений – обыкновенных и с частными производными, вариационное
исчисление, теорию функций комплексного переменного, теорию специальных
функций. Все названные дисциплины испытали на себе влияние могучего духа
Эйлера, многих из них он, если можно так выразиться, воспринял из колыбели
слабыми и беспомощными и, вспоив, вскормив и взлелеяв, выпустил из своих рук
жизнеспособными и полнокровными» (А.И.Маркушевич)
e i  cos x tgx

x
sin x
«Введение в анализ бесконечно малых» (2 тома, 1748)
Г.В.Лейбниц, x = - 2
«Дифференциальное исчисление» (2 тома, 1755),
«Интегральное исчисление» (3 тома, 1767-1770; 4-й
И.Бернулли, log(-a)=loga том был составлен из статей и вышел после смерти
ученого в 1794 г.).
Важнейшие средства аналитического
2
3
представления – степенные ряды, бескоx
x
ln( 1  x)  x 

 ...
нечные произведения, непрерывные дроби.
2
3
Классификация функций у Эйлера
Юшкевич А.П. О развитии понятия функции //Историко-матем. исследования,
в. XVII. – М.: Наука, 1966. С.123-150.
Понятие непрерывности у Эйлера
КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ:
-Непрерывные (аналитические)
-Кусочно-аналитические (разрывные)
- Произвольные (не аналитические)
 bc
Джероламо
Кардано
(1501-1576).
Рафаэль
Бомбелли
(1526-1573)
Джон Валлис
(1616-1703)
А.Н.Крылов с восторгом видел в знаменитой
формуле Эйлера символ единства всей
математики, отмечая, что «в ней (— 1)
представляет арифметику, i — алгебру, π —
геометрию и е — анализ».
ei  1
Комплексные числа
СЛЕВА НАПРАВО:
Каспер Вессель (1745 - 1818)
Жан Робер Арган (1786 - 1822)
Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)
Обращения И.Бернулли к
Л.Эйлеру
9.01.1728 – «Ученейшему и гениальнейшему юноше»
18.04.1729 – «Славнейшему и ученейшему мужу»
2.04.1737 – «Славнейшему
мужу и остроумнейшему
математику»
6.11.1737 – «Мужу знаменитейшему и превосходному»
12.07.1738 – «Знаменитейшему мужу и
остроумнейшему гению»
23.09.1745 – «Несравненному мужу и властелину
математиков»