F(p)

Операторный метод решения
систем дифференциальных
уравнений
Операторный метод решения СДУ более
распространен
по
сравнению
с
классическим, и основан на прямом и
обратном преобразованиях Лапласа.
Он
относится
к
символическим
методам, в которых операции над
функциями
времени
заменяются
операциями над их символами
Эти преобразования позволяют перейти
от временных функций к функциям
комплексного переменного и заменить
операции
дифференцирования
и
интегрирования
соответственно
умножением и делением на p.
В итоге дифференциальные уравнения
превращаются в алгебраические, что
значительно упрощает их решение.
Соответствие между функцией времени
f(t) и ее изображением F(p)
устанавливается с помощью прямого

F ( p )   e  pt f (t )dt
0
или обратного
1
f (t )  L
 F ( p)  
1
  j
2 j  
 j
преобразования Лапласа
pt
e F ( p)dp
Функция
F(p)
операторное
изображение функции f(t), которая в
свою очередь является оригиналом по
отношению к своему изображению.
Непосредственное
применение
формулы
обращения
часто
затруднительно, поэтому на практике
пользуются методами, основанными на
свойствах преобразования Лапласа и
использовании таблицы оригиналов и
изображений.
Полезные свойства
преобразования Лапласа
1. Теорема дифференцирования
ненулевых начальных условиях
df (t )
 pF ( p )  f (0)
dt
2. Теорема интегрирования
t

0
F ( p)
f (t )dt 
p
при
3. Свойство линейности
Изображение линейной комбинации
функций равно линейной комбинации
изображений этих функций:
a · f (t )  b · f (t )
a · F ( p)  b · F ( p)
4. Теорема подобия
Если f (t)
следует:
F( p) , то для любого a > 0
f (at )
1
p
F( )
a
a
справедливо и обратное соотношение
1
t
F (ap )
f( )
a a
5. Если изображение F(p) представить в
виде отношения двух полиномов от p, а
именно F(p)=N(p)/M(p), причем степень
полинома M(p) выше, чем N(p), а
уравнение M(p)=0 не имеет кратных
корней, то для перехода от изображения к
оригиналу можно воспользоваться теоремой
разложения:
N (0) n N ( pk ) pk t
f (t ) 

e
M (0) k 1 M ( pk )  pk
Используя
основные
свойства
преобразования
Лапласа,
можно
значительно
упростить
процедуру
нахождения аналитических функций,
описывающих динамику ЭМС.
Изображения по Лапласу
типовых управляющих
воздействий
При анализе динамических свойств ЭМС,
качества
процессов
регулирования
и
точности системы сигналами управления или
возмущения выбирают некоторые типовые
сигналы.
Наиболее часто используют
сигналы:
единичное или ступенчатое, линейное и
гармоническое
(синусоидальное)
воздействия.
1. Единичное ступенчатое
входное воздействие
Единичное ступенчатое входное
воздействие на ЭМС имеет следующий
вид:
0 при t  0;
f (t )  
1 при t  0.
По таблице преобразований Лапласа для
функции f (t) =1(t) имеем следующее
изображение:
1
F ( p)  .
p
Линейное воздействие на ЭМС
Если
для
сигнала
управления
справедливы соотношения,
f (t )  0, t  0; 

f (t )  a  t , t  0.
то управляющее воздействие изменяется
по
линейному
закону.
Линейное
воздействие на ЭМС имеет вид:
По таблице преобразований Лапласа для
функции f(t)
изображение:
= a⋅t
имеем следующее
a
F ( p)  2
p
Гармоническое воздействие на
ЭМС
Для целого ряда ЭМС типовым законом
может служить:
f (t )  0, t  0; 

f (t )  sin(ω  t ), t  0.
Гармоническое воздействие имеет
следующее вид:
По таблице преобразования Лапласа для
функции f(t)=sin(ω⋅t) имеем
следующее изображение:
ω
F ( p)  2
2
p ω
Преобразования по Лапласу
систем дифференциальных
уравнений
Предположим, что ЭМС описывается
неоднородной СДУ в нормальной
форме
Коши,
с
ненулевыми
начальными условиями
 x1 (t )   a11 a12  a1n   x1 (t )   b1 (t ) 
 


 x (t )   a

d  2   21 a22 ... a2 n   x2 (t )   b2 (t ) 



dt  ...   ... ... ... ...   ...   ... 
 


 
 
 xn (t )   an1 an 2 ... ann   xn (t )   bn (t ) 
 x1 (0) 
 x (0) 
2


x(0) 
 ... 


 xn (0) 
При разработки математической модели,
в основе которой положен операторный
метод расчета, необходимо систему
уравнений записывать в операторной
форме.
Применим к СДУ прямое преобразование
Лапласа.
Учитывая
теорему
дифференцирования
оригинала
получим следующую систему линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ) в
операторной форме.
 X1 ( p)   x1 (0)   a11
 X ( p)   x (0)   a
2
2
21





p


 ...   ...   ...

 
 
 X n ( p)   xn (0)   an1
a12  a1n   X 1 ( p)   B1 ( p) 




a22 ... a2n   X 2 ( p)   B2 ( p) 


... ... ...   ...   ... 


 
an 2 ... ann   X n ( p)   Bn ( p) 
Перенесем слагаемые с неизвестными в левую
часть СЛАУ, а свободные члены в правую:
 p  a11 a12


a
p

a
21
22

 ...
...

an 2
 an1

a1n   X 1 ( p)   B1 ( p)  x1 (0) 
 



... a2 n   X 2 ( p)   B2 ( p)  x2 (0) 



...
...   ...  
...
 

 
... p  ann   X n ( p)   Bn ( p)  xn (0) 
При нулевых начальных условиях
данная СЛАУ выглядела бы следующим
образом:
 p  a11


a
21

 ...

 an1
a12

p  a22
...
an 2
...
...
...
a1n   X 1 ( p)   B1 ( p) 
 



a2 n   X 2 ( p)   B2 ( p ) 


...   ...   ... 
 

 
p  ann   X n ( p)   Bn ( p) 
Преобразование Лапласа позволяет учесть
начальные условия на самом первом этапе
решения СДУ, при этом полученная СЛАУ
ненамного отличается от той же СЛАУ при
нулевых начальных условиях.
В этом заключается одно из существенных
преимуществ операторного метода решения
СДУ перед классическим, в котором для
учета начальных условий и нахождения
постоянных интегрирования составляется и
решается отдельная СЛАУ.